CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ

divisible par 9, le nombre proposé doit être également divisible par 9. Vérifions-le par la division.

Le neuvième de 31 est 3, pour 27; et il reste 4. Le neuvième de 44 est 4, pour 36 ; et il reste 8. Le neuvième de 81 est 9 exactement.

Soit encore 7452. 7 et 4 font H, et 5 font 16, et 2 font 18. La somme des chiffres étant divisible par 9, le nombre est lui-même divisible par 9. Et, en effet, en opérant la division, on trouve :

9. Observation. La somme des chiffres peut être ellemême composée de plusieurs chiffres. Pour savoir si elle est divisible par 9, il faut opérer sur elle comme' sur le nombre proposé, c'est-à-dire faire la somme de ses chiffres et continuer ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à un nombre d'un seul chiffre. Ainsi le nombre de Texemple précédent, 7452, donne 18 pour somme de ses chifires. On voit immédiatement, c'est juste, que 18 est divisible par 9; mais si l'on voulait appliquer la règle dans toute sa rigueur, on dirait pour cette somme 18 : 1 et 8 font 9. Un nombre est donc divisible par 9 lorsque la somme des chiffres appliquée d'abord au nombre proposé, puis à la somme^ s'il y a lieuypuis à la nouvelle somme, etc., conduit finalement au chiffre 9.

10. Reste de la division par 9. Si cette marche conduit à un chiffre autre que 9, le nombre n'est pas divisible par 9.

'il se compose d'un certain nombre de fois 9, augmenté du chiffre auquel on arrive. Ce chiffre est donc le reste qu'on obtiendrait en divisant le nombre par 9. Soit 5345. On a : 5 et 3 font 8, et 4 font 12, et 5 font 17. La somme donne à son tour : 1 et 7 font 8. Le nombre n'est donc pas divisible par 9, et le reste de la division est 8. C'est ce que nous allons vérifier.

593 Reste 8.

180 ROUTEILE ARirnMÉTÎQUB.

Le neuvième de 53 est 5, pour 45; et il reste 8. Le nen- Pleine de 84 est 9, pour 81 ; et il reste 3. Le neuvième de 35 est 3, pour 27 ; et il reste 8.

Comme, dans les diverses sommes que l'on peut être amené à faire, on a pour but de retrancher 9 autant de fois que possible pour arriver au reste, il est visible qu'on peut se dispenser ae tenir compte des chiffres 9 et des chiffres qui ajoutés entre eux font 9. Ainsi, dans l'exemple précé« dent, en remarquant que 4 et 5 font 9, on peut se borner à dire 5 et 3 font 8. On conclut de là que le nombre n'est pas divisible par 9 et que le reste de la division est 8.

Si l'on applique cette méthode rapide au nombre 7%2I, on met d'anord 9 de côté; puis on voit que 7 et 2 font 9, que 5 et 4 font 9. Tous ces 9 étant laissés, il reste zéro. Le nombre est donc exactement divisible par 9. Soit encore le nombre 5207641 . Négligeant 5 et 4 qui font 9, 2 et 7 qui font 9, la somme des chiffres restants est 6 plus i ou 7. Le nombre proposé se compose donc d'un certain nombre de fois 9, plus 7. En le divisant par 9, on doit par conséquent obtenir 7 pour reste. C'est ainsi qu'il faut opérer, autant que possible, au lieu de faire péniblement la somme chiffre par chiffre. *

La preuve par 9 des diverses opérations est basée sur les développements dans lesquels on vient d'entrer.

-11. Caractère de divisibilité par 3. Tout nombre, venons-nous de voir, se compose d'un multiple de 9, augmenté de la somme de ses chiffres. Mais un multiple de 9 est un multiple de 3, car 3 fois 3 font 9. On peut donc dire : Tout nombre est égal à un certain nombre de fois 3, plus la somme de ses chiffres. Si donc cette somme est divisible par 3, le nombre lui-même Test aussi^ De là cette règle : un nombre est divisible par 3 lorsque la somme desei chiffres est -divisible par 3.

Tels sont les nombres 114, 501, 762, dont les sommes des chiffres, savoir : 6, 6, 15, sont divisibles par 3.

12. Théorème. Un nombre divisible par deux facteurs premiers entre eux est divisible par le produit de ces facteurt* Considérons les deux nombres 42 et 18. Le premier est divisible par i, par 2, par 3, par 4, par 6 et par 12. Le second est divisible par 1 , par 2, par 3, par 6, par 9 et par *8.

