DIVISION DES FRACTIONS

43. Si nous nous rappelons la définition de la division (26), nous comprendrons sans peine ce qui va suivre.

Nous avons dit que la division est une opération par laquelle, un produit et l'un de ses facteurs étant donnés, on se propose de trouver l'autre. Ce second facteur, qui, dans la division, prend le nom de quotient, s'obtient en cherchant combien de fois l'autre facteur, appelé diviseur, est contenu dans le produit, nommé dividende. Or, il est évident que, le dividende restant le même, plus le diviseur sera petit, plus il sera contenu de fois dans le dividende, ou plus le quotient augmentera. Ainsi, 4 sera contenu dans un nombre quelconque la moitié moins que 2 ; en d'autres termes, le quotient d'un nombre quelconque divisé par 4 sera la moitié de celui que donnera la division de ce même nombre par 2. Dans le 1er. cas, le quotient sera le quart du dividende, et dans le 2e. cas, il en est la moitié. Le quotient serait égal au dividende, si le diviseur était l'unité ou 1 ; il serait le double, le triple, etc., si le diviseur n'était que J, ^, ^, etc. Par ♦ xemple, si nous voulions mesurer la longueur d'une salle, nous prendrions une toise, et en supposant que la salle eût 4 toises de long, la longueur de la toise serait contenu 4 fois sur la longueur de ia salle ; mais si, au lieu d'une toise, nous prenons un pied pour mesure, le pied étant six fois plus petit que la toise, il est clair que le pied sera contenu 6 fois plus sur la longueur de la -aile, c'est-à-dire, 24 fois. '

Pareillement, si Ton partageait 18 chelins entre 9 personnes, chaque personne aurait 2 chelins ; mais si, au lieu de les partager outre 9, on ne les partage ({u'entre 3, les parts seront 3 fois plus fortes, puisque le diviseur devient 3 fois plus petit ; dans ce cas,

Vt ARlTHMETiqUl

i haquc personne aurait donc 6 chcîlirt». S'il fiiilui nartJijrrr f ntrc 12, chaque portion serait de 1 chelin et ^ ; vnirr 'M\, un ^ rh^lin, rtc.

Donc, lo. lorsque le diviseur sera 2, 3, 4, etc. foia pliM fort que l'unité, le quotient sera 2, 3, 4 fois plus petit que le dividende. 2o. Lorsque le diviseur est 2, 3, 4, etc. fois plus petit que l*unit<*, ic quotient est nécessairement 2, 3, 4 fois plus grand que le dividende.

Soit à diviser § par y : d'après notre définition, il 8*agit de trouver une fraction qui, multi|)lide par /, donne pour produit j. JiO diviseur ] étant 6 fois moindre que Tunité, le quotient doit être .*) fois plus grand que le dividende J. Ainsi, rendons la fraction J 5 fois plus forte (31), et nous aurons pour qtîotiertt véritable V", ou 3 -J- (36).

Si nous multiplions le quotient par Ir riivi- - r».*

effectivement V" X j = yf ou -§-.

Maïs, si nous avions à diviser f par J, ici le diviiieur a'esl pan .') fois plus petit que l'unité, car j valent 4 fois -^, c'est-à-dire, 4 parties dont 6 forment l'unité : la fraction J n'est que J de fois plus petite que l'unité ; conséquemnient, le quotient ne doit être que j de fois plus fort que le dividende ^, c'est-à-dire, 1 fois plus ^ do fois.

De sorte que^ eil multipliant le numérateur de la fraction dividende J par 5, dénominateur de la fraction diviseur ji nous obtenons '^, comme ci-dessus, mais ce quotient se trouve 4 fois trop fort ; il faut donc le rendre 4 fois plus petit, eu multipliant son dénominateur par 4 (31 et 32), ce qui donne pour quotient véritable ^^ ou |-, fraction plus forte que y.

Pour obtenir ce quotient, nous avons multiplié J par J, et cela ost bien naturel, puisque nous avons remarqué que le quotient doit être les J du dividende ; d'ailleurs nous savons que c'est par la multiplication qu'on prend un nombre un certain nombre de fois ; donc nous devions prendre J de fois J. Mais j est la fraction diviseur renversée.

