rc;JC

Multipliant terme k terme les deux proportinns [l]et [2], j'aurai :

600X25 : 500X40 = 24X0? :a;XX.

Supprimant le facteur x commun aux deux termes du se^ cond rapport, j'obtiens :

d'où ^ 500X40X24

Afin de simplifier les calculs indiqués, je supprime 1m facteurs communs au numérateur et au dénominateur et j'obtiens successivement :

^="61^5— ="-l5~^ = "5~==^><^=^^' en supprimant d*abord le facteur 100, puis le facteur 6, puis le facteur 5, et enfin une seconde fois le facteur 5. Remarque. — Le premier rapport de la proportion [3] qui

a servi à déterminer X, 600 X 25 : 500 X 40 ou ,

qui se réduit à - , n'est aiïtre chose que le produit des rap-

P^^^® ^fîô ®^ i^* autrement dit, ce rq^port est composé des

deux autres.

La proportion [3] elle-même est composée des proportions [1] et [2] : de là vient le nom de règle de trois composée que l'on donne quelquefois à cette méthode.

450. Problème. 25 hammèsy travaillant 9 heures par jour y ont mis 12 jours à creuser un fossé de 50 mètres de long sur 4 mètres de large et 6 mètres de profondeur; cornbien faudra 't'il employer d'hommes, travaillant 10 heures par jour pendant 18 jours, pour crevtser un fossé de 100

= ai

APPLICATIONS ABITHMÉTIQOES. 221

mètres de long sur 3 de large et 4 de profondeur^ dans im terrain deux fois plus difficile à travailler.

Voici le tableau du calcul qu'il sera facile d'expliquer par le raisonnement.

{x prime).

(X seconde) {x tierce).

{x quarte), (grand x).

18Xl0X50X4X6Xl:l2X9xl00X3X4X2i--25:X.

Les quantités Xj û/, af\ x'^^ a^^ disparaissent comme facteurs communs des deux termes du deuxième rapport :

lttX10XoOX4Xt)Xi '

0t supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur^ on obtient facilement

Il faudrait par conséquent 30 hommes.

439. On peut se dispenser d'avoir recours à la règle de trois composée et résoudre par une seule règle de trois simple tous les problèmes qui pourraient donner lieu à ces combinaisons de proportions.

Pour le problème précédent, je raisonnerais ainsi : 25 hommes, travaillant pendant 12 jours, et 9 heures par jour, font autant que 25 X 12X9 hommes, travaillant pendant une heure.

Un fossé de 50 mètres de long sur 4 de large et 6 de profondeur est la n^iême chose qu'un fossé de 50X4X6 mètres (cubes).

Pareillen^ent, a; hommes travaillant 18 jours, et 10 heures par jour, font autant que a?X18X10 hommes travaillant pendant une heure.

Un fossé de 100 mètres de long sur 3 de large et .4 de profondeur est la même chose qu'un fossé de lOOX 3X4

2%% * APPUCATX0N5 AWTIttCÊTIQUJBS.

mètres (cubes) ; et puiscpiq le terraia e«t deux fpia plus difficile à travailler, c'est comme s'il e'agipsait d'un fossé double du précédent, c'est-à-dire 100X;3X<^X8 mUres (cubes).

Maintenant, puisque les nombres d'hommes sont en raison directe des nombres de mètres, j'aurai la proportion 50X4X6: 100X3X4X2 = 25 X 12X9 :a?X18XlO,

A^.h ^^^.o^^in lQQX3X4X2X25X12X9 doù 0^X18X10= "■ 50X4X6 ' •

Connaissant un produit et un des facteurs (18X10), j'obtiendrai l'autre facteur par la division, ce qui donne

même résultat que précédemment.

