DE LA DIVISIBILITE' DES NOMBRES

29. Nous aurions beaucoup de choses à démontrer ici, mais dans un ouvrage élémentaire, il n'est pas possible de tout dire. Bornons-nous à faire quelques remarques sur la divisibilité des nombres, lesquelles seront fort utiles par la suite, et nons fourniront souvent les moyens d'abréger considérablement les calculs.

lo. Tout nombre terminé à droite par un des chiffres 0, 2, 4, 6, 8, est divisible par 2. En effet, tout nombre se compose de dixaines et d'unités ; or, les dixaines étant divisibles par 2, si le chiffre des unités est aussi divisible par 2, le nombre doit nécessairement être divisib'e par 2.

Ainsi les nombres 6, 10, 12, 14, 18, 22, 4758, etc. sont divisible»

par 2. Tout nombre jouissant de cette propriété est dit nombre pair.

Les nombres 7, 9, il, 21, etc. ne sont pas divisibles par 2; c'est

pour cela qu'on les appelle nombres impairs.

2o. Lorsque les 2 derniers chiffres d droite d'un nombre forment un multiple de 4, le nombre est divisible par 4. En effet, tout nombre se compose d? centaines, de dixaines et d'unités ; les centaines sont divisibles par 4 ; donc.

RAISONNEE.

si le chiffre des dixaines et celui des unités sont divisibles par 4r tout le nombre le sera aussi. Par exemple, 7924 est divisible par 4, parceque 7924 = 7900 4. 24 ; or 7900 et 24 sont les deux parties de 7924, et comme ces deux parties sont des multiples de 4, 7924 a aussi 4 pour facteur.

3o. Tout nombre composé de plus de 3 chiffres est divisible par 8, si les 3 chiffres qui expriment les centaines, les dixaines et les unités, forment un multiple de 8, parceque un nombre qui a plus de 3 chiffres se compose de mille, de centaines, de dixaines et d'unités ; or les mille ont pour facteur le nombre 8 ; donc si les 3 derniers chiffres sont un multiple de 8, un nombre composé d'j 4, 5, 6, 7, 8, .... 13 chiffres sera divisible par 8.

Tels sont, par exemple, les nombres 9112, 785120, 3174124, etc. Pour connaître si un nombre est divisible par 8, on essaie de diviser les 3 chiffres à droite par 8, et si la division ne laisse aucun reste, il est certain que tout le nombre est exactement divisible par 8.

5o. Les nombres terminés à droite par 0 ou par 5, sont divisibles par 5.

En effet, en divisant un nombre quelconque par 5, le reste ne peut pa* être au-dessus de 4 (26) ; si les dixaines laissent un reste, il ne pourra donc valoir que 10, 20, 30, 40, si le chiffre des unités est un 0 ; et si c'est un 5, on aura, pour dernier dividende partiel, un des nombres 15, 25, 35, 45 ; or tous ces nombres sont divisibles par 5 ; donc tout nombre terminé à droite par 0 ou par 5, est divisible par 5.

6o. Si la valeur absolve des chiffres qui composent un nombre formé une somme divisible par 9, le nombre lui-même est divisible par 9. Ainsi 2 6 7 3 et 5 4 9 6 3 sont divisibles par 9, parce que, dans le 1er, la somme des chiffres est 18, qui admet 9 pour diviseur ; que les chiffres du 2e donnent 27 qui est aussi divisible par 9.

La raison en est bien simple : chaque dixaine est égale à 9 -f- 1 ; chaque centaine, à 99 -j- 1 ; chaque mille est égal à 999 -}> 1 ; et ainsi de suite. Or, il est aisé de voir qu'un nombre quelconque est un multiple de 9 augmenté d'autant d'unités qu'il y en a dans la somme des chiffres qui composent ce nombre : donc, si ce nombre d'unités que laisseront nécessairement les divisions partielles, est divisible par 9, le nombre proposé le sera aussi.

Pour rendre cette démonstration plus sensible, observons que le nombre 2*ô73. par exemple, peut se décomposer de la manière suivante : 2000, 600, 70, 3. La lrc partie, divisée par 9, laisse 2 de reste ; la 2e, 6 ; et la 3e, 7. Ces 3 restes réunit avec la 4e partie, égalent la somme des chiffres du nombre 2673, c'est-à-dire 18. Mais le nombre déjà décomposé peut encore se décomposer ainsi qu'il suit:

io 4. io 4. îo 4- io 4- io 4- io 4- 10, 4- 3.

La réunion de toutes ces parties égale le nombre proposé. Or chacune des 15 1res parties, divisée par 9, donne 1 de reste, il est facile de le voir; il y aura donc 15 unités de reste, lesquelles ajoutées avec la 16e partie forment 18, etc.

Donc, puisque le reste est divisible par 9, le nombre proposé admet ce même diviseur.

7o. Ce que nous venons de dire à V égard du nombre 9, s'applique aussi au nombre 3, et la démonstration est à peu près la même.

^ Mais remarquons de plus que, 9 étant un multiple de 3, tout nombre divisible par 9 Vest aussi par 3, quoique tout nombre divisible par 3 ne le soit pas par 9.

8o. Enfin lorsqu'un nombre divise toutes les parties d'une somme, il divise cette somme, parceque le quotient fourni par la division de la somme se com •

pose de tous les quotiens que l'on obtient en divisant ses diverses parties par le même diviseur. Par exemple, 18, 24, 12, 30, 42, 36, étant divisibles par 6, il est certain que la somme 162, provenant de tous ces nombres, est aussi divisible par 6.

9. Pour connaître si un nombre est divisible par 10, 100, 1000, etc. voyez le No. 12.

Nota. — Tout nombre est divisible par lui-même, et donne 1 pour quotient. ; mais il n'est jamais divisible par un nombre plus grand que sa moitié.