Le raisonnement que nous venons de faire pouvant s'appliquer à tout autre exemple, nous en déduirons cette règle générale :

Pour diviser une fraction par une fraction, il faut multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renverser.

f divisés par yV revient à f X V = i|» ou 1 |^.

44. Cette règle générale nous fait voir encore que, pour divi-jer

RAISONNEE. 46

Vvine par l'autre deux fractions, il suffit de diviser le numérateur de la 1ère, par celui de 2e. et le dénominateur de la Ire. aussi par celui de la 2e., lorsque ces divisions peuvent se faire sans reste. En effet, soit proposé de diviser | par ^ ; divisant le numérateur de la Ire. fraction par celui de la 2e., nous avons ^ ; la fraction | se trouve donc divisée par 2 (31) ; mais ce n'est pSs par 2 que nous devons diviser §, c'est par f ; donc le quotient ^ est 3 fois trop petit, car le quotient véritable doit être les | de § ; or, pour donner à ce quotient sa juste valeur, il faut rendre la fraction ^ 3 fois plus forte, ce que l'on fait en divisant son dénominateur par 3, et nous aurons pour quotient véritable ^, ou 1 ^. Mais d'après les principes du No. 31, nous pouvions encore rendre la fraction ^ 3 fois plus forte, en multipliant son numérateur par 3 ; conséquemment pour pouvoir opérer de cette manière, il suffit que le numérateur de la fraction dividende soit di-^ visible par celui de la fraction dénominateur ; par exemple, » à diviser par -1 : je divise -? par 3, et j'ai -A- pour quotient, mais 7 fois trop petit ; je multiplie -?— par 7, et j'obtiens IJou 1 et i-^.

Si les numérateurs ne sont pas divisibles l'un par l'autre, et que les dénominateurs le soient, comme ^ à diviser par f , je divise le dénominateur 6 par le dénominateur 3, ce qui me donne ^, quotient 2 fois trop fort ; je le rends 2 fois plus petit en multipliant son dénominateur par 2, et il vient J = 1 ^.

45. Enfin une conséquence en amène toujours un autre, et nous ne devons pas omettre la remarque suivante, qui est, peutêtre, la plus importante.

Il s'ensuit de tout ce que nous venons de dire sur la division des fractions que, pour diviser Vune par Vautre deux fractions de même dénominateur^ il n^y a qn^à diviser le numérateur de la Ire. par celui de la seconde^ sans avoir égard aux dénominateurs ; car, suivant la règle générale, si nous voulons diviser f par ^, nous aurons A X ^ = -Ji, ou, en simplifiant, ^.

Si nous changeons de place les dénominateurs des fractions 2. et 7 nous avons JL x ^, ce qui ne chanfijc rien au résultat, puisque le numérateur et le dénominateur du quotient .|1. seront toujours des multiples de 7 ; seulement, quant aux dénominateurs, au lieu de multiplier 7 par 5, nous multij)lions 5 par 7 ; mais nous avons rigoureusement démontré (22) que le produit de deux nombres ne change pas, quel que soit l'ordre des facteurs. De plus, nous savons (32) que la multiplication simultanée des 2 termes d'une fraction par le même nombre n'en change pas la va-

4t> ARITHMETIQUE

leur : or, multiplior ^ par ^, c'est ne rien faire du tout II en est de même pour les nombres entiers ; 12 x ^ = 48, divisa ensuite par 4, on a toujours 12.

Ainsi le quotient de ^ par |^ est 1.

Donc, pour divis«;r entre elles deux fractions qui ont le mômedénominateur, il suffit de diviser le numérateur de la Ire. par le numérateur de la 2e. ; et cette division est toujours possible, puisqu'on se contente de l'indiquer. Le quotient de 3 pnr S ..^t |. 1 divisé par 10 = 1^ i^ divisés par -LL = 'l ,

1 3. Pour diviser une fraction par un entier, voir le ÎS'o. ai. J divisés par 4 zi: ~- ou jL-.

^ divisés par 3 = -^.

