REDUCTION DES FRACTIONS DECIMALES EN FRACTIONS ORDINAIRES

59. Rien n'est plus facile que de mettre une fraction décimale 50US la forme d'une fraction ordinaire : il suffît, pour cela, dr prendre le nombre décimal pour numérateur, et de lui donner, pour dtnom,inaieur^ Punité suivie d'axdanl de 0 ou'il ii a de chiffres décùnaux dans le nombre propose.

Ainsi 0,5 = -f'ô;0,25 = yVô; ^',375 = yVo'tt; M376 = -J-?^^5, etc. En simplifiant ces fractions, on trouvera (34 et 35) que 0,6 = J, 0,26 = ^^ 0,376 = f , etc. Si le nombre décimal a des entiers, on pourra les écrire d'abord, et ensuite k\ fraction

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comme nous venons de le faire. Ainsi 15,7û =16 „__ ::z i.>

J ; 12,5 = 12 5 = 12 J. Mais si l'on veut avoir les entiers en fraction, il n'y a qu'à faire disparaître la virgule, et l'on aura (39 et 61) 15,76 = 'fVV. = (34) Vô' = V = 16 3; 12,5 — TTT > ~" J — 1^ J.

Comme on le voit, on retrouve ainsi la fraction génératrice, c'est-à-dire, la fraction ordinaire qui avait fourni la fraction décimale, mais cela n'a lieu que lorsque la fraction décimale est finie.

Les fractions périodiques peuvent s'exprimer en fractions ordinaires de la même manière que celles que nous venons de réduire: ainsi 0,]<«'''

= tUWb = nm- 0,333 = m\-

Mais la fraction ainsi réduite n'est j'amais équivalente, non plus que la fraction décimale, à la fraction ordinaire qui a donné naissance à la période, et il n'est pas possible de revenir, de cette manière, à la fraction génératrice. Voici la règle pour y parvenir.

60. D'abord, il faut distinguer si la période est simple ou mixte : dans le 1er. cas, on prend les chiffres de la période pour numéraleury et Von donne pour dénominateur autant de 9 qu\l y a de chiffres dans la période.

Soit proposé de revenir à la fraction ordinaire qui a fourni la fraction périodique simple.

0,272727, etc.

La période se composant de 2 chiffres, nous avi..., - .-, = j^-

Soit encore 0,33333, etc. ; cette période n'ayant qu'un chiffre, il vient f = J.

Soit enfin, pour 3e. exemple,

0,285714285714285714, etc.

Ici la période étant formée de 6 chiffres, nous aiiiw..- m .i|;iv :^ la règle, ^^^2i± \ en cherchant le plus grand commun diviseur (35), qui est ici 142S57, et divisant les 2 termes de la fraction par ce commun diviseur, on obtient ^, qui est en effet la fraction demandée.

Si la fraction périodique est mixte^ on recule la virgule jusqu'au commencement de la période, et Von réduit la période en fraction ordinaire, comme dans le 1er, cas. La partie qui se trouve à s;auche de la virgule, est considérée comme un entier, que Pon met sous la forme (Vune fraction, en lui donnant Vujiité pour dénominateur, ce qui fournit 2 fractions, mais autant de fois dix fois trop fortes qu'ail se trouve de chiffres avant la période (50) ; on les rend donc autant de fois dix fois plus petites, en écrivant un ou plusieurs 0 à droite de leur dénominateur {31),

RAISONNEE. 66

Ces deux fractions, réduites au même dénominateur et réunies, donnent la fraction demandée.

Soit, pour 1er. exemple, la fraction périodique mixte 0,416666, «te.

En suivant la règle, nous aurons d'abord 41,6666, etc. puis Y et f ou "§, fractions 100 fois trop fortes.

Les rendant 100 fois plus petites, il vient -j^, y^^j ; les réduisant au même dénominateur, nous avons ^g^, 3-^^ dont la somme

^S^ 7ÏÏ(J — 12*

Prenons encore, pour exemple, 0,83333, etc.

Nous avons 8,3333, etc. donc les 2 fractions f et |, mais dix fois trop fortes :

Rendons-les 10 fois plus petites, ce qui nous donnera f^^, 3'^, ou, en les simplifiant, |, -^q = f J et y^j, dont la somme égale

On arrive encore au même résultat, en reculant la virgule Jusqu'ap'ts la Ire. période, et en retranchant ensuite la partie no7i périodique de tout le nombre qui se trouve à gauche de la virgule : la différence que Von obtient est le numérateur de la fraction. On lui donne pour dénominateur autant de 9 qu^il y a de chiffres dans la période, et autant de 0 quHl y a de chiffres dans la partie non périodique.

De cette manière, 0,41666, etc.

nous donnera 416,666, etc.

retranchant 41

Reste, 375, numérateur de la fraction. La période n'ayant qu'un chiffre, et la partie qui précède en ayant deux, nous avons ^^ == j^g.

