IG
riombre qui, multiple une pui^ssanc-
^..ciov>iifjue ou un nombre uw,.,. , • -^ . . ■•", ' ■
<iuc du nombre donné.
La 2c. et la 3e. puissance, aiu.si que leur rucine, ont ret^u uei noms particuliers : on dit carré tt cube, racine car.ée et racine
■50 est le carré de 6, et la racme carr»
125 est le cube de 5. cl 5 est la ra.^iii : , ,
i libre quelconque a une puissance donnée, li tulht de savon- luire I4 niulti- .Heation ; mais rextractiorr des racines est soumise ù des règles
S'5. lin" , ''' l^'^'-iî" '-xtraiit: en n ir::; 'c^ entiers
les nombres depuis 1 jusqu'à ' rouve
-;vante, qu'il Huit .^i;voir u.ir c:
o v.i;*, qu'un nombre entier compose de 2 cliiffrcs ï.^ulemcnt, ne peut arolr • ; i-.f <\'.\\v^ «; 'jT chiffre en nombre' entier; qu'un nombre de 3 ou 1
Ji ..-. la lurniatio;: ila c^rré, que ujui; ilccouvr*ro:ii ia inclliadj tlunt jjuui: ±Mi ii-isoiii pour revenir du carré à sa racine. Formons le c.irré de 46, mais
RAISONNEE. KH
<du multipllcat€ur, écrivons séparément chacun des produits partiel*, niii^ dv distinguer les diverses parties qui entrent dans la formation du carré.
46 Racine.
36 unité?, carré des 6 unités.
24 disaines, produit des 4 dLsaincs par les 6 unités. 24 dixaines, produit des 6 unités par ics 4 dixaines. 16 centaines, carré des 4 dixaines.
2116 unités, carré de 46.
io. Multipliant les 6 unités du multiplicande par les 6 unités du !iiu'ii|'iicateur, on a 36, qui est le carré des 6 unités de 46; 2o. les 4 dixaines du multiplicande, multipliées par les 6 unités du multiplicateur, donnent 24 dix;ir!K« (18), et les 6 unités du multiplicande, multipliées par les 4 dixaines du ninltiplicatcur, donnent aussi 24 dixaines, ce qui est la même chose que le douMc des dixaines multiplié par les 6 unités, ou 48 dixaines ; 3o. enfin, les 4 dixainçs du multiplicande, multipliées par les 4 dixaines du multiplicateur, for ment le carré des dixaines de 46 ou 16 centaines.
D'un autre côté, si l'on décompose le nombre 46 en deux parties, on a 4 dixaines et 6 unités, ou 40 -1- 6.
40 X 40 = 1600. carré des dixaines.
2 fois 40 X 6 = 480. double produit des dixaines par les unit<".«. 6 .\ 6 = 36. carré des unités.
2116. carré de 46.
<'>n obtiendrait de même le carré de tout autre nombre composé dv- di\- »mes et d'unités ; 3257, par exemple, égale 325 dixa:ncs plus 7 unités.
Nous voyons que le carré 2116 se compose : du carré des dixaines, du double des 4 dixaines multiplié par les 6 unités, et du carré des unités de 46.
84. Donc, îe carrée tVun nombre quelconque, composé de di.r^ atnM et d'unités, contient 3 parties, savoir : le carré des dixaines, le double produit des dixaines par les imités, et le carré des ^inilrf.
Ces trois produits expriment respectivement àoa centaincf^. (!< ^ dixaines et des unités (18).
D'ailleurs ce que nous venons d'observer n'est qu'une conf^équcnrc ùp rr que nous avons dit de la multiplication, et peut s'appliquer à tout autre nouibre que 46.
De même, si l'on veut comprendre parfaitement ce qui suit, on fera bien dr ^e rappeler les démonstrations que nous avons faites touchant la division, mr ce que nous allons dire n'est qu'une conséquence immédiate des règles rit la division (26).
85. Proposons-nous maintenant de de revenir du cane i! im nombre entier quelconque à sa racine.
1er. Exemple, Kxtrairc la racine carrée de 211C.
102 il-:-: --■-:.iUt
Je dispose le calcul coiniat pour faire une division, en iaif^saiH U place du diviseur pour y mettra» !•) ••Hcin<»,
carré 21. IG
1er. n 1.6
2o. roste, U
et je dis : puisque le nombre 2116 a plus de 2 chitTres, sa racine doit avoir des dixaines et des unités ; ce nombre contient donr le carré des dixaines, le double produit des dixaines par les uni tes, plus, le carré des unités; je commence par chercher les dixaines de la racine, et pour cela, j'a'»serve que, le carré des dixaines étant nécessairement des centaines, ces dixaines ne peuvent se trouver que dans les 21 centaines de 2116 (17 et l'c) ; je sépare donc par un point les deux derniers chiffres à droitf . puisqu'ils ne font point partie du carré des dixaines, et je trouve que la racine carrée de 21 est plus de 4, mais elle ne peut pas être 5, car 5x5 = 25, plus fort que 21 ; je conclus donc qur 4 doit être le chiffre des dixaines de la racine ; je pose 4 à droits de 2116 ; je carre ces 4 dixaines, et j'écris le produit 16 centt^iues sous 21 ; la soustraction faite, il reste 6. Ce reste provient des retenues faites sur les deux autres parties du carré. A côté de 5, j'abaisse les doux autres chiffres 16 de 2116, ce qu! donne èl6, ou 51 dixaines et 6 unités. Ayant trouvé les dixaines de la racine, il s'agit d'en trouver les unités ; h cet effet, je Considère <|ue le reste 5:6 ne contient plus que deux parties du carré 2116 (le double produit des dixaines par les unités, et le c'irré des unités de la racine).
