BOO X X

190 NOUVELLE ARlrUMÉtlQUE.

Pour défoiicer 300 ares, il faut 6 charrues ( 6 au dividende). Pour 4 are, il en faut 300 fois moins (300 au diviseur); et pour 270 ares, il en faut 270 fois plus (270 auxlividende).

L'expression - oA?r~ représente le nombre de charrues

nécessaires pour défoncer 270 ares en travaillant 8 jours. Si Ton travaille 4 seul jour, il faudra 8 fois plus de charrues pour faire le défoncement (8 au dividende) ; et si, au lieu de i jour, on travaille 9 jours, il en faudra 9 fois moins (9 au diviseur).

^, .6X270X8 .,, uju

L expression — — - — - — représente le nombre de charrues qu'il faut pour défoncer 270 ares en travaillant 9 jours, la journée étant de 10 heures. Mais si la journée est de 1 heure seulement, il faudra 10 fois plus de charrues (10 au dividende); et si, au lieu de 1 heure, la journée est de 12 heures, il en faudra 12 fois moins (12 au diviseur). On a ainsi :

En simplifiant et opérant, on trouve 4 charrues.

Reprenons le même problème en supposant inconnu le nombre d'ares à défoncer. La question s'énonce alors ainsi : 6 charrues ont défoncé 300 ares en 8 jourSy la jour" née étant de iO heures. Combien d'ares défonceront 4 chat' rues en 9 journées de 12 heures? La réponse évidemment doit être 270. Examinons si, en effet, l'opération nous amène à cette réponse.

Qch 300* 8i lOh

300X4X9Xi'2 6X8X10 •

6 charrues défoncent 300 ares ; 1 seule charrue défoncera 6 fois moins de terrain (6 au diviseur), et 4 charrues en défonceront 4 fois plus (4 au dividende).

Le travail est supposé durer 8 jours. S'il ne dure que 1 jour, on défoncera 8 fois moins de terrain (8 au diviseur),

PHOBLÈBIES DJE PROPOBTIONN ALITÉ. 191

dure 9 jours^ on en défoncera 9 fois plus (9 au divi-

journée est supposée de 10 heures. Si la journée

e 1 heure seulement, on défoncerait -lO fois moins

diviseur) ; mais si la journée est de 12 heures et non

eure, on défoncera 12 fois phis (12 au dividende).

plifiant et opérant, on trouve 270 ares, ainsi que cela

être.

renons encore une fois le problème, et supposons

m le nombre de journées. La question s énonce

linsi : 6 changes ont défoncé 300 ares m ajournées de

très. Combien faudra- t-il de Journées de 12 heures

lé foncer 270 ares avec 4 charrues ?

ut 8 journées pour défoncer 300 ares. Pour défoncer are, il faudra 300 fois moins de journées (300 au di- ); et, pour en défoncer270, il faudra 270 fois plus de îes (270 au dividende).

serait le nombre de journées si Ton employait rues. Mais si Ton n'emploie que 1 charrue au tra-

faudra 6 fois plus de journées pour faire le défonit (6 au dividende) ; et si, au lieu de 1 charrue, on iploie 4, il faudra 4 fois moins de journées ( 4 au iir).

serait le nombre de journées nécessaires si la jouriit de 10 heures. Si la journée était de 1 heure, il lit 10 fois plus de journées (10 au dividende); et si, i d'être de 1 heure, elle est de 12, il en faudra 12 fois (12 au diviseur), tes réductions, on trouve 9 journées.

