DES RÈGLES DE SOCIÉTÉ ET DE PARTAGE
405. Il arrive assez fréquemment que deux ou plusieurs personnes se réunissent en société pour une entreprise commerciale ou industrielle, à laquelle la fortune d'une seule personne ne pourrait suffire. Chaque associé fournit à cet effet une certaine somme d'argent appelée mise de fonds. Après un certain temps, il s'agit de partager le fonds commun restant, c'est-à<-dire de fiiire la part de chacun, laquelle doit être nécessairement d'autant plus
grande ou plus petite que sa mise de fon^s aui» été pluç ou moios considérable. ^
La question revient donc à partagor un ;pombre en parlies qui soient entre elles comme deux ou^plusiems nombres donnés.
404. Règle de répartition. P^ur, partagp^ unnmnbre en deux ou plusieurs parties qui merUjnire elles comme des ndtrkpres.doninéSf q^ nm^ipliej6,n^bre,jà pçtriager par chacun des. nQfnin:e^ dormis, et l^on.dime h produit par la somme des nombres donnés, ^ . , \
PRQBLéui. Pari<f§er ^kO en trois parHes qui soient en^re Je multiplie 540 piur ^, et j^ livide le prodiut 1060 par
Ce qui donne pour la première partie 108 ' " D# même îla deuxième partie sera i^fe^ r^ ' 1 62 ' Et la troisième partie sera ûAçg* ris 270 " ''
' ^ - ^ . i " TotaK . V 7540 '
Démonstration. En effet, jf^arta^er 540 eo'tfôîs parties qui soient entre elles commeléé noubres 3^ 3, 5, c'est décomposer 540 enJrois partiesteUes^qne û- second 3 soit les |; et la troisième lâfl.t.de la premièieJ. Or, la première est, les I d'elie^-mème; je peux donc dire en faisant la somme des trois parties: les \ plus les \ plus les \ de la première font 54o; ouj ce qui est la même cliôse^ les -^de la première partie font 540 ; | de là première partie fait^; les lotfiapremièrè^partie font ^^*.' '
La siB^(!mde partie étant îeàf delà première, sera exprimée par i^Mp X I ^ ^^^; et la troisième par ^\^ X |
■■" lu •
Ce qui démontre la r^gle.
Gn pourrait encore dire, si Ton parta^geàît 540 en 10 parties égalée,' i{np la première partie aurait 2 de ces patties ; la déli^èmèi 3 ; ètla troisième'. ^ ce qui cooduit au même résultat. ^ ^ ^ .. -
' „40^.;Si ron observe que les valeurs orécédentes peuvent
f 94 APPtîCATîWl^ itl«îflMéTlQtJES.
liVctîfB ^ X 2, *4fi X 3, ^,^ X 8, OU pourra modifier la règle précédente ainsi qu*il suit:
Chaque paH iobiiôni eri multipliant îè rapport constant entre le nombre à partager et tû somme dès nombres donnés par chacun des nombres donnés.
Lorsque ee tapport pàuf être eïpfirAê pût un noml)re fini, eùii«r ou décimal, le ëâlctil devient très-facilô.
406. RÈGLE DÉ sd<:iété. fiàur eànnaltHhpaH dé cha^ ^ asê^My tm m^liipHt k$ ^trmm&h pWi(igtf ^ar su misé et l'on divise par la sommé ééÈ misés, ' " • '■
PKôBLfeME. Trois perâonnes «'étant tssoeîëeiyCÀtfityn^i : la première, une mise de-^OOOO fr.; la ^(ionde, Wàiê ïtiiie d« 3&000 iti ; la tt^t^èâie^ tme fflise de 4S00O'fr. La somme à partager est 15840 fr. ; quelle est k pturt'de chacun? . ..^ . ' f - -^r,
Solution. ' La. somme des miaesisi tiM)000 tf* J^éini donc: si liK)00O fr. ont produit 15^40^ 1 fr. aafait produit T^^î 400*^0 fr- produiront ' ^ YioV oTT^^ et ainsi des auftes ; ce qui démontre la régla» ^ ■> . . :
La pfeDûSèrt part est xm^g^em^^khê^ ^^nô La deuxième part est JMf^'^MJy±:±Mhd^fi^s^^ La tioiiièmd patt «si A "^Jl/j^feMm ^mAààf^ étp^kp
Total f 5 WO
Si l'on otserve que J;^=-^^:=r'ô,13î,4l:fiu^ de multiplier 0,132 successivement par 40QQQ^. p2|r ^^000 et par 45Ô0O pour obtekilr Ip trois, part^ demandées*
407 Lorsque les mises des assopis qb soni^ pas restées pendant le même temps dans l^ &wmU, oa: r^di^tleii^roblème ail précèdent, ainsi qu'il suit :
Problème. Trois personnes oatmis en, commun ; la j>Temière,.3p00 fr.^ qui sont restés 6 ans dfms la.spç^éti ; la deuxième^ 4000^ qui sunt restés pe):}(lant f> ans; et la tcoi** sième, SbOOv pendant 9 ans; Jla somme à partagei;, eal 33000 fr., quelle est la part de chaque associé ?
