DE LA SOUSTRACTION

24. La soustraction est une opération par laquelle, connaissant la somme de deux nombres et Pun de ces nombres, on peut trouver l^autre.

• Ou bien encore, une opération qui consiste à décomposer un nombre en deux parties, Vutie de ces parties étant connue. , Le résultat de cette opération se nomme reste, excès ou différence.

La différence qui existe entre deux nombres, peut s'obtenir de deux manières : 1° en ôtant du plus grand nombre toutes les unités du plus petit : 2^ en ajoutant au plus petit nombre autant d'unités qu'il lui en manque pour égaler le plus fort. Si l'on proposait de trouver la différence entre 5 et 3, par exemple, il n'y aurait qu'à ôter 3 unités de 5, de cette manière : 1 ôté de 5 reste 4, 1 ôté de 4 reste 3, 1 ôté de 3 reste 2 ; la différende est 2. On parviendrait au même résultat, en disant : 3 et 1 font 4, 4 et 1 font 5 ; la différence est encore 2. Ces deux manières d'opérer sont également bonnes, mais, quand les nombres sont considérables, le calcul serait extrêmement long ; pour l'abréger, on place le plus petit nombre sous le plus fort de la manière suivante : de 379 ôtez 167

Différence, 212 fit l'on dit tout de suite : 9 unités moins 7 unités reste 2 unités ; 7 dixaines moins 6 dixaines reste 1 dixaine ; 3 centaines moins une centaine reste 2 centaines. Ainsi, le nombre 379 se trouve décomposé en deux parties, qui sont 167 et 212. Si nous additionnons ces deux nombres, nous trouvons effectivement 379.

En d'autres tenues, 212 est ce que 379 a de plus que 167, ou 212 C8t ce qui manque à 167 pour égaler 379.

Sa

20 IRITIIMETIQUB

l:- -- :- L\ SOUSTKACTiOK.

1 0. Pour retrancher plus facilement un nombre d'un autre, on place le plut priit sou» le plus fort do manière que le» unités de même ordre »e correspondent ; on tire une barre, et l'on retranche gucccssivcment chaque chitfre infcrjcur du chiflre supérieur correspondant, en commençant par ta droite, ayant «>oin de placer chaque reste partiel sous lu colonne qui l'a fourni.

L'o. (iuand le chiffre inférieur est plus fort que le chiffre supérieur qui lui rorrespond, on augmente le chiffre supérieur de 10, en ayant soin de compter le chiffre supérieur qui vient après pour une unité de moins, ou de compter celui qui est dessous pour une unité de plus, afin qu'il n'y ait rien de changé ; dans le premier cas, s'il se trouve des zéros intermédiaires dans le nombre supérieur, on les considère comme des 9, mais si l'on augmente le nombre inférieur, on opère sur chaque 0 comuic valant 10 : Euf:u arrivé à la dcrïilerc colonne, on pose le reste tel qu'il est.

Ks"mn\>'^, 1er. de 8476 ôtcr 7251

Rente, 1225 1 tîe 6 reste 5 : 5 de 7 reste 2 ; 2 de 4 reste 2 ; 7 de 8 reste 1 2e. de 7628 ôter 6754

Reste, 0874

Je did : 4 ûte de 8 reste 4 ; 6 de 2, cela ne se peut ; j'emprunte une centaine sur les 6 centaines, mais cette centaine vaut 10 dixaines, donc 10 dlxaines et 2 font 12 dixaines ; ainsi, 5 de 12 reste 7, que je pose sous les dixaines : ayant pris une centaine sur le 6, il n'en reste plus que 6 ; 7 de 6, cela ne se peut ; j'emprunte un mille sur le 7 qui se trouve après, mais ce mille vaut 10 centaines, par conséquent 10 et 5 font 16 ; donc, 7 de 15 reste 8, que je place sous les centaines, et comme le 7 ne vaiit plus que 6 mille, je dis, 6 de 6 reste 0.

On parvient au même résultat en raisonnant de la manière suivante : 4 de 8 reste 4 ; 5 de 2, on no peut ; j'augmente 2 de 10, ce qui fait 12, 6 de 12 reste 7, et je retiens 1, pour l'ajouter au 7 qui vient après le 6, car, ayant augmenté le nombre supérieur de 10, il faut aussi augmenter le nombre inférieur pour qu'il y ait compensation ; mais ce 1 retenue au rang des dixaines, et transporté au 3e rang, vaut 10 dixaines (10), conséquemment, si le nombre d'en haut a été augmenté de dix dixaines, celui d'en bas l'est aussi ; donc il y a compensation. Je continue en disant : 7 et 1 retenu font 8 ; 8 de G, on ne peut ; j'ajoute 10 à 6, ce qui

