REGLES DE LA MULTIPLICATION

\« ItuiT muWPlier4.un nom,brc un autre, on place le multiplicateur sou*, e mu t,p cande ; on tire une barre, et, commençant par la droite, on prend tout le mul iphcande autant de fois qu'il est indiqué par les unités du multiplicateur Xll?^ u^ d- chaque chiffre tel qu'il est, s'il ne surpasse ,!sfZil s il contient des dixames, on les retient pour les joindre au produit du chiffre qm vient après. On passe ainsi d'u -, chiffre à un autre, et/arrivé au dernier a gauche on écrit le produit tel qu'il est. Après avoir abtenu, par ce Zy n le produit du mu fplicande, par le chiffre des unités du multiplicateur, on forme' de la même manière, le produit du multiplicande par les diiaines, par les cTntwne* par les mille, etc. du multiplicateur. En un mot, on prend chaque iï"^^hCanàe aUUnt dS ^ GSt ***** P- earttlre

& T' 11 faUt bien 0bserver d écrire cha<lue P^duit partiel sous le

chiffre du multiplicateur par lequel on multiplie ; car, s l'on multiplie par 1«

daines: t^Xints T* ' * ^ to « ^

^ttTSisr le mo-ven de raddition> tous ies produits

Exemple : Soit proposé de multiplier 4265 par 314. Après avoir disposé le calcul comme suit : 4265, multiplicande.

314, multiplicateur.

17060, 1er produit partiel de 4265 par 4. 42650, 2e do. do. de do. par 10. 1279500, 3e do. do. de do. par 300.

1339210, produit total de 4265 par 314. Je dis : 5 k 4 = 20, je pose 0 sous le 4 du multiplicateur et ftfcens 2 ; 6 X 4 = 24, et 2 dixaines retenues font 26, je pose 6

et retiens 2 ; 2 X 4 = 8, et 2 centaines retenues font 10 centaines qui valent mille, je pose 0 à la place des centaines et retiens 1; 4 x 4=16, etl retenu font 17 mille, je pose 7 et avance 1. J'ai multiplié chaque chiffre du multiplicande par les unités du multiplicateur, en d'autres termes, j'ai pris le multiplicande 4 fois. Il s'agit maintenant de le prendre dix fois, ou de le multiplier par les dixaines du multiplicateur, en disant : 5 1 = 5, je pose 5 sous les dixaines du multiplicateur, parce que 5 unités X 10 donnent 5 dixaines ; 6 dixaines X 1 dixaine = 60 dixaines, ou 6 centaines, je pose donc 6 au 3e rang ; 2 centaines X 1 dixaine = 20 centaines, ou 2 mille, je pose 2 au rang des mille ; 4 mille X 1 dixaine = 4 dixaines de mille, ou 40 mille, je pose 4 au 5e rang. De cette manière chaque chiffre du multiplicande se trouve multiplié par 10.

Je passe aux centaines du multiplicateur : 5 unités X 3 centaines = 15 centaines, je pose 5 sous les centaines, et je retiens 1 mille ; 6 dixaines X 3G0 = 18 mille, et 1 retenu font 19, je pose 9 sous les mille ; et retiens 1 dixaine de mille ; 2 centaines X 3 centaines = 6 mille centaines, ou 6 dixaines de mille, et 1 de retenue font 7 ; je pose 7 au 5e rang à gauche, c'est-à-dire, sous les dixaines de mille ; 4 mille X 3 centaines = 120 mille centaines, ou 12 centaines de mille, ce qui fait 1 million et 200 mille, je pose 2 au 6e rang et je porte 1 million au 7e. En fesant l'addition, on a le produit total tel qu'on le voit ci-dessus.

Enfin, si l'on eût multiplié séparément 4265 par 4, par 10 et par 300, et qu'on eût réuni les 3 produits, comme on le voit ciaprès, le résultat serait exactement le même, ainsi qu'on peut s'en assurer en effectuant les 3 multiplications indiquées.

