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Afin de simplifier les calculs, je vérifie le chiffre 4 *>^«%ul

de le porter à la racine. Pour cela, je l'écris h la droite de 1 0, et je multiplie le nombre résultant 104 par ce même chiffre 4, et je soustrais en même temps le produit de 416, ce qui donne pour reste 0.

455. DÉMONSTRATION. — En effet, 2916 étant phis grand que 100, carré de 10, la racine aura au moins deux chiffres. Elle contiendra donc des dizaines et des unités, et le nombre proposé, qui en est considéré comme le carré, devra renfermer les trois parties ci-dessus , savoir : le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unités et le carré des unités.

Mais le carré des dizaines étant un nombre de centaines ne peut se trouver que dans les centaines du nombre proposé. J'ai donc séparé par un point les deux derniers chiffres à droite, et j'ai cherché le plus grand carré contenu dans la partie à gauche 29, lequel est 25 dont la racine 5 est véritablement le chiffre des dizaines; car le nombre proposé 2916 étant compris entre 2500 et 3600, sa racine sera comprise entre 50 et 60.

Ayant trouvé le chiffre des dizaines, il reste à trouver le chiffre des unités ; pour cela, après avoir abaissé la tranche suivante^ j'ai remarqué que le nombre 4 1 6 qui reste après que j 'ai eu retranché le carré des dizaines ne contient plus que les deux autres parties ; savoir, le double produit des dizaines par les unités et le carré des unités. Or, le double produit des dizaines par les unités est un nombre de dizaines qui, par conséquent, ne se trouve que dans les dizaines de 416 ; voilà pourquoi j'ai séparé le dernier chiffre à droite par un point. '

Maintenant, connaissant les dizaines de la racine 5, je les double, 10; et, divisant 41, qui renferme le produit de deux facteurs dont Tun est le double des dizaines et l'autre les unités, par le double des dizaines, j'obtiendrai, soit le chiffre des unités , soit un chiffre qui n'en différera pas beaucoup, et que, du. reste, je pourrai vérifier. Ce que je fais, en effet, lorsque , écrivant le quotient 4 à la droite de 10 double des dizaines, je multiplie 104 par 4. Car, en

multipliant 4 par 4, je fais le carré des unîtes, et eu multipliaût 10 car 4, je multiplie le double des dizaines par les unités.

456. On raisonnerait et on opérerait de k même manière, SI lô nombre proposé devait avoir plus de doux ohifflres à sa racine.

Eî^EMPLE ET DÉMONSTiiATiON. — Soit proposé d*extraire la racine carrée de 23609881.

i9 as.i

Le nombre proposé étant plus grand que lOG, la racine contiendra au moins des dizaines et des unités.

Le carré du nombre des dizaines ne peut se trouver que dans la partie 236098 que j^ obtiens après avoir séparé les deux derniers chiffres à droite par un point. Je suis donc conduit d'abord à extraire la racine du plus grand carré contenu dans 236098.

Mais ce nombre 236098 étant lui-même plus grand que 100, sa racine contiendra aussi des dizaines et des unités, et le carré de ces nouvelles dizaines ne pourra se trouver que dans la partie 2360, après avoir encore séparé deox chiffres.

6e nombre étant encore phis grand que 100, sa raeinc aura donc aussi deux chiffres, et le carré de ces nouvelles dizaines ne se trouvera que dans la partie 23 en séparant encore les deux derniers chiffres; je suis donc amené à partager le nombre proposé en tranches de 2 chiffres, en allant de droite à gauche.

Puis extrayant là racine du plus grand carré contenu dans la dernière tranche à gauche, j'obtiens 4 pour premier chiffre de la racine. Je fois le carré de 4 qui est 16, je le retranche de 23, ce qui donne 7 pour reste, à côté duquel j*abai8»e la tranche suivante, ce qui donne 760 f dont

la racine, ce qui donne 8 que j'ëcris en regard de !3^,(| : je àiyim 7Q pmr %y ce ^i dooiiA f qpi^ j'éttia à 1* éraîte du prieur 8 qui « mrfi de 4imw3t.