Solution. J'observe que la mise de 3000 fr» pendant 6 ans a dû produire autant que SOOO'"' X è = 1800O fir.
(rendant un an ; de même la mis» de 4000 fr. pendant 5 ans, autant qne 4000" X 5 = 20000 fr. pendant 1 an ; et CD fin la mise de 8000 fr. pendant 9 ans, autant que 8000^' X 9 =s 72000 fr, pendant 1 an.
La question est donc ramenée à eeïh<i i les misas des âseociés étant 18000, 20000, 72000 fr., combien revient-il à chacun dans le partage de 33000 fr.
ïln raisonnant Qonu^e pr^cédeounent , je trouve pour 1m parts demaiidéeji t
WOO fr.
21600 Somme égale 33000
408. t)ans les grandes opérations industrielles ou OOQ)^ merciales,. telles, que claemins de fer^ canauK, e;(ploita«* tion de mines, construction de ponts, etc., le projet fait connaître quelle est la somme présumée nécessaire. Cette somme est partagée en sommes pÉftielles égales , qu'on nomme actions. Chacune des personnes qui consentent à prêter le montant d'uue ou plusieurs de ces sommes partielles, ce quon appelle prendre des actions, devient ac- Honnairêy et a droit au partage des bénéfices de T^tre* prise ; Tîntérêt de l'action se nomme âiindende.
Les jetions peuvent être achetées ou vendues comme tout effet public, et leur valeur est déterminée par Tintérèt de Taction an moment de la vente.
Problème. Une société industrielle, dont le fonds commun est de 80000ÔO fr., partagé en 8000 actions de lOOOfr. chacune, paye à chaque actionnaire un dividende annuel de 67 fr. 60 c. ; quel est le prix d'une action?
Solution. Le prix de l'action est le montant du capital mii, placé ^ 5 pbur 100, rapporterait 67 fr. 50 c. d'intérêt. Ue capital est, d'après la règle générale, 1350; c'est le prix demandé, et l'on dit que les actions Sont montées à 1350 fr.
Le plus souvent la valeur des actions est indiquée au cours au jour.
<9ô APaiCATÎONS ARTTHMÉTIQOBS.
409)* La fixation des contributions foncières établie sur les rerenus territoriaux est une, véritahle opération du même genre.
Supposons qu'on ait fixé d'avance la somme totale- que les besoins dii gouvernement exigent. On commence par répartir', àli ministère des finances^ cette somme entre tous les depaitements, dans Te rapport des revenus présun]^ de ces divers départements. > '-
- Chaque départeojLent aura donc à payer une jcertajne somme qui, à son tour, sera répartie entre les divers arrondissements qui le composent. ' ' ^ '
la somme que doit payer chaque arrondissement est répartie entre les diverses communes et toujours dans le rapport. dis oreTenits présumés.
Enfin, chaque commune se composant d'un certain nombre de propriétés, soit en maisons, soit en terres «u en prairies, en bois, dont les revenus sont évalués, on partage la contribution de la commane entre les divers propriétaires, ce qui donne lieu à une dernière opération de l'espèce suivante.
Problème. Une commune dont le revenu territorial s'élève à 520000 fr. est imposée pour 22880 fr., on demande d'établir lé tarif, c'est-àdire Timfpôt dont doit être frappé 1 fr., puis 3 tt. i^pxûs 3 fr., Mdinâ de suite, . . i , '. i *• •
Puisque 520000 fr. doiyfjDt produire 22880 fr. d*impôt,
-1, pfoduira i^%=?0,Q44
. ,^ 2,^^ produiront , ,0,044X2=0,088
3 ' produiront ' ' / '0,044x3=0,132
' etc. " ■ : ' ' ' ' .1tî' I ■ ■ "i '
Les rôles de contributions de tous les propriétaires -étant une fois établis, chaque coutribuablei >v3rso le i montant det éa oontiribti^cin, dans les mains du receveur d^la C9fnmune; celu^ci ver^ 9ya ^ttipds.^dans la caisse du, receveur d'arrondissement, qui verse les siens dans la caisse du receveur général du département. Enfin,' tous ïes Receveurs générant de département envoient leurs fonds au trésor} et te ^u* vernement se trouve ainsi avoir perçu. le mCNUtiuit de jla con^tpiba|tioa foncière. .In' \ ^ ,[^ ^,.-/ ^ ., .'''■-...[.• • .,
On pept en dire autant de la répartition du continjgent des hommes qui doivent faire partie de l'armée , et qui sont levés chaque année au moyen de la conscription. ' ' ^' ' î «' - '
- 410.PRQBLÊMii:. Partager 242û^n trois parties quî soient entre elles comme les norabres 2 J, 3 J, 4 1.