19. En suivant ces règles, on ne sera jamais embarrassé pour faire la multiplication, et le produit cherché sera toujours le véritable. En effet, le produit pour être le véritable doit renfermer le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur ; dans notre exemple, le produit doit contenir le multiplicande 314 fois ; or, en suivant les règles, comme nous venons de le faire, on prend les unités, les dixaines, les centaines, les mille du multiplicande, 4 fois, plus 10 fois, plus 300 fois, ce qui est la même chose que si l'on avait écrit 314 fois le nombre 4265, et qu'on eût fait l'addition ; donc le produit vaut 314 fois le multi*^ plicande, donc il est le véritable.

RAISONNEE.

Autres exemples.

Produit, 477792

Produit, 12453966 20. Quand le multiplicateur contient des zéros intermédiaires, on peut se contenter de multiplier par les caractères significatifs, mais il faut avoir bien soin que dans chaque produit partiel, le 1er chiffre à droite soit placé sous le chiffre par lequel on multiplie (18).

Ex. soit à multiplier 3456 par 4007

Produit, 13848192 Après avoir multiplié par 7, je pourrais aussi multiplier par les 2 zéros, mais 6, 5, 4, 3, multipliés par 0 me donneraient deux produits partiels qui n'auraient que des zéros, et qui ne seraient, par conséquent, d'aucune valeur. Je multiplie donc immédiatement par 4, etc.

21. Si le multiplicande et le multiplicateur sont terminés a droite par des zéros, on abrège encore le calcul, en multipliant entre eux les chiffres significatifs, sans faire attention aux zéros, mais lorsque la multiplication est finie, il faut placer à droite du produit autant de 0 qu'il s'en trouve dans les deux facteurs.

1er Ex. 42000 à multiplier par 79

Produit, 3318000 Au lieu de multiplier 42000 par 79, je ne multiplie que 42 par 79, et j'ai pour produit 3318 ; mais ce produit n'est pas le véritable, car j'ai multiplié un nombre mille fois plus petit que mon multiplicande (12) ; le produit se trouve donc mille fois trop petit ; eonséquemment, il faut le rendre mille fois plus fort, en mettant 3 zéros à droite.

D'ailleurs, si l'on avait écrit le multiplicande 42000 ainsi qu'il guit :

79 fois de suite, et qu'on eût effectué l'addition, il est facile de voir que Je résultat eût été terminé par 3 zéros (19).

2e Exemple : 506000

fci je multiplie seulement 506 par 27, et j'obtiens 13662 ; mais £06 est mille fois moindre que le multiplicande ; ensuite, au lieu 4e prendre le multiplicande 2700 fois (16), je ne le prends que 27 fois, nombre 100 fois plus petit que le multiplicateur ; donc, le produit sera, d'une part, mille fois trop petit, d'une autre, encore cent fois trop petit, donc cent mille fois trop petit : pour lui donner sa juste valeur, il faut le multiplier par cent mille, en écrivant o zéros à droite (12),

Exercices.

745 X 5060 = 3769700 60380 x 50004 = 3019241520 5600 X 700 = 3920000 On prendra d'autres exemples à volonté, 22. Deux nombres donnent le môme produit quel que soit l'ordre des facteurs ; c'est-à-dire que, si l'on prend le multiplicande pour multiplicateur, et vice versa, le produit sera toujours le même. 4 X 5 ou 5 X 4 = 20,

Soit encore 4 x 6 ou 6 X 4 : si Pon écrit 4 fois le nombre 6 dans une colonne verticale, ou 6 fois le nombre 4, ainsi qu'il suit, et qu'on fasse l'addition,

On obtient des deux côtés le même nombre 24

KAISOXXEE.

Ceci n'est pas plus particulier aux nombres 4 et 6 qu'à tout autre nombre.

Prenons 5 et 7, par exemple ; il évident que, si l'on écrit 5 fois Je nombre 7, et 7 fois le nombre 5, comme dans l'exemple précédent, en les additionnant, on trouvera le même résultat. Mais, pour rendre cette démonstration plus sensible, écrivons 7 fois L'unité sur une même ligne horizontale, et répétons cette opéralion 5 fois, ce qui nous donnera 5 lignes de 7 unités, et 7 lignes verticales de 5 unités.

Or, soit que l'on compte les lignes de droite à gauche, soit qu'on les compte de bas en haut, on voit qu'il est impossible de trouver un nombre différent d'unités ; donc 5 unités répétées 7 fois, donnent le même produit que 7 unités répétées 5 fois.