440. Les questions traitées dans la deuxième partie se résolvent très-promptement à Taide des proportions.

Problâmb d'intjérét. -<**Quel est, à 5 pour 100, i'kitérêtde735fr. 80C.Î

Solution. Puisque, pour un capital de 100 fr., on a 5 fr. d'intérêt, pour un capital 2, 3, 4 fois plus grand ou plus petit, on aura un intérêt 2, 3, 4 fois plus grand ou plijs petit, c'est-à-dire qu'il y a relation directe eûtre les capitaux et les intérêts ; en aura dono la proportion

2* Probièmî»— Quel est Tàitérêt 4^ 838 fi?, 40 o., à 5 pour 100, au bout de 3 lois ^7

Solution. Cette question donne lieu aux deux prop^tiopssuivautes ;

Mtdtipliant, terme k terme, et réduisant^ on obtient

100xi:238,40X3i=5:X,

a ou A M3 ■ ' - yv^ ■*■ *■ * a» 4 1 ^, 7><

On «irait pu dire, puisque TiotérHpour un au est 5fr., l'intérêt pour 3 ans ^ sera 5 X 3i, #t 4Qrir« J«i. s^ul^ proportîûASuivftu^;

d'où Ton tirerait la même valeur de a? = 41,72.

441. Problème d'escompte.— Quel est Têicompte en dedans d'un billet de 4050 fr, payable dans 2 mois ^, l'escompte étant à 6 pour 100 ?

SoiiUTiON. Le taux de l'escompte étant 6 pour un an,

pour2moisj[=|moîs:^^derannée,ilsera6X5'^=r,25. Je dis donc: si 10l%25 sont réduits par l'escompte à 100, à quoi seray^duite une somme de 4050 î D'où la proportion ;

101,86 : 100:;;? 40M :a?=^iWM^=^ 4000 fr.

L'escompte sera donc de 50 fr.

442. Problème de société. — Trois associés ont mis en commun : le premier 20000 fr., le deuxième 25000 fr., et le troisième 35000 fr.; quelle est la part de chacun sur un bénéfice de 36000 fr. î

Solution. Les questions de cette nature ne sont que des applications de la propriété des rapports égaux. En effet, désignant par x, y, z les trois parts inconnues, comme les parts sont en raison directe des mises, j'écris les trois rap» ports égaux :

faisant la somme des antécédents et oelle des conséquents, j'aurai d'après cette propriété :

ca35000U=5 15750

Total égal '' 36000

445. Problème de mélange. 2* espèce. — Avec du vin à2 fr. 40 c. elà 80c. le litre, faire un mélange qui revienne à 1 fr. 50 c. le litre.

m Al^PUCATIONS AJEUTHMÉTIQUBS.

Solution. Soit x ce qn^n doit prendre de vin de la première espèce, y de la seconde.

La différence entre le prix le plus élevé et le prk moyen est : '

Entre le prix moyen et le prix le plus bas,

Ainsi, en vendant un litre de la première espèce à 1 fr. 50 c. on perdait 90 c, et Ton gagnerait 70 c. en vendant k 1 fr. 50 c. un litre de la seconde. Par conséquent la perte totale sur x litres sera 90 X a;, et le gain total sur y litres, 70 X y* Pour que le gain compense la perte, il faut que ces deux quantités soient égales, et comme de deux produits égaux de deux facteurs on peut tirer une prc^rtion, j'écris sur-le-champ :

et simplifiant le second rapport

Questionnaire.

OaeU soDi les problèmes que l'oa peut réKOudre par les prnpoj tiuns ? (43 1 )

Comment peut«ou 8'ast>urèr que les quatre nombreft reufermés dans l'énoncé, y < ompri^ le nombre inconnu, fuf'oient uneprop<tnioD? (432)

Quel'e est la règle pour mettre au problème en piop<>rtion?(433)

Dans quel cas deux quantités soouellcs ea rapport direct de deuxautret» ?(434}

Que signifie cette expression ' (^34)

Dctns quel ois deux quantité» soni-eilea en rappoit inverse de deux autres ?

Que signifie cette expi ession ? (435)

Dans quel cas peut-on résoudre le problème an moyen de plusieurs proportiMn?(%37)

Ne peut-on pas résoudre ces sortes d« problèmes par une seule pruportioa ?

Trouver par les proportions les règles d'intéfèt. (440)

Trouver par les proportions les r^es d'fscompte. (441).

Trouver par les proportions les règles de société. (442)

Trouver par les proportions les règles de mélange ou d'alliage ds deuiièaie espèce? (443)