c. Exemple
de 283.593.393
1er. reste,
2^. reste, 89683.93 283593393 283593393
3c. reste,
3 fois (6 X 6) = 108, divistur.
3 fois (65 X 65) =: 12675, diviseur.
liC nombre proposé ayant plus de 3 chiffres, sa racine cubiqur doit avoir des dixaines et des unités ; mais le cube des dixain*.étant des mille, les 3 1ers. chiffres vi droite n'en font point paiiie ; je les sépare. Le cube des dixaines de la racine cherchée se trouve nécessairement dans la partie 283593 du nnrnhn 2S3593393, c'est-a-dire dans les 283593 mille.
Pour trouver les dixaines de la racine demandée, il s'agit don» d'extraire la racine cubique de 283593. Mais ce nombre nymv encore plus de 3 chiffres, sa racine cubiviue en aura plu-
RAISONNEE. lU9
donc elle aura des dixaines et des unités ;* le cube de ces dixaines devant être des mille, les 3 chiffres à droite ne peuvent pus taire partie de ce cube ; je les sépare.
La racine cubique de 2S3 est 6 que je pose à droite du nombre proposé. Mais il faut faire attention que, outre le cube de 6, 283 contient les retenues faites sur les autres parties, donc il y aura un reste. Pour avoir ce reste, je forme le cube de 6 qui est 216, et je le retranche de 283. A côté du reste 67, j'abaisse 593, ce qui me donne 67593. Ce nombre devant contenir le triple carré des 6 dixaines multiplié par le chiffre qui doit être après le 6 à la racine (91), je carre 6, le triple est 108; ce nombre est donc l'un des facteurs d'un produit qui se trouve dans '67593 ; l'autre facteur est le chiffre qui doit être après le 6 à la racine ; il est facile de trouver ce chiffre (26).
Mais je considère que le triple carré de 6 dixaines multiplié par le chiffre que je cherche, ne peut être que des centaines (18) ; ce produit ne doit pas avoir de chiffres significatifs avant les centaines. Je sépare 2 chiffres à droite de G7593, et je divise 675 par 108 : le quotient 5 est le second chiffre des dixaines de la racine, ce qui fait 65 dixaines, qui sont la racine cubique des 283593 mille du nombre proposé. Mais il faut se rappeler que, outre le cube de 65 dixaines, 283593 contient les retenues provenant des 3 autres parties du cube total ; il doit y avoir un reste ; pour connaître ce reste, et pour vérifier en même tems la racine trouvée, je forme la cube de 65 qui est 274626, et je le retranche de 283593.
A coté du reste 8968, j'abaisse la tranche 393, ce qui fait •S968393.| Ce nombre doit contenir 3 foi:? le carré des 65 dixaines multiplié par les unités de la racine, plus, etc. (91). Le raisonnement qui m'a fait trouver le chiffre 5, va me faire trouver le chiffre des unités de la racine. Je sépare 2 chiffres à droite <!e 8968393 ; je divise 89683 par le triple carré de 65 qui est 12675 : le quotient 7 est le chiffre des unités : pour m*en assurer,, j'élève 657 au cube, que je retranche du nombre proposé, et il
^•). Si h nombre dont on extrait la racine ciibitiuc n'était pas un cube par- Tdit, on aurait un reste ù la fin de l'opération, mais la racine trouvée n'en sériait pas moirid l-i r-'-r-' ^'^ en nombre entier, à moins que le reste fût ^lus fort
On voit par U, ([uc les dixaines de !a racine cubique de 283ÔS3393 aurum ;»les d'un chiflVc, c'est-à-dire des dixainea de dixaines et des des dixaines, c« nui veut dire des centaines tt des dixainca ; rnajs nous sommes convenus de ■' ''uusidérer, dans cette racine, que des dixaines et des unités, 2 parties.
Il semble que G75 contient 108 plus de 5 fois, mais si l'on prenait 6, le tu - (i« GC serait plus fort que 283593, et h so>i«1 faction ne pourrait pas se faire-
\ iO : ! w^rF.TIOt:p
•s un. &i » Il racine obtenue «erait trop laibie.