47. Vont diviser un entier par une fraction on nnH 1 1 nticr sous la forme d'une fraction, en lui donnant l'unité pour dénominateur (38), et l'opération revient à diviser une fraction par un autre. Ainsi, 6 divisé par i., se réduit U A x ", et le quotient véritable est ^-P, ou 3;'

9 «li\ is.' par Y = I X } = ^ oti 12 |.

Si l'on a bien compris le No. 43, cela n'a pas besoin de démonstration. Remarquons seulement que cela revient à multiplier l'entier par le dénominateur de la fraction, et ensuite diviser le produit par le numérateur.

48. Quand on a des entiers joints à des fractions à diviser par des entiers joints à des fractions, on réduit les entiers en fracticHis de la même espèce que celles qui les accompagnent (39), et l'opération rentre dans le cas du No. précédent.

Soit à diviser 4 § par 3 -J ; on a y à diviser par J ; soit

Ire Question. — Par quelle fraction faudrait-il multiplier | pour aToir ^ ? Réponse, t divisés par * ^z 54, telle est la fraction demandée (26).

2e Qu€!(tlon. — Un tailleur a une pièce d'étoffe qui coutienl 46 vergea ; il ▼eut en faire des gilets ; en supposant qu'il mette i. de verge |>our chaque gil<>t, combien la pièce lui fournira-t-elle de gilets ?

Divisant 45 par 1, on a pour réponse 72 gilets.

3c Queêtion. — 17 gallons } de vin de Porto ont coûté 142 francs; combien cela fait-il le gallon ?

142 fr. divisés par 17 j = 8 fr.

4e Q^estion. — Combien t a-t-il de cinquièmes dans 24 1

Réponse,, 121».

48. Les preuves des 4 opérations sur les fractions^ se font comme celles des nombres entiers (28.)

RAISONNEE^ 4T

FRACTIONS DECIMALES.

49, Les fractions décimales sont des quantités de dix en dix fois plus petites que l'unité, et c'est de cet ordre de décroissement qu'elle tirent leur nom. Le système décimal n'est pas nouveau ; c'est une continuation et une conséquence nécessaire de l'ancien. '. En effet, nous avons vu dans la numération écrite qu'un chiffre, reculé d'un rang de la droite vers la gauche, prend une valeur décuple ; que par conséquent tout chiffre placé au 2e. rang a gauche, représente des dixaines, au 3e., des centaines, au 4e., des mille, etc. ; qu'au moyen de cette convention on peut écrire les plus grands nombres qu'il soit possible d'imaginer.

On voit d'après cela que rien n'empêche d'écrire, à droite de l'unité simple, de nouvelles unités de dix en fois plus petites. Ainsi celle qui sera immédiatement à droite de l'unité simple, sera 10 fois moindre que cette unité ; on l'appelle dixième par opposition aux dixaines. Celle qui sera au 2e. rang à droite de l'unité, ou qui sera placée immédiatement après les dixièmes, sera 10 fois moindre que les dixièmes, 100 fois moindre que l'unité simple ; on l'appelle centième par opposition aux centaines. En continuant ainsi d'écrire de nouvelles unités de gauche à droite, et de leur donner des noms opposés à ceux que nous leur donnons en allant de droite à gauche, il est aisé de voir que nous pouvons écrire les plus petits nombres qu'il soit possible d'imaginer.

Les nombres décimaux s'écrivent comme les nombres entiers, mais il faut avoir soin de séparer les entiers des décimales par une virgule.

vSi le nombre ne contient pas d'unités entières, on met un zéro à gauche de la virgule décimale pour tenir la place des entiers. I Un dixième s'écrit de cette manière 0,1 ; un centième, 0,01 ; un millième, 0,001 ; un dix-millième, 0,0001, etc. /j Ces fractions s'énoncent comme les nombres entiers, en ayant soin d'ajouter la terminaison ième au dernier chiffre k droite.

Ainsi 25,01 s'énonce 25 unités et 1 centième, 8,025, 8 unités, 25 millièmes ; 0,25, 25 centièmes ; 4,739, 4 unités, sept cent trente neuf millièmes ; on peut dire aussi, 4 unités, 7 dixièmes, 3 centièmes et 9 millièmes. Si l'on veut réduire les entiers en fraction, il n'y a qu'à supprimer la virgule, et l'on aura 4739 mil liènjcs.

