U6TRAGTiON
g3^ ff( soustv^çHqx^ e^t un& opération qui a pot^r 6i^ d$ telranchw d'^n nombre donné toutes k$ unités $OHt&p nues dans un autre nombre donnée plus peHt.
If résultat de cette qpération s'appelle reste, eoççès ou ciijfà'ft^çe,
un indique eette ^ératioa par le sigue — y qa'-cin énoDce moins, et qu'on plaee entré les deux nombres à soustraire.
§4î E|:qle. — Pçmf fQ,\{strçiirf. un ^ombrfi d'un ^ey^ chiffre d'un autre istombr$, on netr^inchê du plus gmnà fi9mbre $u6C€ssivement une à une toutes ks unités du plus petit. " .'
^si, pour spvistraire ^ de 9, je ^^s : 9 — 1 = §^ ô -r- l =? 7, Tttt l î??6, Êi TT l 5=T 5^^ ou, Cil ^ui çôvie^t ^% même, je compte à partir du plus grand nombre les quatre nombres inférieurs successifs de la suite naturelle : i|^ 7, 6, 5, Ijq dernier nombre énoncé est le résultat demand^.
J'ai donc pour le peste eherché : d — 4 =a 5 ; dans la pratique on dit : 4 ôté de 9 il reste 5.
De 'même pour soustraire 8 de 15, je dis en redescendant la suitfi des porpbr^^i : H, 13, ^2, 11, 10, 9^ 8, 7, e^ le 81 nombre énoncé, 7, est le reste demandé : 1 5 ^r 8 ;== 7.
Dans la pratique on dit : 8 ôté de 15 il reste 7.
08. R|:gle cjENéf\AifÇ« t- ^our soustraire un nombre d'un <iutr^f on écrU Iç pJfUS p$tif tu)mbr$ au-dessous du plus grandy en ayant sain que ks unités du même ardre soient dans une même cohnne verticale, unités sous unités,
dizaines S0US dixaineêy ac.j et Pan seulipiê U t&%a pmi/i^ k^ séparer du résultat que l'on écrit au-dessous.
Ensuite commençant par la première €olonne à dmitej on retranche h ehifre inférieur du cMffra nxpm*ieur corT" respçndantj et l^on écrit le rfsuitai au-desseiis de la co^ tonne; on opère sucoessiDement de la mime manière sur chaque colonne, jusqu'à la dernière à gauche.
Si le chiffre inférieur est plus petit que le chiffre supé* rieur correspondant^ la souMraotion ne présente aucune difficulté.
Si le chiffre inférieur est égal au chiffre supirieuif oer respondantj on écrit au-dessous de la colonne.
Si le chiffre inférieur est pltis grand que le chiffre supé^ rieur correspondant, on augmente le chiffre suj>érieur de dis unités de son ordre; mais quand on passe à la colonnçi suivante à gauche, on auginente le chiffre inférieur ^unê unité avant de le soustraire du chiffre supérieur qui M correspond.
On doit répéter eette opération autant de fois qu'il Ml nécessaire.
66. Exemple. — Soit à retrancher 672 de 836. J'jfcris le plus grand nombre, 836, et au-dessous le plus petî^^ 672, de manière que les unités du même ordre soient dan^ une même colonne verticale et je souligne le tout, ainsi qu'on le voit dans le tableau sqivant :
Puis commençant par la droite, je db : 2 ôté de 6 ij reste .4, que j'écris au-dessous de la ligne et à la même colonne.
Ensuite 7 ôté de 3, l'opération ne peut se faire ; j'augmente 3 de 10 unités de son ordre, ce qui donne 13 dizaines; et alors 7 ôié de 13, il reste 6 que j'écris pareillement au*desseus. Maintenant, au lieu de dire 6 ôté de 8,
j'augmente 6 de 1, ce qui donne 7^ et je dis : 7 6të de 8 il reste 1.
Le reste est 1 64.
67. DÉMONSTRATION. — Le procédé indicfué par la règle est conforme à la définition, puisque j'ai retranché du plus grand nombre autant d'unités des divers ordres qu'il y en a dans le plus petit; ce qui revient évidemment à retrancher du plus grand nombre autant d'unités simples qu'il y en a dans le plus petift.
J'ai fait autant de soustractions partielles qu'il y avait d'ordres d'unités dans le plus grand nombre; mais chacune de ces soustractions est fa<Âle, puisqu'il ne s'agit que de retrancher un nombre d'un seul chiffre d'un autre qui n'a que deux chiffres et est égal au plus à 19. De plus^ j'ai obtcDu le résultat beaucoup plus promptement que si du plus grand nombre j'avais retranché une à une toutes les unités du plus petit.
L'artifice au moyen duquel j'ai rendu la soustraction possible dans la deuxième colonne, n'altère pas le résultat; car, en augmentant le chiffre supérieur 3 de 10, j'ai ajouté réellement 10 dizaines à ce chiffre, et par conséquent au nombre supérieur ; mais ensuite, quand j'ai augmenté le chiffre inférieur suivant 6, de 1 qui vaut 10 unités de l'ordre précédent, pour le retrancher du chiffre supérieur correspondant, j'ai, en effet, retranché du nombre supérieur les 10 dizaines que je lui avais ajoutées.
68. On commence la soustraction par la droite, précisément à cause de cette modification qu'on doit faire subir aux deux nombres pour rendre les soustractions partielles possibles; car, si tous les chiffres du plus petit nombre étaient plus petits que les chiffres supérieurs correspondants, ou égaux tout au plus, il serait indifférent de commencer par la droite ou même par une colonne quelconque.
