ART DE MESURER LES SURFACES

Définitions e{ explications préliminaires.

98. Nous regrettons beaucoup qu'il ne nous soit pa« possible ûv tlonner ici les figures de géométrie : toutefois nous tâcherons d'y suppléer par des explications et par des exemples.

l'*. On appelle ligne droite le plus court qui abouttii

d'un point à un autie.

Le point est l'endroit où se termine une ligne ; il n'a aucune dimension, c'est-h-dire, ni longueur, ni largeur, ni épaisseur.

2°. Toute ligne qui n'ost ni droite, ni composée de lignes droite, s'appelle li^ne^ courbe ; si l'on entoure It- lu veau d'un poêle avec un fil, on forme une ligne courb>

o°. On dit qu'une ligne Qfit pcrj^endiculai, . .. ...^ l, v^^..

elle" rencontre cette autre sans pencher plus d'un côté que d'un autre. Quand elle penche plus d'un rOté que d'un auîr r • î- • pelle îicrnc oblique.

4®. On appelle H^ne verticale celle qui est dirigée dans w scjis d'un fd à plomb ; et horizontale celle qui est dirigée dans le sen;^ de l'horizon, telle serait celle qu'on tracerait sur une tible.

5*. On dit que 2 ou plusieurs lignes sont paralltlcsy quand ^llcs sont partout îl égale distance et ne pouvant jamais se rencontrer.

9°. On appelle ansçlc l'espate compris entre deux lignes qui se rencontrent ; l'endroit oà elles se rencontrent se nomme le aommei de l'angle, et les 2 lignes en sont les côtés. Quand etdeux lignes sont perpendiculaires l'une à l'autre, l'angle €t;t drv, et il a 90 degrés. Tout angle plus gnind que l'angle droit bt nomme obtiLs, Tout angle plus petit que l'angle droit est dit

7o. On nomme triangle l'espace compris entre trois lignes qui se rencontrent. Tout triangle a 3 angles et 3 côtés. Le trian- 'iie qui a un angle droit se nomme trians^le-rectan^le ; celui dont les 3 côtés sont égaux, trianf^le-équilnUral ; celui dont 2 côtés seulement sont égaux est un triangle-isocèle ; enfin celui qui r seaî 3 côtés inégaux a reçu le nom de triangle-scalène. On prend

RAlSONNEE. 113

pour base du triangle le côté que l'on veut ; la perpendiculaire menée du sommet sui* la base est la hauteur du triangle.

8°. On appelle en général quadrilatère tout espace renfermé «ntre 4 lignes, mais comme il y en a de plusieurs formes, on a adopté des noms particuliers pour les distinguer ; on appelle carré celui qui est tbrmé par 4 lignes égales et parallèles deux à denx, et qui forment 4 angles droits ; le quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux et les angles non droits, s'appelle lofiange ; celui dont les côtés ne sont égaux que deux à deux et qui forment des angles droits se nomme rectangle ou carré long ; celui dont les 4 côtés sont parallèles deux-à-deux et les angles non droits s'appelle parallélogramme ; enlin on nomme trapèze celui dont deux côtés seulement sont parallèles.

On prend pour hase le côté que l'on veut,* et pour hatUeur la perpendiculaire élevée sur la base et prolongée jusqu'au côté opposé à la base.

9°. En général on appelle polygone toute figure qui a plus de 4 côtés; ainsi l'on peut dire polygone de 6, dé 6, de 7, etc. côtés ; mais on dit plus communément : pentagone, hexagone^ eptagonc, octagoncy enncagone, décagone,'\ etc. Toutes ces figures sont dites régulières lorsque tous les angles, ainsi que les côtés, sont 'égaux.

10°. On appelle circonférence une ligne courbe dont tous les points sont à égale distance d'un point intérieur que l'on nomme centre. L'espace compris dans cette circonférence s'appelle cercle. Toute ligne droite menée du centre îv un point quelconque de la circonférence s'appelle rayon ; une ligne droite terminée de part et d'autre à, la circonférence et passant par le centre, se nomme diamètre ; c'est le double du rayon. Une ligne droite qui abouttit de part et d'autre k la circonférence sans pa.sser par le centre s'appelle corde.