Les nombres 1 , 2, 3 et 6 divisent donc à la fois 12 et 18. C'est ce qu^on appelle les facteurs communs de 12 et de 18.

GARAGTÈHBS DE DIVISIBILITÉ. 181

Considérotn, d'autre part, les nombres 8 et 45. Le premier est divisible par 1, par 2, par 4 et par 8. Le second est divisible par 1, par 3, par 5 et par 15. Entre ces deux nombres^ 8 et 15, il n'y a donc que l'unité qui soit facteur commun.

On appelle nombres premiers entre eux, les nombres qui n'ont d'autre facteur commun que Tunité. 8 et io sont des nombres premiers entre eux; mais lé et 18 ne le sont pas, car ils admettent les facteurs communs 2, 3 et 6.

On établit, par des considérations que nous passerons sous silence, que, lorsqu'un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux, il est aussi divisible par leur produit. De là résulte qu'un nombre divisible par 3 et par 2 esi dvoinbkpar leur produit 6, car 3 et 2 sont premiers entre eux.

De môme, un nombre divisible par 3 et par 4 est divisible par 12, car 3 et 4 sont premiers entre eux.

I/n nombre divisible par 3 et ^ est divisible par 15. Un nombre divisible par 3 et 25 est divisible par 75. Un nombre divisible par 9 et 2 est divisible par 18. Un nombre divisible par 9 et A est divisible par 36. Un nombre divisible par 9 e^5 est divisible par 45.

Un nombre divisible par 2 et par 5 est divisible par i 0. La divisibilité par 5 exige que le dernier chiffre soit pu 5. Mais la divisibilité par 2 exclut le chiffre 5, qui est impair. Il ne reste que le zéro. Un nombre, pour être divisible par 10, doit donc être terminé par un zéro, ce qui du reste est évident.

Mais un nombre divisible par 3 et par 6 ne serait pas, par cela seul, divisible par 18, car 3 et 6 ne sont pas premiers entre eux. De même, on ne pourrait affirmer qu'un nombre e^i divisible par 12 après s'*être assuré qu'il est divisible par 2 et par 6, car 2 et 6 ne sont pas premiers entre eux.

13. Théorie DBS PREUVES par 9. Dans l'addition, on cherche, pour chaque nombre qui entre dans la somme, le reste de la division par 9. On ajoute ces restes, et Ton retranche 9 autant de fois que possible^ jusqu'à ce qu'on arrive à un nombre d'un seul chiffre. Ce chiffre est le reste que fournit l'ensemble des nombres proposés. Par conséquent

le total, qui comprend cet ensemble de nombres, doit donner le môme reste.

Dans la multiplication, on cherche le reste i>ar 9du multiplicande et celui du multiplicateur. On multiplie les deux restes, et, de leur produit, on retranche 9 autant de fois que possible. Le résultat auquel on arrive est le reste par 9, que doit également donner le produit du multiplicande par le multiplicateur.

La preuve de la soustraction est ramenée à celle de l'addition, car la somme du reste et du plus petit nombre doit reproduire le plus grand nombre.

La preuve de la division est ramenée à celle de la

multiplication, car le produit du quotient par le diviseur

doit reproduire le dividende, s'il n'y a pas de reste. S'il

y a un reste, on en tient compte comme d'un nombre à

«ajouter.

i4. Opérations simplifiées. Les règles de proportionnalité, qu'il nous reste à voir, conduisent à des expressions de ce genre :

Cette expression signifie qu'il faut, d*une part, faire le produit des trois nombres 12, 18 et 415; d'autre partie produit des trois nombres 27, 16 et 75 ; et enfin diviser le premier produit par le second. On peut abréger le travail, en tenant compte des caractères de divisibilité et de la propriété qu'a le quotient de ne pas changer de valeur quand on divise le dividende et le diviseur par le même nombre.

Dans le cas actuel, le dividende se compose du produit de trois facteurs; le diviseur pareillement. Pour diviser* un produit par un nombre^ il suffit de diviser Vun quelconque des facteurs par ce nombre. Ainsi, en divisant 12 par 4 dans le dividende et 16 par A dans le diviseur, le dividende et le diviseur deviennent l'un et l'autre 4 fois moindres, et par suite le quotient ne change pas de valeur. Si l'on supprime de la sorte tous les facteurs communs au dividende et au diviseur, on arrive à des nombres plus simples, plus faciles à employer, et le résultat final est le même.