Remarque. Dans les questions du genre de celles qui int d'être traitées, toute la difficulté consiste à reitre celui des deux termes correspondants qu'il faut au dividende et celui qu'il faut écrire au diviseur* sonnement l'indique toujours, si l'on ne perd pjas ï la nature de la quantité que l'on cherche et si Ijppt

192 NOUVELLE ARITBMÉTIODB.

se rend bien compte de ses relations avec les autres termes. Un moyen un peu mécanique est le suivant :

Si l'inconnue augmente quand augmente la quantité à laquelle se rapportent les deux termes correspondants que tm considère, on écrit au dividende le terme de la partie de l'in'connue, et au diviseur le terme de la partie connuCé

Si l'inconnue diminue quand on augmente la quantité à laquelle se rapportent les deux termes correspondants que ton considère, on écrit au diviseur le terme de la partie de Finconnue, et MU dividende le terme de la partie connue.

Revenons sur les trois derniers problèmes et résolvons-les par cette méthode. Le premier problème fournit :

6cb 300ar gj j0h

__6 X270x8XiO ^■"'"300X0X^2 •

Plus il y a d*ares, plus il faut de charrues ; c'est-à-dire que rinconnne augmente quand augmente la quantité à laquelle se rapportent les termes correspondants 300 et 270. Le terme 270, de la partie de rinconnue, s'écrit au dividende, et le terme 300^ de la partie connue, s'écrit au diviseur.

Plus on met de journées, moins il faut de charrues. L'inconnue diminue quand augmente la quantité à laquelle se rapportent les termes correspondants 8 et 9. On écrit au diviseur le terme 9 de la partie de rinconnue, et au dividende le terme 8 de la partie connue.

Plus on travaille d'heures par jour, moins il faut de charrues. 12 va au diviseur et 10 au dividende.

Le résultat est bien le même que celui où nous avait amenés le raisonnement.

Le second problème fournit :

6«^ 300* 8i lOh

Plus il y a de charrues, plus il y a d'ares travaMél ^ ** au dividende et 6 au diviseur.

PROBLÈMES DE PfiOPORTtONNALlTÉ. 193

Plusil y a de journées, plus il y a d'ares travaillés, 9 va au dividende et 8 au diviseur.

Plus la journée de travail comprend d'heures, plus il y a d'ares travaillés. 12 est pour le dividende et iO pour le diviseur.

Le résultat est encore conforme à celui que nous avait donné le raisonnement.

Le troisième problème fournit :

6«^ 300* 8"» iO*»

4 270 X VZ

Plus il y a d'ares à travailler, plus il faut de journées. 270 va au dividende et 300 au diviseur.

Plus il y a de charrues, moins il faut de journées pour faire le travail. 4 va au diviseur et 6 au dividende.

Plus la journée comprend d'heures, moins il faut de journées pour faire le travail. 12 va au diviseur et 10 au dividende.

Le résultat est le même que celui auquel nous avait conduits le raisonnement. Cette concordance établit la légitimité de la méthode employée.

RÉSUMÉ

1. Les problèmes de proportionnalité sont ceux qui se résolvent par la multiplication et la division simplement* L'énoncé de ces problèmes se divise en deux parties : la partie connue et la partie de l'inconnue. L'inconnue est représentée par la lettre x. Les deux parties ont un égal nombre de termes, deux à deux de mdme nature. Les termes de môme nature sont appelés termes correspondants.

2. Le terme correspondant à l'inconnue s'écrit toujours au dividende. Les autres termes, soit de la partie connue, soit de la partie de Tin-* connue, s'écrivent au dividende ou au diviseur, suivant ce quindique le raisonnement. L'un des deux termes correspondants va au dividende, l'autre va au diviseur.

3. La répartition de tous les termes étant faite, on simplifie l'exprès-* Bion, s'il y a lieu, par la suppression des facteurs communs au dividende et au diviseur.

4 . Pour répartir convenablement les termes, il faut ne pas perdre de Q la quantité que Ton cherche et se rendre compte de ses relations BC les autres termes.

19i NOUVELLE ARITUM£TIUUJS«

>. Si V'inconnxie augmente quand augmente la quantité à laqaeUeje portent les deux termes correspondants que Ton considère, on écrit u

rapportent

dividende le terme de la partie de rinconnuc^ et au diviseur le termedela