ADDITION DES FRACTIONS

37. Pour additionner plusieurs fractions qui ont le même dénominateur, on ajonte tous les numérateurs, et Von écrit sous la somme le dénominateur commun. Ainsi la somme des fractions

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Mais si les fractions à ajouter ont des dénominateurs différens, pour pouvoir les réunir, il faut préalablement les réduire au même dénominateur, parce que deux ou plusieurs quantités, quelles qu'elles soient, pour pouvoir être comparées, doivent avoir une commune mesure, c'est-à-dire, être de même espèce. On ne peut additionner f et §■ , car dans la Ire de ces deux fractions, l'unité n'est partagée qu'en 4 parties, et dans la 2e. elle est partagée en 5. Il faut donc transformer ces 2 fractions aux équivalentes, J^i ^ïï, et ensuite opérer comme dans le cas précédent ; ce qui donne f g. Extrayant les entiers, on a 1 ^3ÏÏ.

Soient encore les fractions |, f ; en les réduisant au même dénominateur, il vient y-g , yy» T"f ' et> formant la somme des numérateurs, à laquelle on donne le dénominateur commun, on a pour la somme des 3 fractions yj-, ou 1 y-g .

Remarque. — Pour bien comprendre cela, n'oublions pas que veut dire, 4 dmsé par 18 ; indique aussi le quotient de 3 par 18, et celui de 12 par 18.

Or, si nous ponvions effectuer chacune de ces divisions indiquées, il est évident que nous n'aurions qu'à réunir les 3 quotiens, pour en avoir la somme ; mais ces divisions ne pouvant se faire, attendu que le dividende est plus petit que le diviseur, on se contente de les indiquer ; et puisque nous avons la faculté de ramener toutes ces divisions à avoir le même diviseur, sans les changer (32), nous réunissons tous les dividendes, et, au lieu de 3 divisions indiqués, nous n'en avons qu'une, et par conséquent qu'une seul quotient, puisque nous divisons tous les nombres à la fois. C'est-à-dire, que nous indiquons 3 divisions on une seule. En d'autres termes, nous additionnons les quotiens avant que les divisions soient faites.

Par exemple, soient les 3 nombres entiers 36, 48, 16, à diviser par le même /-.ombre 4 ; on peut diviser chacun d'eux par 4, et l'on a

et 100 : 4 = 25

RAISONNEE*

En ajoutant ces 3 quotiens, on a 25. Mais si l'on divise par 4 la somme des 3 nombres proposés, qui est 100, on obtient le quotient 25 par une seule division, ce que l'on ne pourrait pas faire, si les diviseurs étaient différens. Donc, pour pouvoir ajouter plusieurs fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur, etc.

C'est le contraire de la remarque No. 23.

Cette démonstraction n'a été faite par aucun auteur que je sache, mais j'ai appris, par de nombreuses expériences, qu'elle est absolument nécessaire : le.;; élevés ne comprennent pas pourquoi on additionne les numérateurs sans additionner les dénominateurs.

3S. Quand les nombres entiers à ajouter sont accompagnés de fractions, on additionne d'abord les fractions, selon les règles que nous avons données, et s'il y a des entiers, on les extrait pour les joindre à la somme des nombres entiers, que l'on additionne comme à l'ordinaire.

Ainsi, pour réunir 12 f, 4 8 f , je forme la somme des fractions, ce qui me donne ^ ; cette fraction contient 2 unités et f ; j'ajoute ces 2 unités à la somme des nombres entiers, et j'ai pour la somme totale 26 f.

On peut parvenir au même résultat, en mettant les entiers sous une forme fractionnaire ; pour cela, il suffit de donner 1 pour dénominateur à chaque nombre entier, de cette manière ]y2 cela ne change pas les entiers, car chacun des nombres 12, 4, 8, divisé par 1 donnera toujours 12, 4, 8. Mais il faut réduire ces 3 dernières fractions au même dénominateur que les autres ; à «et effet, il n'y a qu'à multiplier les 2 termes de chacune d'elles par le dénominateur commun des autres, c'est-à-dire par 7, et nous aurons s i 23 5j 2 JL 3 A 2 • la somme est 1 JL 4

ou 26 f .

39. On peut encore réduire les entiers en fractions de la même espèce que celle qui les accompagne ; il faut pour cela multiplier l'entier par le dénominateur, ajouter au produit le numérateur de la fraction, et lui donner le même dénominateur.

S'il s'agit d'additionner 5 ^, 3 on dit : 2 fois 5 font 10, et 1 font y • 6 fois 3 font 18, et 5 valent ; En réduisant ces deuxfractions au même dénominateur, on obtient 3jj 23 dont la

somme est 5^ on peut simplifier cette fraction en divisant les 2 termes par' 2 (29 et 34), ce qui donne 2f ou 9 ^ (36).

Soit encore proposé de réduire 4 en cinquièmes : je n'ai qu'à multiplier 4 par 5, et à donner au produit le dénominateur 5. ce qui fait .

Cela s'appelle réduire un entier en fraction cVune espèce donnée. Cette transformation ne change point l'entier, car si l'on rend un nombre 5 fois plus fort en le multipliant par 5, en le di-

visant ensuite par le même nombre, on le rend 5 fois plus petit s dans on trouvera toujours 4, etc.

Ire Question. — Sur une pièce de toile, on a vendu 2 verges |, plus £, plus 4 v. I, plus § ; combien cela fait-il en tout^

" Réponse, 8 verges et \.

2e Question. — 12 gallons, plus ?, plus 5r |, plus |, plus |- ; combien cela fait- il de gallons 1

Réponse, 19 gallons 4.

3e. Question. — 4 livres \, plus 5 liv. %i f°n^^ Uv. |.