25,01 =: 2501 centièmes, etc.

• l^fs chiffres placés à gauche de la virgulo sont des entiers ; les chiffres a droite, forment la partie décimale, ainsi que nous

venons do le voir.

48 AHITHMI-TIQUC

60. De môme qui ...ti..^ .. - i.oinbrc8 entiers, la \un ui u lUi chiffre Mécimal dépend uniquemeut de la place qu'il occupe relativement à la virgule. Ainsi tout chiffre placé au 1er. rang aprt-B la viri^ule, repré»entc des dixièmes ; au 2e., des centièmes : ku 3e., des millièmes ; au 4e., des dix miUicmes, etc. A ni< qu'un chilîre avance de gauche à droite, il prend une valeur d en dix fois plus petite. Donc, 0,1 vaut 10 fois moins que 1 ; 0,01, dix fois moins que 0,1, et 100 fois moins que 1 ; 0,001, 10 fois moins que 0,01, 100 fois moins que 0,1 et 1000 fois moins que 1, etc. Conséquemment, tant qu'un chiffre ne changera pa« de place par rapport à la virgule, il conservera toujours la même valeur. D'où il résulte qu'un nombre décimal ne change pan do valeur quel que soit le nombre de zéros que l'on ajoute ou que l'on supprime a sa droite.

Ainsi les fractions 0,50, 0,600, 0,5000, 0,50000, 0,600000000, etc., sont toutes la même chose que 0,5. En effet, 0,5 veut dire que l'unité est partagée en 10 parties égales, et que l'on en prend 6, ce qui fait la moitié de l'unité ; 0,50 signifie que l'unité est divisée en 100 pjutics, et ici les parties sont plus petites, à la vérité, mais aussi l'on en prend 10 fois plus, puisqu'on en prend 60, ce qui tait toujours la moitié des parties ; 0,500 indique qu'elle est partagée en 1000 parties, et qu'on en prend 600, or c'est encore kl moitié ; ainsi de suite.

51. D'après ce qui précède, on voit que si l'on avance la virgule de 1,2, 3, 4, etc. rangs vers la droite, le nombre décimal devient 10, 100, 1000, 10000, etc. fois plus grand, c'cst-h-dire, qu'il se trouve multiplié par 10, par 100, par 1000, etc. Par exemple, dans le nombre 234,765, si nous transportons la virgule à un rang plus à miroite, nous aurons 2347,65, nombre 10 fois plu» fort que le 1er. ; car, le chiffre 2, qui n'exprimait que 2 centaines vaut maintenant 2000 ; les 3 dixaines sont devenues des centaines ; les 4 unités valent 4 dixaines ; et le 7, qui ne valait que 7 dixièmes, est passé au rang de unités ; le 6 a pris la place des dixièmes ; et enfin le 5, qui n'exprimait que de millième.s vaut de centièmes ; donc tout le nombre se trouve multiplié par 10. Si nous avions reculé la virgul«' d«' 2 r.inL'^. '>'»'"^ anrK.ns multiplié le nombre par 100, etc.

52. Par une raison contraire, suiviuii qur l'oii .i».iiiiv ,.^ r.fgule de 1, 2, 3, etc. rangs vers la gauche, le nombre devient 10, 100, 1000, etc. fois plus petit. C'est le moyen de le diviser par l'un de ces nombres. Soit proposé de diviser 478,25 par ICO ; le quotient est 4,7826. Si le nombre proposé n'avait pas assez de chiffres à gauche, pour pouvoir avancer la virgule, il suffirait d'ajouter un nombre de 0 nécessaire pour faire la transt

RAISONNEE.

osition demandée : si nous divisons 5,26 par 1000, nous aurons 0,00626, nombre 1000 fois plus petit que le 1er. Si l'on veut diviser 215 par 10, on a pour quotient véritable 21,5; par 100, 2,15 ; par 1000, 0,215 ; par 10000, 0,0215 ; ainsi de suite.