Je commence par réduire les entiers et les fractions, le tout en^ fraction, ce qui donne |,. "V^, -^j puis je réduis ces fractions au mêmedénomiDatçur 12, ce qui donne fj, If, f-^-. Et la questîoa revient à partager 2420 en trois parties qui
APPLICATIONS ARITHMÉTIQUfiBi. 197
soient entre elles ccimiïie les fractions f$^|f^ f^;ôU|^C6 qui est la même, chose, comme les nombres eniiers 30, 40, il^ car on ne change pas un rapport quand. on multiplie ses deux termes par un même nombre;^ , Et la question revint à la précédente.
On trouve pour la !'• part 2^X30 =r 20X30 i=' 600
. pour la 2« part , , 20X40 = 800
pour la 3« part 20X51 = 1020
Total 2420
4H, La question suivante offre une petite difficnlté.
Problème. Partager 194 en trois parties telles que la pre^ mière soit à la deuxième comme les nombres ^ et 1 î, et que la deuxième soit à la troisième comme les nombres l f^ etZL . .
Je réduis les*entiers en fractions et ensuite les fractions au même dénominateur, ce qui donnée et f| pour les deux premiers iK^tnbreé, et | et ^ pour les deux derniers, et la question revient à partager 1 94 en trois parties telles que la première soit à la deuxième comme les nombres 10 et 24; et que la deuxième soit à la troisième comme les nombres 8 et 21.
Je multiplie les deux premiers nombres par 8 et les deux {seconds par 24, ce qui ne changera pas les rapports, et j^aurai 80 et 192 pour les deux premiers nombres, 192 et 504 pour les deux seconds. De celte manière la question eiSt ramenée à partager 194 en trois parties qui soient comme les nombres 80, 192 et 504, et simplifiant en divisant chacun des trois nombres par 8, comme les rrois nombres 10, 24 et 63.
En appliquant la règle générale, je trouve pour les trois parties cherchées : Première 20
Deuxième 48 Troisième 126
Nombre égal 194
. En.effety la deuxième doit être les f^ de la première, et la troisième les-^ de la deuxième ; et par conséquent, les
19S AFPLlGAÏKmS ARITHIIÉTIQUM
%t d«r 1^ de k ^fexùlhre « las ^^^W de It preteièw î rMm^ sant les fractions au même dénominateur, on aura poar la denxièn>e le«M§^^* première, pour la troisième, 1m ^y<y de la première ; et par confécfuoBt, kf trois partÎM sont entre elles conwïie les nombres frX 10^«4 X 8,21 X t4 , ou 80, 198 et 504.
Qu'eniènd-oik ptr iociété commerciale
ou industrielle? («»03) Qu'eiiv^d-on pi*P le» mott mif^ 4#
fonds^ fonds commun? (4o3) Qu'e(iiend-'<n par la Tègte de répar.
Quelle est la règle de société/ (406)
Lorsque les mises des associés ne sont
pM resiéut peiKlAal le même t^mpa
dans la société, comment doiv-on
opérer? (407)
tiiiciu? (40*) I Q"® signiHeniles mota action, niQ^iot-
Gp qutjj consiste cette règle? (405) 1 nçtirct dividende?
Problèmes sur la règle de répartition (ZXXI).
i). Trois personnes oot à se partager 3840, de maatèrt que la pi^
mière ait 2 parts i la deuxième, 3 ', la tr^isièoMt 4« ^eUe est U part de cliacune?
I). On a donné â trois vieillards pauvres, âgés, le premier de 75 ans, le deuxième de 77 ans, le troisième de 79 ans, là somm^ de 3^5 ît, pour \f\it être distrUniée proportianatJieQMnt à leur flg%; oomiM^ti revient-il à chacun?
8). Deux voituriers ont reçu pour frais de transport la somme de 560 fr. t le premier a porté 1760 kilogrammes et le deuxième 2240; combiefi revient^l à ehacun ?
4). Oo a dépensé 1600 fr. pour achat d*une égalé ^antiié de nM et de sucre, au prix de 2 fr. 70 c Ip kilogramme de café et de 2 fr. 30 c. îe kilogi-amme de sucre; combien a-t-on payé poar i^^ 4^é #t pour le sucre ?
S). Quatre négociants ont iVété un navire pour un chargement de vin : le premier a chargé 240 pièces ; le deuxième, 200; lé trolsiètte 160; le quatrième, 100; le fret a coûté 9100; ooasbiias obacaa àtilb-iX payer?
6). Partager 13Ô en trois parties qui soieat entre eUe^ comme 1^ nombres j, } et }.