RAISONNEE. 21

fait 16 ; S de 16 reste 8, je pose 8 et retiens 1, par les raisons f^ue nous venons de donner ; 1 retenu et 6 font 7 ; 7 de 7 = 0. 3e. de 67002 ôter 8745

Reste, 48257

2 — 6, on ne peut, et je ne puis pas emprunter sur les 0 puisqu'ils n'ont aucune valeur ; j'emprunte donc 1 sur le 7, mais ce 1 vaut mille, donc, dix centaines ; j'en laisse 9 sur le 0 qui tient la place des centaines, il me reste encore une centaine qui vaut 10 dixaines, et comme je n'ai besoin que d'une dixaines, j'en laisse 9 sur le 0 des dixaines, et il m'en reste encore une qui vaut 10 unités ; ainsi, 10 -|- 2 = 12, et 12 — 5 = 7 que je pose sous le 6; 9 — 4 = 5; 9 — 7=2; (rappelons nous que le 7 ne vaut plus que 6 mille). 6 — S, on ne peut ; j'emprunte 1 sur les dixaines de mille, qui vaut 10 mille ; 10 et 6 font 16 ; 16 — 8 = S ; le 5 ne vaut plus que 4, et comme il n'y a plus de chiffre à ôter, je dis, 4 — 0 = 4.

Si l'on veut, on peut opérer de la seconde manière.

Uô. Remarqua!. — Tout ce que nous venons de dire de la Soustraction est, bien facile à comprendre, si l'on fait attention ù ce qui se pa.sse lorsqu'on fait l'addition ; car, par la soustraction, on défait ce qui a été fait par l'addition. Fn eftet, d'aprcs la définition de la soustraction, le plus fort nombre est la t^omme provenant du plus petit nonîbre et de la dififérence, comme on peut le voir en ajoutant ces deux nombres, dans notre dernier exemple :

8745 à ôter de 57002 ; iS2.37 différence trouvée.

Démonstration 8 7 4 5 4 8 2 5 7

";7002 somme.

4 16 9 9 12 sommes

à et 7 font 1 dixaine et 2 unités, ou 12; donc ces 12 apparticui.ihl na :. rellement au rang des unités, et en portant la dixaine k la 2u colonne, je prive la 1ère d'autant ; pareillement 4 dixaines et 5 font 9, et une de retenue font 10, ou une centaine. Je vois que la 2c colonne ne fournit réellement que 0 dizaines, et encore au lieu de les poser, je les ajoute avec celle que j"ai retenusur les unités, pour former une centaine que je retieiis aussi, et ne mets qif uj! 0 pour tenir la place des dixaines ; 7 et 2 centaines font 9, et, au lieu de k\-? poser, je les joins à celle que j'ai retenue, ce qui fait 10 centaines ou mille : r.<* mettant qu'un 0 sous les centaincH, j'enlève les 9 centaines qui s'y trouvent na turcUemcnt, plus celle qui provient des dixaines ; 8 et 8 mille valent 16, et 1 retenu épiaient 17 mille ; je ne pose que 7, et je retiens la dixaine de milK* pour la joindre aux 4 dixaines de mille qui sont après, ce qui donne 5 ; de sort(» que les dixaines de mille sont encore augmentées de 10 mille aux dépens de l.i colonne des unités de mille, celle-ci, aux dépens des centaines, etc. (C'est une conséquence des No. 10, 11, 13 et i 5.) Le nombre D7002 se trouve donc composé des 2 nombres 8 7 4 5 et 4 8 2 .0 7 ; et, d'après ce que nous venons d'ob sorvcr dans le cours de cette composition, il est clair que, si l'on veut défaire r -• qui a été fait, pour rendre la chose possible, il faut rétablir les nombres dau*

23 ARITIIMETKIUE

leur état naturel ; que les emprunta qu'on eat obligé de fkire, ne proriennent que dei retenue» qui ont été ruitcs dans l'uddition ; que, sM n'y avait pas dr retenues, on n'aurait pas besoin d'emprunter, etc.*

Irc Question. — Salomon fit bâtir le temple de Jérusalem 1004 ans avant la naissance de J. C. ; Kome fut fondée par Romulus, 7â2 ans aussi avantJ. C ; quel tcms s*est<il écoulé depuis Salomon jusqu'à Uomulus 1

De 1004 ôtez 752

Réponse, 252 ans.

2e Question. — ^Un homme devait 9787 piastres ; Il a payé 4975 "

Combien doit- il encore 1 Réponse, 4812 piastres. 3e. Question.— La distadcc de Jupiter au Soleil est de 180332000 lieues ; Celle de la terre, de 34515000 "

De combien Jupiter est-il j

plus éloigné du soleil que / Kép. de 145817000 lieues.

la terre 'l )

4e Question. — Pour avoir 7000

Quel nombre faudrait-il ajouter a . . 3628

5« Question. — Quel nombre faudrait-il rctrcnchcr de . . 8978

Pour n'avoir que 7395