; i.])<^rjilion 11. ;.•, la racine exucte ne peut jamai» •'obtenu .
mais on en approchera i.*»l <ja*on voudra au moyen des décinmlcs: A cetelf» i. on ajoute au reste 3 zéroi pour chaque chiffre décimal que l'on veut avoir d i<racine, et l'on continue l'opération.
liè^h. Pour extraire la racine cubique d'un nombre, on l> partaij^e en TRANCHES de 3 chiffres à partir de la droite (11: dernière iranclie à gauche peut avoir moins de 3 chiflres) ; ou extrait la racine dnplits ^raiid cube contenu dans la Ire, tranche ù f2;auchcj ce qui donne /s premier chiffre de la racine ; on retranche te cube de ce chiffre de la Ire. tranche ; à côté du resfi. on abaisse la tranche suivaritc dont on sépare les 2 lers. chiffres n droite^ et Von divise la partie restante par le triple carré du chijfre mis à la racine ; le quotient donne le chiffre suivant de la racine ; on forme le cube des 2 chffres déjà trouvés à la racine, et on le retranche des 2 tranches à gauche du nombre proposé ; à côté du reste, on abaisse la tranche suivante ; on sépare les 2 chiffres à droite, tt Von divise ce qui reste à gauche par le triple carré des 2 chiffres déjà obtenus à la racine ; ai:isi de suite, jusqu''à ce qu'ion ad abaissé toutes les franches. Si le diviseur ainsi formé n*était pas contenu dans le nombre que l'on prend pour dividende, on mettrait 0 à la racine, et l'on abaisserait une autr*ti anche, s'il y en avait encore, etc.
94. Pour former le cube d'une fraction, il suffit d numérateur et le dénominateur de cette fraction.
Donc, pour obtenir ta racine cubique d'une fraction, il fa traire séparément celle de son numérateur et celle de son dénominateur, La racine cubit|ue de |J = J. On ;>eut nui^A rrchiirc la fraction en décimale.
95. Le cube des fractions décimales y'ol^neni comnu- cc:i;i des nombres entiers, en observant ce qui a été dit sur la multiplication des nombres décimaux.
Ainsi : la racine cubique d^une fraction décimale s^obtient d" la même manière que celle des nombres entiers, mais il faut compléter
les tranches, en inettant vu .^-f r/r.v- rrrns- à rimifc, du v.nnLre
proposé.
Problème. Quel est le nombre (lui. inuiiii>iif -• iuis j-ar lui-inimt. t.uiirr 164566j1»2?
2c. ProbUme. Quelle est la racine cubique de 30371 32>
Ripor.
3e. Quelle est la racine cubique de y^y î
Réponse, i.
RAISONNEE. 111
4e. On demande la racine cubique de 2 à un millième près 1
5e. Extraire la racine cubique de ^^2^ = y*
96. On obtient la racine quatrième d'un nombre^ par Pextraciion de deux racines carrées consécutives. Ainsi la racine 4e. de 65536 est 16.
97. On peut obtenir la racine sixième d'un nombre par une racine carrée et une racine cubique, ou par une racine cubique et une racine ca}^ée. Demande-t-on, par exemple, la racine sixième de 7529536 : j'extrais la racine carrée de ce nombre, laquelle est 2744 . J'extrais ensuite la racine cubique de cette racine cariée ; je trouve qu'elle est 14 ; telle est la racine sixième demandée.
Pour extraire les autres racines, on a recours aux logarithmes, au moyen desquels on obtient plus promptement et plus facilement une puissance r,iielconque d'un noml)re, ainsi qu'une racine quelle qu'elle soit : Il nous est impossible d'en parler ici.
Problèmes. — 1er. Quelle est la racine quatrième de 9175854336 1
Réponse, 312.
~e. On demande la racine sixième de 1000000.
Réponse, 10.
Cherchez la racine cubique de 7346104235.
Les Mathématiques, jeunes élèves, sont une mine fort riche ; il en coûte un peu pour l'exploiter, mais on est eojplement dédommagé par les trésors que l'on en retire: ce que vous avez vu jusqu'ici est le commencement de cette jcience qui est elle-même la clé de toutes les autres sciences.
PLAJSIMÉTKIE
OU