1ère Question. — L'année commune a 365 jours, 5 heures, 48 minutes, 48 secondes : un jour se compose de 24 heures ; un heure a 60 minutes, et €0 secondes font une minute. Il s'est écoulé 5840 ans depuis le commencemer;-. du monde : combien cela fait-il de secondes 1

Cherchons d'abord le nombre de secondes qui se trouvent dans une année : Puisque un jour vaut 24 heures, l'année ayant 365 jours, il est évident que l'année se compose de 365 fois 24 heures ; il faut donc prendre 24 h. 3C5 fo*s., ou, ce qui revient au même (22), multiplier 365 par 24.

Or 365 X 24=8760 h.

En y ajoutant les 5 h. qui sont de plus dan? l'année,

on a 8765 h. pour une année.

Multipliant ce nombre par . . 60 minutes,

on a pour produit ..... 525900 minutes, ajoutant 48 m. de plus,

on trouve 525948 minutes pour une année»

Ce nombre multiplié par . . 60 secondes,

donne . . 31556880 sec.

et 48 sec. de plus,

font 31556928 sec. pour l'année.

Ayant trouvé le nombre de secondes dont se compose une année, il est clair x;ue, pour répondre à la question, il faut répéter ce nombre 5840 fois (16 et 8

Ainsi, 31556928 secondes X 5840 ans =

184292459520 secondes depuis ïa création du monde.

2e Question.— On achète 25 chevaux qui coûtent, chacun, 237 piastres ; com bien paiera-t-on en tout 1 Puisque chaque cheval coûte 237 p., il est clair qu'il faut prendre ce prix 25 fois.

237 X 25 = 5925 piastres.

Exercises.

3é Question. — On emploie 75 ouvriers, dont 25 reçoivent, chacun, 15 piastre* par mois ; 25 autres sont payés à raison de 23 p. par mois ; 15, à 12 p., et les 10 autres, à 42 p. Combien aura-t-on à payer en tout,, par mois et par innée 1

15 x 25 = 375 piastres.

Ire réponse 75 = 1550 piastres par mois. Comme il y a 12 mois dans l'année, il faut prendre ce nombre 12 fois,, et l'on aura, pour la 2e réponse, 1550 X 12 = 18600 piastres à payer par an. 4e Question. — Combien coûteront 36 aunes de drap, à 19 francs l'aune ?

Réponse,-— 36 X 19 = 684 fr.

5e Question. — Un navire transporte 8746 planches ; chaque planche pèse 108 livres quelle est la charge totale du navire 1

Réponse, — 8764 X 108 = 944568..

6e Question. — Supposé qu'un cheval mange 12 livres de foin par jour, combien en mangera-t-il par an 1

Réponse,— 365 X 12 = 4380 Kv.

23. Un produit composé d'un nombre quelconque de facteurs est le même quel que soit l'ordre des facteurs.

Par exemple, (5 X 3 X 2 x 4) = (4 x 2 X 3 X 5) = etc.. C'est une conséquence du No, 22.

Pour multiplier un nombre par le produit de plusieurs facteurs, il suffit de multiplier successivement ce nombre par chacun des facteurs du produit.

Soit 25 à multiplier par 15 ; 15 étant le produit de 5 par 3, on peut multiplier d'abord 25 par 3, ensuite le produit par 5, et le résultat sera le même que celui de 25 X 15, c'est-à-dire, 375.

Pareillement si l'on a à multiplier 57 par 72, comme 72 est le produit de 8 par 9, on peut d'abord multiplier 57 par 8, ce qui donne 456 : multipliant ensuite ce produit par 9, on a 4104.

Soit encore 32 X 4 = 128 X 3 = 384 X 2 = 768.

C'est la même chose que si je multiplie 32 par 24, parce que 3 fois 4 font 12, et 2 fois 12 font 24, et 32 X 24 = 768.

Nota. Enfin, si l'on a plusieurs nombres à multiplier par le même nombre, pour réunir ensuite tous les produits, on peut ne

RAISONNEE.

faire qu'une seule multiplication, en réunissant d'abord tous les nombres proposés.

Par exemple, 20x3= 60