Mais puisque je connais déjh les dixaines de cette racine, il m'est facile d'en avoir le double : je prends 2 fois les 4 dixaines déjà trouvées, ce qui me donne 8 dixaines, que j'écris sous le 4.
Au inoyou de ces 8 dixaines, je puis facilement trouver les unités de la racine ; car, le nombre 516 n'étant que la somme du produit de ces S dixaines multipliés par les unités quo je cherche, et du carré de ces inômes unités, je vois que 516 contient un produit dont l'un des facteurs est 8 dixaines : or, ua produit et l'un de ses facteurs étant .connus, il est tacile de trouver l'autre facteur (26). Il est évident que ce facteur sera le <hiffre des unités de la racine. Mais il faut encore faire attention que 8 dixîiines multipliées par des unités, ne peuvent donner que des dixained (16, 17 et 18) ; conséquemraent, le produit des
RAISONNEE. î*id
8 dixaines par les imités, ne peut se trouver que dans les 61 dix- . aines de 516 ; de plus, je sais que, outre le produit des 8 dixaino?» par les unités, 51 doit contenir aussi Jes retenues faites en multipliant les unités par les unités. Le dernier chiffre à droite du nombre 516, ne fait donc pas partie du produit dont je cherch*^ l'un des facteurs ; je le sépare par un point, et je divise seulement 51 par 8 (ou 510 par 80), et je trouve que 51 contient C fois 8, d'çù je conclus que 6 doit être le chiffre des unités de In racine, et je le place à côté du 4.
Cependant il peut arriver que le chiffre que l'on trouve de celle manière soit trop fort (jamais trop petit).
Pour connaître si c'est le chiffre qui convient, on pourrait carrer 46, et retrancher le produit de 2116, le reste 0 indiquerait qur 46 est la racine demandée ; mais, sachant que 516 est compose du double des 4 dixaines (ou 8 dixaines) multiplié par les 6 unités et du carré des 6 unités, il suffit de chercher la somme de ce* deux parties et de Tôter de 516 : or le double des dixaines dila racine étant 80, on a 80 x 6 = 480 :
le carré des unités est 6x6= 36
Ce qui fait 616 et 616 — 516 = 0.
Mais pour faire la même vérificatton, au lieu de 2 multiplica-
iions que nous venons de faire, on n'en fait qu'une : puisque
le multiplicateur est le même si l'on additionne les deux mul-
i>licandes 80 et G, on a la somme 8Q, laquelle multipliée par le
jiuiltiplicateur commun 6, doit donner le môme résultat que si
l'on multiplie 80 par 6, 6 par 6, et ensuite réunir les deux pro-
liiits qui sont 516. En réunissant de cette manière les deux
inltiplicandes, on additionne en quelque sorte les produits par-
iit'Is avant d'avoir fait la multiplication. Au reste ceci- est une
conséquence de ce que nous avons dit aux No. 23 et 37.
Ainsi, après avoir trouvé le chiffre 6, je l'écris à la racine, et lo.
Dlace encore a côté du double des dixaines, ce qui fait 86 que jo
multiplie par le mO^e chiffre 6, je retranche le produit du restr
)16, et il ne reste rien, parccque 2116 est un carré parfait.
Gfi. Si, en fesant la rcrification que nous venons d'indiquer, le produit .«<• irourait plus fort que 510, la sovistraclion ne pourrait se faire, "d'où il faudrait
< onclurc que le chiflrc mis ù la racine est trop fort; il faudrait lui en subatiluir un autre.
On connaîtrait au contraire que ce chifTrR est trop petit, si, après avoir fait la flonslrartion, le reste était le double de la racine totale plus 1 : niai>
< fki ne peut jamaia arriver quand on prend le quotient au plus fort.
ARITUM£T1Q,UE
i un reste toutes les fois que le nombre proposé ne sera pas un
< ano purùii : Alors, au moyen des décimales, on pourra approcher tant f|u'on voudra de la racine véritable, ainsi que nous le Terrons ci-apres, mai» il r\t sera jamais possible de Tassigncr exactement.
K7. 2(\ Exemple. On demande la racine
!ii carré
6346 Racine
1er. reste,