Pmt vérifier cd nony^iu ehi&e de la waism» |a nidliplie 88 par 8 et je soustrais en même temps le produit 4^ 760, c« qui dW^ po^ ^^^^ ^ J'écri& ^ i 1^ wine, j'ahaU^a la t^a«oh«i si^yan^e» c^ qiû doiu»^ S^i)9i»4(«Vtje a^paff^ la dernier ebifiËce 4 dsoita.

Je daabla la raaina iS at. j'ai p^nM^ diii^aur da M9, 96; la quoUei^t eat 5 qu^ j'toia i la drôite da 96, «t ja W(i-.

plie 965 par 5, en soustrayant en même taoapa la ||9Qd^it de 5698 1 et j'ai pour reste 873» J'écris 5 à la raQÎne, j'abaisse la tranche suivante et dernière, et j'ai 87â8il ^ dctfit je sépare le dernier chiffre.

Le double de la racine 485 est 970, et je divise 8738 par 970 j il vient pour quotient 9 que j'écris, à la droite de 970, et je multiplie 9709 par 9j le produi^^ soustrait de 87381, donne pour reste. Je porte 9 à la racine.

La racine demandée est donc 4859.

4117. Les chiffres trouvés successivement par la division seront convenables : I*> si la soustraction a pu se faire, ce qui montre que le chiffre n*est pas trop fort; 2* si le reste obtenu est phis petit que le double de la racine déjà trouvée augmentée.de 1, ce qui montre que le chiffre n'est pas trop faible. En effet, la différence entre les carrés de deux nombres consécutifs est égale au double du plus petit augmenté de 1, ce qu'on peut vérifier sur les carrés des premiers nombres.

4SS. Si, à la fin de toutes les opérations, on n'obtint aucun reste, le nombre proposé est dit carré parfait, et la racine, exacte.

459. S'il y a un reste , le nombre n'est pas carré partit; mais la racine obtenue est celle du plus grand carré contenu dans le nombre, et elle est exacte à moins d'une unité près.

Laoarpédala raoba «|otitd aiM It rasie dbit reproduire

232 PUISSANCES» ET BÀONES DBS NOMBRES.

le nomhre proposé, ce qtii peut servir de preuve de Topé-

jation.

Dans ce cas, il n'y a point de nombre qui, élevé au carré, donne le nombre proposé ; mais on peut approcher de la racine autant qu'on voudra, à Taide de la règle suivante :

460. Règle.— Pour extraire^par approximation^ la racine carrée d'wn nombre entier qui n'est pas un carré parfait^ on abaisse successivement^ à la droite des restes^ autant de couples de zéros que Von veut avoir de chiffres décimaux à la racine, et Von continue par ce moyen Vopération ff après la règle.

Démonstration. -r- En effet, si Ton veut avoir deux chiffres décimaux à la racine, par exemple, il faut abaisser successivement deux couples de zéros ou quatre zéros, ce qui revient à multiplier le nombre proposé par 10000 ; mais la racine serait 100 fois trop grande, et on la réduit à sa juste valeur en la divisant par 100, c'est-à-dire en séparant deux chitTres décimaux sur la droite de la raciii.

461 . RÈGLE. — Pour extraire la racine carrée d^une fraction ordinaire, si le dénominateur est un carré parfait^ on extrait la racine du numérateur^ laquelle pourra n*ilre pas exacte, mais alors avec V approximation qu*on voudra, ensuite on extrait la racine du dénominateur» Si le dénominateur n'est pas un carré parfait, on multiplie les deux termes par le dénominateur; et le nouveau c^nominateur étant un. cçrré parfait, on opère comme il vient d'être dit.

462. Règle. — Pour extraire la racine carrée d^un nombre décimal, on fait en sorte que le nomJbre proposé ait le double du nombre de chiffres décimaux que Von veut avoir à la racine. S*il y en a moins, on y supplée par des zéros, s'il y ma davantage, on néglige le surplus, puis on opère comme sur un nombre entier, en ayant soin de séparer à la droite de la racine le nombre de chiffres décimaux qu'on veut avoir.