11**. La circonférence développée en ligee droite, vaut, à peu près, 3 fois et ^- de fois le diamètre ; c'cst-h-dire que, si le diamètre d'un cercle a 1 pied, la circonférence aura 3 | pieds.

De sorte que, connaissant le diamètre, si l'on veut avoir W. circonférence, il faut multiplier le diamètre par 3 | ou ^ (39).

Ainsi le diamètre d'un cercle étant 14 pieds, la circonférence sera 14 X 3 | = 44 pieds.

Cependant, si les calculs doivent être précis, il faut multiplier, non pas par 3 |, mais par 3,14159 ; encore le résultat n'est-il pas

• Dans le trapèze, on prend toujours pour base l'un dea deux côtés parolléles. t Ces mota sont formés, chacun, de deux mots çrccs : pente cinq, et gônia. angle, etc.

114 ATIITIÎMETIQUE

ri^ourwix, mais rapproxiinalion est plus que suflÎHante pour le bcrioin dos arts, et Ton se contente souvent de multiplier par 3 f . Puisque la circonférence égale 3 | fois le diamètre, on voit que le diamètre est les J^ de la circonférence.

Conséquemment, si Ton connait la circonférence et qu^on veuille trouver le diamètre, t7 nUf a qu'à diviser la circonférence par 3 f ou V (43) ou par 0,31868.

Exemple. I^a circonférence de la Terre étant de 9000 lieues, son diamètre est 9000 x 0,31868 = 2868,12 lioues. C'ost-àdiro que, si l'on perçait la Terre juste par le milieu, la ligne droite qui la traverserait, aurait 2868,12 lieues. Prenant le moitié de ce nombre, on a, pour le rayon de la Terre, 1434,06 lieues.

MESUUr. 11. l RFACES.

99. La surface (aire ou superficie) d'un pays, d'une province, etc. s'évalue en milles, en lieues ou en myriamètres carrés. Les surfaces de moindre étendue s'évaluent en arpeos, en perches, en hectares, en ares, en verges, acres, toises, pieds, pouces, etc. carrés. ,

On obtient la surface d'un CARRÉ en multipliant un côté par lui-même.

Exemple. Supposant qu'un jardin ou ime pièce de terre quelconque ait une forme carrée, et que le côté soit de 8 toises, en multipliant 8 par 8, on en déduit que la surface du jardin est de 64 toises carrées : c'est-à-dire que, si l'on prend une planche ou un châssis d'une toise carrée, et qu'on le place sur la surface du jardin autant de fois que cela pourra se faire, en marquant successivement chaque espace occupé par le châssis, on trouvera qu'il y est contenu juste 64 fois, et il en résultera par conséquent 64 petits carrés égaux à l'étendue du châssis.

Pour obtenir la surface d'un CARRE' LONG, il faut en mesurer la longueur et la largeur, et multiplier l'une par l'autre. — Par exemple, la longueur d'un champ étant de 7 arpens ot la largeur, de 3, l'aire du champ sera

7 X 3 = 21 arpens carrés.

La surface d'un PARALLELOGRAMME quelconque s'obtient en multipliant la hauteur par un des cotés pris pour base.

Pour avoir la surface d'un TRL\NGLE quelconque, on mesure la base ainsi que la hauteur, on multiplie Tune par l'autre, et l'on prend la moitié du produit, ou, ce qui revient au même, on multiplie la base par la moitié de la hauteur, ou la hauteur par la moitié de la base.

Soit, pour exemple, une prairie de forme triangulaire, dont la base ait 6 ^ perches, et la hauteur, 4 perches : la superficie sera 6,5 X 2 = 13 perches carrées.

Pour évaluer la superficie d'un TRAPEZE, il faut mesurer les 2 côtés parallèles ainsi que la hauteur, et ensuite multiplier la moitié de la somme des côtés parallèles par la hauteur.