7). Partager 7400 en trois parties telles que la première soit à la deuxième comme 2:3 et que la deuxième seit à la troisième comme 5:6.
8). On a employé trois ouvriers pour faire un certain ouvrage : le premier y a travaillé 6 jours et 10 heures ^ar jour; le deuxième, 7 jours et 8 heures par jour; le troisième, 9 jours et 6 heures par joar;
APPiaCAtfi^îS ARITHMÉTIQUE 1^^
rttKMVtiit i4té pâfé^ld Cr* : oemneDi Étire io ptrfttgt tfilr» Jet «mis ourrierfi.
t). Deux hcr^rs ont 40ué ua ^Âttrage ^uu» )& liMame d^^S^ ir ; tt premier a laissé pattre 240 moulons pendant tt^ieur^; le 4euxHnl«< 1$0 moutons fwndant U Joiiraçicenhien chaqvi»lienc«v (Joifc'il payer?
iO). Mui; «ntyopi^iiettfs ont fait ua ooirragt qui leur a été payé 3T0OOO fr; : le pararatir a tioptofé ftO oiivmcn pfcodant 121> joiits et trftvmâiaiU 12 lieiste» fdJ jour ; !• dimtièlDp.€0 dymtta ptiûlimt 90 joân^M tO liMiMt par joa^^MBbiôi tevm&ll à 6|hu|iio tatr^pM» neur? "^ . . : i
Problèmes sur les règles de société et de partage
(XXXH).
I). Treif parch^ndfl df)t fail un fon(^s commun : le premier a n i« 400 fr., le deuxième 450, itle troisième 550; combien revient-il à chacuû sur une somme de Î4('0 fr.
i^ IPfofs p^softni» ft*étani atoodéèa fwt yttt afTIdred* «mteme
troisièœjQ 4âûOQi queUfi Dar( ret|feiQn^eUe.9 ciiii«ua« ^ur u|; bé,i|éfi^ de4800Ôfr.?
8). Trois négociants ont cfiai'gé un navire de marchandises, le premier pour une somme de 56iKJ fr., le dentl&mo fb\kr uim somme 4i àê-fXX^ et le iroiiième de 6400: la vente dt la carnais^^ n^i rai^arté quç lÛjSOQ fr, i quelle p*rt revtapt-il i chacm? . 4). Quatf-e p^tit3 marcliaiid? se ^nt associés pour une entreprise : le premier a mis W) fr.; le deuxième, 250; le troÎNi^n:- , 300; le c(uatriéme, 950; ils ont perdu 5ô(^fr.; oummetit tépartir eettt perte e&tra let quatre lasociéfl? '
|H« 7fe^s.pArsoanes oof fait un fpnds cQmmnn d^ 12|10f £r« lU prf^ mjèrç § retiré 300 fr. pour sa p^rt de bçnéfice, la deuxième 3âo et I4, trô'sième 550; quelle était la m 15e de chacune?
S). Quatre personnes ont fart enl cominun l'athat d'ûhe terre qui a itnSBié W^ fr. : kl pramièrB andt contribué à t'avilit \\ûut Ana «OB^ma df ^QO fr,; .la dey^èma, 250-0; l^ ^oLsiq(Qe^J0000 ; 1% quatrii&mai âOOÛj comment paitagt^f I@ revenu «ntre ces quatre perr sonnes?
1}. Trois personnes partant pour \m long voyage ont mfe' *èh com- TQmo. lin»! aamlAe de kûim fr* qv^eUfs pot dèpn^ 0hes vxL eapifaHsto q^ (fjif compte 5 po^r JûO d'in^rét par an : \a^ pr^nai^a avî^i^t m^^ IbèèO; fa" deuxième, 130(»0; la troisième^ 12000; ^u bout' d^ 5 ans eUos ont à partager le fonds commun ; comment sèteia te par^ tage?
8). Deux associés ont fait un bénéfice de MOD^: la premier javait mis au fonds commun 3000 fr. pendant 2 ans, et le deuiièm% 4tfM) pa»daot 3 ans ; partafar le bénéfice entre les associés. ^ - '
f)!. Trois tMrehands.ont mis en comTnun:le;pr6XDierJ340 fr, 60 c. pendant 4 mois; le deuxième, 350 fr. 20 c. pendant 5 mois;. le iroisième^ 4^8 fr. pendant 6 mois; le bénéfice est de 273 fr. 5 c. Quelle est la part de chacun ? .
10). Trois pf*rsonneft sont associées pour deux :ans :1a première a mis au commeiicément kOOttt iqu^elie a laissés pendant toute la durécde la société; la deuxième a mis au commencement 300 fr., et 6 mois après encore 300 fr. ; la troisième a mis 300 fr. au eommeac«ment et>un>ap Après 500 fr.; le bénéfice delà société étant de 660OCr., combien revient-ii à chaque sociétaire ?