De même 0,8333, etc. vient 83,333 ôter 8

Reste, 75 Donc J^ = g.

61. Pour nous rendre raison de la légitimité de ces règles, rappelons-nous le No. 29 6°, où nous avons démontré qu'une «ixaine égale 9^-1; que 2 dixaines égalent 9 -f 9 -f 2 ; 3 dixaincs, 9 + 9 X 9 + 3, ... 100 = 99 + 1; 110 = 99 -f 9 -f 1 1000 = 999 = l,etc.

Donc » = 0,1111, etc. ; J = 0,2222, etc.

T3^9 = 0,010101, etc ; ^J^ = 0,001001, etc.

Considérons de plu» que, pour réduire en décimales, nntrt multiplions sucressivrment par 10 le numérateur d'nt ou le reste d'une division, et poursuivant toujours la <i) le môme nombre, nous obtenons au quotient des unités de dix <»n dix ibis plus petites, suivant le systêm* '!«• mmii.i:iii,.ri r^-^K a-dire, des fractions de fractions.

Lorsque la fraction décimale est fini» . iHmu .m vu. m *,.^iimdérée comme partagée exactement en parties de dix .... , pai conséquent, dans ce cas, si nous voulons représenter une fraction décimale tinic en fraction ordinaire de même valeur, en prenant le nombre décimale pour numérateur, que l'on considère alor.^ comme entier, il faut lui domicr pour dénominateur un nombre composé d'ofutant de dix que nous avons multiplié de fois par 10.

Quand la fraction est périodique, il est évident qu'elle ne doit pas avoir 10, ou un nombre composé do plusieurs fois 10, puisque l'on ne peut assigner un nombre exact de parties quelque petites qu'elles soient, et qu'ainsi l'unité ne saurait réellement être divisée en parties de 10.

D'ailleurs, si nous représentons par x la valeur de la fraction génératrice de 0,272727, etc. en reculant la virgide de 2 rangs à droite, c'est-k-dire, en prenant les 2 chiffres de la période pour numérateur, nous prenons évidemment un nombre 100 fois plus fort qu'il n'est en réalité ; il faut donc multiplier aussi x par 100. afin de conserver l'égalité de la quantité que nous comparoni. avec elle-même.

Donc 100 x = 27,2727, etc.

Or 0,2727, etc. =r x.

Pour revenir à la fraction ordinaire, nous n'avons pas besoin de la partie qui est à droite de la virgule, puisque ce sont le» mêmes chiffres qui se reproduisent à l'infini.

De 100 jr = 27,272727, etc. retranchons donc 1 X = 0,272727, etc.

Reste, 99 x = 27,000000

Divisant les deux termes de celte égalité par 99, nous avons X = §J = —3-, telle est la valeur de x.

Soit maintenant la fraction périodique mixte 0,41666. f te. : Nous aurons, x = 0,416666, etc. ;

Reculant la virgule de deux rang.s,

il vient 100 x = 41,6666 ;

Mais 0,6666 = f ou f ;

Donc 100x= 41 -I- f ;

RAISONNEE, 67

Rendons les deux termes de cette dernière équation 100 fois plus petits, ce qui nous donnera

**" — 100 "T 30 0 — 300 T" 3 00 — SOCT — iT*

Pour démontrer le second précédé, prenons le même exemple :

Nous avons d'abord x = 0,416666, etc.

Puis, 100 a: = 41,6666, etc.

Et enfin 1000 x = 416,6666, etc. ; pour faire disparaître la partie à droite de la virgule, de la 3e. de ces égalité,

1000 j:= 416,6666, etc.

Retranchons la 2e. 100 a: = 41,6666 .... ;

Reste, 900 :r = 375

D'où X = ^.li. = -i.

D'après cette méthode nous voyons que, quoique Ton ne puisse jamais obtenir l'unité, quelque loin qu'on pousse la division (on peut en approcher de très-près),

la fraction 0,999, etc. = f = 1 ;

0,00999, etc. = 9 = J. = 0,01.

Amsi, par exemple, si le quotient d'une division était 24,9999.

etc., on pourrait librement prendre 25 pour quotient exact.

Pareillement le quotient 24,0999, etc. serait 24,1.

Le quotient 24,00999, etc. est 24,01 ; ainsi de suite.

Les nombres terminés à droite par des zéros n'étant divisibles que par 2 ou par '), ou par le produit de ces 2 nombres, ou le produit de chacun d'eux multiplié plusieurs par lui-môme, tel que 4, 8, 16, 32, etc. 25, 125, etc., il s'ensuit qu'une fraction sera périodique toutes les fois que le diviseur n'est pas 2 ou 5, ou formé des seuls facteurs 2 ou 5.

dS ARITHMETIQUI