69. On remarquera qu'on ne peut augmenter le chiffre supérieur de moins de 10 unités de son ordre, pour rendre la soustraction partielle possible ; car , autrement, on
NOMBRES ENTIERS. tl>
ne pourrait pas établir la compensatioii 'nécessaire. Au reste, Taddition de 10 rendra toujours la soustraction possible, puisque le chiffre inférieur étant au plus égal à 9, et, avec la compensation, devenant tout au plus 10, la soustraction partielle pourra toujours se faire, mêitie quand le cbifire supérieur serait 0.
On ne peut pas augmenter le chiffre supérieur de 20, et à plus forte raison de 30, 40, etc., parce que le reste de la soustraction partielle serait exprimé par plus d'un chiffre.
2** Usage de la soustraction.
70. La soustraction s'emploie lorscp'on veut connaître la différence entre deux nombres, l'excès d'un nombre sur un autre ; diminuer un nombre donné d'un autre nombre donné; connaissant la somme de deux parties et une des parties, déterminer l'autre partie, etc.; car, il est évident que la question, dans chacun de ces cas, revient à retran^ cher du plus grand des deux nombres autant d'unités qu'il y en a dans le plus petit.
71. Théorème. — La différence entre deux nombres ne change pas si l'on alimente ou si Von diminue Vun et Vautre d'un même nombre.
Ce principe, dont on a vu une application dans l'exem^ pie précédent, n°' 66 et 67, peut être démontré d'une manière générale.
Soient, en effet, les nombres 3 et 8, dont la différence 8 — 3 = 5. Si j'ajoute 7 aux deux nombres, j'aurai 10 à retrancher do 1 5 ; ce qui donne encore pour reste 5 ; et, en effet, je retranche du grand nombre les 7 unités que je lui avais d'abord ajoutées.
De même : 23 — 14 ::= 9. Si je diminue de 6 les deux nombres, j'aurai 17 — 8 qui donnera encore 9. En effet, si j'augmentais de 6 les deux nombres 17 et 8, je retrouverais 23 et 14 qui donneraient le même reste, d'après ce qui précède.
Remarque. — Lorsqu'on, a plusieurs nombres dont les
tS II6MBRSS EîfTiBRS.
lias ddirent être additi^inës et les autres soustraits, OB ikit, d'une part, la somme de tous les nombres à additionner, de l'autre, la somme de tous les nombres è soustraire, et Ton soustrait ensuite la plus petite somme de la plus grande.
Cela arrive fréquemment dans le commerce, où Fon doit tenir un compte exact des recettes et des dépenses.
3<* PrtuYe de la soustractidn.
72. RÈGLE. — La preuve de la soustraction se fait en additionnant le petit nombre avec le reste; la somme doit itr^ égale au plu^ grand nombre^
Démo:jstration. rr- En effet, le reste exprimant cembieii 1§ p(^8 grs^nd nombre a d*uaités de plus qu0 le pluci peti(, si Ton ajqi)tç ce reste au p^us ^\\\ nombre, m iiki% retrait ver le plus grand.
73. AirraE règlb* -r- La preuve de la somtractiçn peu| encore s$ faire par une soustraction : si du piu5 grand nombre on retranche le reste^ on doit rs(r<>uver le plus pâtit nombre
Démonstration. -^ En effet, on peut coBsidérer le plus grand nombre comme la somme du plus petit et du reste; si donc on en retranct^e une des parties, c'est-à-dke le reste, on doit retrouver l'autre partie, c'est-à-dire le plus petit.
74. Problème. — Une société de capitalistes pouvait disposer d'une somme de 435 209 francs, elle en a dépensé 253 475; combien lui reste-t-il ?
Solution. — Il faut évidemment soustraire 253475 de 435209.
Soustraction. Preuve par Taddition. Preuve par la soustraction. 435 209 253 475 435 209
n SMte à la sooiété 181 734 &aaos.
wQSvSRsiS JBffT£^n8«
f t(. Q^ ft fip^ 9u? 1^ «oQ^r^ $êvûi^ï^ n^f des Pi^n^bi^
abstraits, mais au résultat pn a :|rétal)li le nom de Ti^nité,
qui est le franc.
Ûi^e«t|oQnair8.
QQ%tt-ee que la sonstcactien? '<3> Comment s'appelle le résultat de cette
ppératigta 7 (^ Comment indique-t-on nne spo^lrac-
tion ? (63) Comment fait-on poar soustraire d'un
BoiBbre on aotr» nombre d'an seul
chiirre? (64) Quelle est la règle fédérale de la sq^
^HjçtioD des ooraorès entiers? (65) Pourquoi commence-t-on l'opération
par la droite ? (68) IW peurrait-oa pas oommenoer par la
gaucho ? (68)
Pourquoi atigm«nte-t-on le ebiffre tU' périeurde 10 unités et non de 3, 3, 4..., du nQm|>i:e dualités nécessaire pour rendra 1^ sQuçtcaction possible ? (69)
Pourquoi n-augmente-t-on pas le chiffe supérieur de la, de 2«...? (69)
Quel est l'emploi de cette Qpémt|ooT(z^
Çiemontrer que la diilerence de d^z nombres ne chance pas quand on ^es augmente ou qu'oh les diminue tous les deux d'un même nombre. (7f)
Comment se fait la preuve de la foqstraction? (72, 73)
Exercices (IV).
Sff9€tii#K tes 89U3traçtioQ9 9uiv9Bte4 :
