CHAPITRE XXI
Problèmes de proportionnalité.
i. DÉFINITION. Les problèmes ae proportionnalité $ont ceux qui se résolvent par la multiplication et la division simple" ment. Tel est celui-ci : 8 mètres de drap ont coûté li2 francs ; que coûteront 24 mètres de la môme étoffe?
Dans cette question, comme dans tous les problèmes de proportionnalité, il y a deux parties : la partie connue et la partie de f inconnue.
La partie connue est : 8 mètres de drap coûtent \ {2 francs. Elle est connue, en ce sens que les divers termes qui la composent, mètres de drap et francs, sont tous donnés en nombres.
La partie de Tinconnue est : que coûteront 24 mètres de drap ? l/inconnue ou quantité inconnue est le nombre de francs que coûtent les 24 mètres. On est dans l'usage de représenter l'inconnue par la lettre x.
Dans la partie connue, il y a toujours autant de tomes que dans la partie de l'inconnue. Dans le cas actuel, ce nombre de termes est de deux : francs et mètres.
Chaque terme dans la partie de l'inconnue correspond à un terme de même nature dans la partie connue. Dans le problème proposé, X francs, somme cherchée, correspond à H2 francs ; 24 mètres correspondent à 8 mètres.
Pour exprimer des quantités de même nature^ deux termes correspondants doivent toujours se rawporfer d la méwA t^m^é, A des mètres doivent cortes>^ox\OT^ ^^^ \s^\x^^\'^ des francs doivent correspouàre 4e&\îw\fô8i%^^^^^^^^^'^
188 «OUVELLE ABITHMÉTIQUB.
des jours, des mois, doivent correspondre des heures, des jours, des mois; etc., etc.
Celte précaution expressément prise, on écrit sur wne ligne horizontale les divers termes de la partie connue et en i dessous les termes correspondants de la partie de tineonnue. Cette inconnue est elle-même représentée par x.
Sous les 8 mètres de la partie connue, on écrit les 24 mètres de la partie de l'inconnue; sous les li2 francs de la partie connue, on écrit x qui représente le nombre de francs cherché.
2. Opération. Les choses ainsi disposées, on trace un trait horizontal au-dessus duquel on écrit TOUJOURS le nombre correspondant à l'inconnue x ; et, en avant du trait j on écrit X avec le signe de l'égalité. Ce signe est = et se prononce égale. Alors on raisonne ainsi :
Si 8. mètres coûtent 112 francs, 1 mètre coûte 8 fois moins. Il faut donc diviser 112 par 8. Ce que l'on indique en mettant 112 au-dessus du trait et 8 au-dessous.
L'expression -^ indique la valeur d'un mètre. Pour
avoir la valeur de 24 mètres, il faut rendre cette expression 24 fois plus forte ; ce que Ton fait en multipliant le dividende par 24.
En abrégeant, on dit : 8 mètres coûtent H2 (on écrit 112 au dividende). 1 mètre coûte 8 fois moins (on écrit 8au diviseur), et 24 mètres coûtent 24 fois plus (on écrit 24 au dividende avec le signe de la multiplication).
Il reste à simplifier l'expression, s'il y a lieu. Dans le cas actuel, on voit que 8 et 24 sont divisibles par 8. L'expression devient ainsi :
x=: — - — , ou bien a: = 336.
Les 24 mètres de drap coûteront donc 336 francs. ^^^
PROBtÊMES DE PROPOOTIONHAUTÉ. 189
8. Sbcoixbb oubstiow. Il faut 15 jours à 4 ouvriers pour faite un certain travail, En combien de jours le même travail serait-H fait par 7 ouvriers de la même forte ?
Écrivons sur une ligne horizontale les différents termes de la partie connue du problème ; et au-dessous, de manière que les termes de môme nature se correspondent, la partie de Tinconnue :
Mettons au dividende le terme 15 jours correspondant à l'inconnue, et raisonnons ainsi :
Il faut 13 jours à 4 ouvriers pour faire un certain tra^ vaiL Pour faire le même travail, un seul ouvrier, mettrait 4 fois plus de temps. (On écrit 4 au dividende.) L'expression J5X 4 représente le tenaps que mettrait 1 ouvrier seul. 7 ouvriers mettront 7 fois moins. On divise donc par 7, c'est-à-dire que Ton écrit 7 au diviseur.
Le dividende et le diviseur n'ayant pas de facteurs com • muns, on passe immédiatement à Topéralion, qui consiste & diviser par 7 le produit 15 X 4 ou 60. Le q[uotient est 8,5. 7 ouvriers mettront donc 8 jours et 5 dixièmes ou 8 jours et demi.
4. l^ROisiÈME QtfÉSTiON. Lcs dcux problèmes précédents ne comprennent que 4 termes, deux pour la partie connue, deux pour la partie de l'inconnue. Mais le nombre de termes peut être plus grand. Il peut s'élever à 6, à 8 et davantage. Exemple : 6 charrues ont défoncé 300 ares de terrain en 8 jours, la journée étant de 40 heures. Combien faut'ilde charrues pour défoncer 270 ares de même terrain en ^ jours, la journée étant de 12 heures? La partie connue et la partie de llnconnue fournissent les 8 termes suivants, que l'on dispose de manière que les termes de même nature se correspondent :