Soit un trapèze dont la base supérieure ait 12 toises, la base inférieure 16, et la hauteur 8 ; on a 12 -{- 16 = 28 ; la moitié de 28 est 14, et par conséquent

14 X 8 = 112 toises carrées.

Quant aux autres figures terminées par des lignes droites, mais qui ne sont ni des carrés, ni des triangles, et qui peuvent présenter mille formes diverses, il est toujours facile de les diviser en plusieurs triangles : Alors on cherche la surface de chaque trian- ^^le en particulier, et Von réunit tous les résultats four avoir Vaire totale.

Pour obtenir la surface d'un CERCLE, il faut d'abord chercher la circonférence de ce cercle, et la multiplier par la moitié du rayon.

Exemple. Supposant que le diamètre d'un cercle soit de 28 pouces, la circonférence de ce cercle sera 28 x 3 | = 88 pouces.

Le cercle aura donc 88 x 7 = 616 pouces carrés.

Remarque. 1 toise carrée vaut 6 X 6 = 36 pieds carrés ;

1 pied carré vaut 12 x 12 = 144 pouces carrés ;

1 pouce carré égale 12 x 12= 144 lignes carrées ;

1 arpent carré vaut 10 x 10 = 100 perches carrées ;

1 lieue carrée égale 3x3 = 9 milles carrés ;

1 mètre carré = 10 X 10 = 100 décimètres carres ;

1 décimètre carré vaut 10 x 10 = 100 centimètres carrés ;

etc. etc.

Quand on mesure une surface, il faut exprimer les deux dimensions en unités ou en fractions d'unité de la même espère.

STKPFOATt^^TRFr

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Définitions.

1 (>0. En mathématiques, on entend par corpti ou solide tout oc qui a les trois dimensions : longueur, larjrcur et épaisseur ou profondeur. En physique, on appelle volume tout -m ,..,.. ;,i,;^^ relativement à la grandeur de ses dimensions.

1**. On appelle 2;rj«mc un corps dont la base siiperwMire «i lii ba^ e inférieure forment deux polygones égaux et parallèles, et les faces latérales, des parallélogrannnes ; telle est une pile de planches, de bois, de pierres ou un mur, etc. Quand toutes le^» faces sont des carrés, le prisme prend le nom de cube ; tel est un dé à jouer, etc.

2". On appelle cylindre une espèce de prisme arrondi et dont les bases sont des cercles égaux et parallèles ; tels sont un tuyeau de poêle et un rouleau quelconque.

3**. On nomme pyramide un corps dont la surface latérale forme des triangles qui se réunissent tous à un sommet commun qui est la pointe de la pyramide.

4°. On donne le nom de cône à une espèce de pyramide arrondie et dont la base inférieure est un cercle ; tel est un pain de su6re.

5°. On appelle hauteur de tous ces cor|)s une ligne droite abaissée perpendiculairement d'un point quelconque de la base supérieure à la base inférieure.

G°. On appelle sphère un corps terminé par une surface courbe dont tous les points sont également éloignés d'un autre point pria au dedans et que l'on ijomrne centre ; telle est une boule ou un boulet de canon.

EVALUATION i;. î \ MUFACF. DES CORPS.

101. La suiface d'un PRISME se composant de carrés o«i do carrés longs, et celle de toute PYRAMIDE se composant do triangles, pour évaluer la surface de ces corps, il suffit de se rappeler les règles qui précèdent.

RA.ISONNEE. 117

Pour obtenir la surface d'un CYLINDRE, on mesure la bjLse au moyen d'un fil ou d'une corde, et l'on multiplie cette circonférence par la hauteur. On obtient celle d'un CONE, en multipliant la circonférence de la base par la moitié de la hauteur.

I^a surface d'une SPHERE s'obtient, en multipliant la circonférence d'un de ses grands cercles par son diamètre.

Veut-on, par exemple, connaître la surface du Globe terrestre ; on a 9000 x ^868,1 2 = 25813080 lieues carrées,