C NOUVELLE ARITHMETIQUE

â. Caractère de divisibilité par 2. On reconnaû qum ' nombre est divisible par 2 lorsqu'il est terminé par Fun ou l'autre des chiffres 0, 2, 4, 6, 8. Les nombres divisibles par 2 sont dits nombres pairs; les nombres non divisibles par 2, et par conséquent terminés par un des chififres 1,3, 5, 7, 9, sont dits nombres impairs.

Considérons le nombre 3754, par exemple. On peut le décomposer en deux parties, savoir : 3750 et 4. I^ première partie ne comprend que des dizaines. Mais la dizaine est divisible par 2, puisque 2 fois 5 font dix. Ua nombre quelconque de dizaines est alors exactement divisible par 2. Par conséquent, si le dernier chiffre, ou celui des unités, est divisible par 2, le nombre entier se compose de deux parties, l'une et l'autre divisibles par 2, et par suite est lui-môme divisible par 2. Les chiffres divisibles par 2 sont les chiffres pairs 2, 4, 6 et 8. A ces chiffres, il faut joindre 0, car si le nombre est terminé par un zéro, il ne comprend que des dizaines et par conséquent est divisible par 2.

D'après cette règle, sont divisibles par 2 les nombres 3754, 716, 1510, etc.; et ne sont pas divisibles par 2 les nombres 363, 7869, etc.

3. Caractère de divisibilité par 4. Un nombre est divisible par 4 lorsque ses deux derniers chiffres, considérées isolé- . ment, forment un nombre divisible par 4. — Soit, par exemple, le nombre 73528. On peut le décomposer en 72500 et 28. La première partie ne comprend que des centaines et par conséquent est divisible par 4, car 4 fois 25 font 100. , Si donc 28 est divisible par 4, le nombre entier Test aussi, puisqu'il se compose de deux parties l'une et l'autre divisibles par 4.

D'après cette règle, les nombres terminés par 12, 16, 20, 24, 28, etc., sont divisibles par 4, quels que soient les chiffres qui précèdent. Si le nombre est terminé par deux zéros, il est également divisible par 4, puisqu'il ne comprend que des centaines, toujours divisibles par 4.

4. Caractère de divisibilité par 5. Un nombre est divisible par 5 lorsqu'il est terminé par un zéro ou par un 5. — Car, s'il est terminé par un zéro, il ne comprend que des dizaines, toujours divisibles par 5, puisque 5 fois S font 40. S'il est terminé par un 5, il se compose de deux parties, l'une ne comprenant que des dizaines et par suite

^ GARAGT&RES DE DIYISIBIUTÉ. 4 77

toujours divisible par 5, Tautre égale à 5 et divisible par S évidemment.

Les nombres suivants 735, 9740^ etc., sont donc divisibles par K. Au contraire, 847, 552 ne le sont pas.

5. CARACTÈRJi: DE DIVISIBILITÉ PAR 25. Un nombre estai- ^jùible par 25 lorsque ses deux derniers chiffres, considérés isolement, forment un nombre divisible par 25. — Prenons pour exemple le nombre 37275. Ce nombre peut se décomposer en 37200 et 75. La première partie, ne comprenant que des centaines, est toujours divisible par 25, car 4 fois 25 font iOO. Si donc la seconde partie 75 est divisible par 25, le nombre entier Test lui-même.

Ainsi les nombres 7I2.H, 5^^050, etc., sont divisibles par 25, parce que les deux derniers chiffres forment les nombres !25, 50, divisibles par 25. Mais les nombres 71 24, 53*549, ne sont pas divisibles par 25. Si le nombre se termine par deux zéros, il est évidemment divisible par 25, puisqu'il ne comprend que des centaines.

Remarquons que 4 est égal à 2 fois 2, que 25 est égal à 5 fois 5. Remarquons en outre que 2 et 5 sont les deux facteurs du nombre 10, base de notre numération décimale. De ce fait résulte une étroite ressemblance entre les caractères de divisibilité par 2 et par 5, par 4 et par 25. Pour reconnaître si un nombre est divisible par 2 ou par 5, il suffit de considérer le dernier chiffre ; pour reconnaître si un nombre est divisible par 4 ou par 25, il suffit de considérer les deux derniers chiffres.

6. Relation entre une unité d'un ordre quelconque et LE FACTEUR 9. Cette relation, remarquable de simplicité, est la suivante. La dizaine ou 10 vaut 9 augmenté de i . — La centaine ou 100 vaut 99 augmenté de 1. — Le mille ou 1000 vaut 999 augmenté de 1. — La dizaine de mille ou 10000 vaut 9999 augmenté de 1, — ^ La centaine de mille ou 100000 vaut 99999 augmenté de 1 ; etc. ; etc.

Or les nombres 9, 99, 999, 9999, etc., sont évidemment divisibles par 9. Donc, une unité d'un ordre quelconque <e compose d'un certain nombre de fois 9, plus 1. Ou l>ien, une unité d'un ordre quelconque se compose d'un inultiple de 9, plus 1.

Si, au lieu d'une seule unité d'un ordre quelconque, on 'Onsidère 2, 3, 4, etc., unités de môme ordre, on aura 2, ^ 4, etc., fois ce multiple de 9, et 2, 3, 4, etc.^ foi^ i. \j&

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multiple primitif de 9 répété 2, 3, 4, etc., fois, donnera évidemment un nouveau multiple de 9. Il résulte de là que 7000 par exemple vaut un multiple de 9, plus 7; que 800 vaut un multiple de 9, plus 8; que 30000 vaut un multiple de 9 plus 3, etc.

Dire que 7000 vaut un multiple de 9, plus 7, cela signifie que 7000 contient un certain nombre de fois 9, et en plus 7 ; cela signifie enfin gue, si Ton divise 7000 par 9, on obtiendra un certain quotient avec un reste 7. Vériftpns-lc en faisant la division.

777 Reste 7.

Le neuvième de 70 est 7 pour 63, et il reste 7. Le neuvième de 70 est 7 pour 63, et il reste 7. Enfin le neuvième de 70 est 7, et il reste 7.

7. Théorème. Un nombre quelconque est égal à un eertm nombre de fois 9, plus la somme de ses chiffres considérh comme des unités simples. Considérons, par exemple, le nombre 5486. On peut le décomposer en 5000, 400, 80 et 6.

5000 vaut un certain nombre de fois 9, plus 5.

400 vaut un certain nombre de fois 9, plus 4.

80 vaut un certain nombre de fois 9, plus 8.

6 vaut 6.

En ajoutant ces diverses parties pour reconstituer le nombre donné, on aura pour résultat 9 répété autant de fois que le comportent ensemble les trois premières parties, et Ton aura en outre la somme des cbiffres 5, plus 4, plus 8, plus 6; on aura enfin un multiple de 9, plus h somme des chiffres du nombre considérés comme de simples unités.

8. Caractère DE divisibilité par 9. Un nombre estdai-. sible par 9 quand' la somme de ses chiffres^ considérés caiM de simples unités^ est divisible par 9, — Nous venons da voir, en efl'et, qu'un nombre se compose d'un muUipte de 9 augmenté de la somme de ses chifires. La prefflièrt. ^ partie étant toujours divisible par 9, si la 3econae, c'esl-| ^ à-dire la somme des cbifi'res,est divisible par 9, le nomb»| j lui-même l'est aussi.

Soit le nombre 3l4i. La somme de ses chiffres donne: ^et é font 4, et 4 font B, et i font 9. Cette somme étaiit;