REDUCTION DES FRACTIONS ORDINAIRES EN FRACTIONS DECIMALES

56. Les fractions ordinaires, ainsi que nous l'avons dit, indiquent le quotient du numérateur par le dénominateur. Le quotient de 107 par 4 est * J^ : En effectuant la division, on a 26 j. Si nous voulons réduire la fraction | en décimale, nous n'avons qu'à réduire le numérateur 3 en dixièmes, en le multipliant par 10, ce que l'on fait en mettant un 0 à droite de 3, et l'on a 30 dixièmes dont le quart est 0,7 et il reste 2 dixièmes, qu'on multiplie encore par 10, pour les réduire en centièmes, ce qui donne 20 centièmes, dont le ^ est 0,05 que l'on place à droite des 0,7 et l'on a 0,75. En sorte que le quotient 26 | se trouve exprimé par 26,75.

Soit encore J à réduire en décimales ; on dispose le calcul de la manière suivante :

«ft

et AIITHMETIQUE

7 ne pouvant contenir 8, il bViisuII qu'il n'y aura pas d'entiers, on met uu 0 pour en tenir la place et une virgule ; on ajoute un 0 â 7 pour le réduire en dixièmes ; 70 contient 8 foi» 8, qui ôté de 70 rciile 6 dixièmes qui valent 60 centièmes, lesquels contiennent 7 fois le diviseur, et il reste 4, qu'on multiplie encore par 10, pour avoir des millièmes; 40 divisés par 8 donnent 6 millièmes, et il ne reste plus rien. Donc J = 0,875.

Ri^lc. — l'our réduire une fraction ordinaire en décimait», on diriae le nu- «éraicur par le dénominateur, en convertissant Bucccasivcinoni Ip» re^t*-?» en dixièmes, en centièmes, en millièmes, etc. ce qui s'eflectu Lorsque la fraction ordinaire ne contient pas d'entiers, la i n'en a pas non plus. Quand on divise un nombre q • ' ini Id division, s'il y a un reste, on met une virjjulc a tiére du qiiotitnt, et l'on continue la division pour i

eomme nous venons de le voir. Si, après avoir ajouté un 0, le reste m: contenait paâ le diviseur, avant d'ajouter un autre 0, il faudrait mettre un 0 an quotient.

De cette manière, on trouvera que le quotient exact de 3-24 par 25 est 12,96.

7 divisé par 16 =r 0,4375.

Ce sont des fractions décimales finies.

57. Lorsqu'on réduisant ainsi le reste d'une division en décimale, on parvient à un reste 0, le nombre décimal est le quotient exact de la division. Mais il arrive souvent qu'en opérant ainsi, le calcul ne se termine pas ; par exemple, si l'on veut r^'^M»-' '^n dlécimales les fractions ^^j, J, ^, j*,, on aura pour la Ir-

80 0,416666, etc ; Pour la 2c. on a : J = 0,33^^.33, vir ; La 3e. donnera J = 0,11111, etc ; Et enfin le 4e. fournit yy = 0,46464645, etc. On voit que les mêmes chiffres déjà obtenus au quoiient %€ reproduisent sans cesse, et que l'on ne parviendra jamais à épuiser le dividende, parceque l'unité est divisible jusqu'à l'infini. Ces sortes de fractions s'appellent périodiques. Celles dont la période commence immédiatement après la yir- ^\e,SG nomment fractions périodiques simple» ou orcii/Mi»rc*,tell««

RAISONNEE. 58

sont les trois dernières. La première est une fraction décimale périodique mixte^ parceque la période ne se montre qu'après ks centièmes.

De sorte que, plus on poussera loin ces divisions, plus on approchera du quotient véritable, mais il ne sera jamais possible de l'assigner exactement, et une fraction ordinaire réduite ainsi en décimales, ne sera pas rigoureusement égale à la fraction proposée.

68. Cependant, pour la pratique, on se contente de cette réduction, et l'on no va guère plus loin que les millièmes, et même dans le commerce, on ne dépasse presque jamais les centièmes. Car ce que l'on néglige ne vaut jamais une unité de l'ordre auquel on s'arrête.

Ainsi, on dit que le quotient de 11 par 7 est 1,5 à un dixième près, c'est-à-dire que ce qui manque ne vaut pas un dixième ; poussant la division jusqu'aux centièmes, on obtient 1,57, quotient exact à moins d'un centième, puisque ce qui manque ne vaut pas un centième. Si l'on veut approcher encore plus, on ira jusqu'aux millièmes, et l'on aura 1,571, et ainsi de suite. Pareillement f = 0,2857 à moins de un dix millième près. Si l'on ne veut conserver que deux chiffres décimaux dans cette fraction, on aura 0,28, fraction un peu plus petite que ^. Comme le chiffre qui est après les centièmes, dans 0,2867, est 6 suiri d'un autre chiffre significatif, on peut augmenter de 1 le dernier chiffre décimal que l'on conserve, et l'on a 0,29 ; dans ce cas, la fraction 0,29 se trouve un peu plus forte que ^, mais dans l'un et l'autre cas, la différence ne saurait être d'un demi-centième. Quoiqu'on veuille ne conserver que 2 décimales dans le nombre 1,571, il ne faut pas augmenter le 7, parce que le chiffre qui vient après lui n'est pas 6 ; il faudrait écrire 1 ,57, etc.