DIVISION DES FRACTIONS

43. Si nous nous rappelons la définition de la division (26), nous comprendrons sans peine ce qui va suivre.

Nous avons dit que la division est une opération par laquelle, un produit et l'un de ses facteurs étant donnés, on se propose de trouver l'autre. Ce second facteur, qui, dans la division, prend le nom de quotient, s'obtient en cherchant combien de fois l'autre facteur, appelé diviseur, est contenu dans le produit, nommé dividende. Or, il est évident que, le dividende restant le même, plus le diviseur sera petit, plus il sera contenu de fois dans le dividende, ou plus le quotient augmentera. Ainsi, 4 sera contenu dans un nombre quelconque la moitié moins que 2 ; en d'autres termes, le quotient d'un nombre quelconque divisé par 4 sera la moitié de celui que donnera la division de ce même nombre par 2. Dans le 1er. cas, le quotient sera le quart du dividende, et dans le 2e. cas, il en est la moitié. Le quotient serait égal au dividende, si* le diviseur était l'unité ou 1 ; il serait le double, le triple, etc., si le diviseur n'était que j>, ^, etc. Par exemple, si nous voulions mesurer la longueur d'une salle, nous prendrions une toise, et en supposant que la salle eût 4 toises de long, la longueur de la toise serait contenu 4 fois sur la longueur de la salle ; mais si, au lieu d'une toise, nous prenons un pied pour mesure, le pied étant six fois plus petit que la toise, il est clair que le pied sera contenu 6 fois plus sur la longueur de la salle, c'est-à-dire, 24 fois.

Pareillement, si l'on partageait 18 chelins entre 9 personnes, chaque personne aurait 2 chelins ; mais si, au lieu de les partager entre 9, on ne les partage qu'entre 3, les parts seront 3 fois plus fortes, puisque le diviseur devient 3 fois plus petit ; dans ce cas,

chaque personne aurait donc 6 chelins. S'il fallait partager entre 12, chaque portion serait de 1 chelin et •§ ; entre 36, un £ chelin, etc.

Donc, lo. lorsque le diviseur sera 2, 3, 4, etc. fois plus fort que l'unité, le quotient sera 2, 3, 4 fois plus petit que le dividende. 2o. Lorsque le diviseur est 2, 3, 4, etc. fois plus petit que l'unité, le quotient est nécessairement 2, 3, 4 fois plus grand que le dividende.

Soit à diviser § par j : d'après notre définition, il s'agit de trouver une fraction qui, multipliée par 5*, donne pour produit j. Le diviseur J étant 5 fois moindre que l'unité, le quotient doit être 5 fois plus grand que le dividende f . Ainsi, rendons la fraction | 5 fois plus forte (31), et nous aurons pour quotient véritable ou3 { (36).

Si nous multiplions le quotient par le diviseur, nous avons effectivement V X } = jj ou -J.

Mais, si nous avions à diviser -J par |, ici le diviseur n'est pas 5 fois plus petit que l'unité, car -j valent 4 fois 4=-, c'est-a-dire, 4 parties dont 5 forment l'unité : la fraction | n'est que £ de fois plus petite que l'unité ; conséquemment, le quotient ne doit être que | de fois plus fort que le dividende f-, c'est-à-dire, 1 fois plus £ de fois.

De sorte que, en multipliant le numérateur de la fraction dividende % par 5, dénominateur de la fraction diviseur y, nous obtenons comme ci-dessus, mais ce quotient se trouve 4 fois trop fort ; il faut donc le rendre 4 fois plus petit, en multipliant son dénominateur par 4 (31 et 32), ce qui donne pour quotient véritable \\ ou ■§-, fraction plus forte que J.

Pour obtenir ce quotient, nous avons multiplié J par |-, et cela est bien naturel, puisque nous avons remarqué que le quotient doit être les £ du dividende ; d'ailleurs nous savons que c'est par la multiplication qu'on prend un nombre un certain nombre de fois ; donc nous devions prendre J de fois §. Mais -J est la fraction diviseur renversée.

Le raisonnement que nous venons de faire pouvant s'appliquer à tout autre exemple, nous en déduirons cette règle générale :

Pour diviser une fraction par une fraction, il faut multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée. \ divisés par yT revient àf X V = ftfî ou 1 \\. 44. Cette règle générale nous fait voir encore que, pour diviser

RAISONNEE.

l'une par l'autre deux fractions, il suffit de diviser le numérateur de la 1ère, par celui de 2e. et le dénominateur de la Ire. aussi par celui de la 2e., lorsque ces divisions peuvent se faire sans reste. En effet, soit proposé de diviser § par f ; divisant le numérateur de la Ire. fraction par celui de la 2e., nous avons J ; ht fraction § se trouve donc divisée par 2 (31) ; mais ce n'est pas par 2 que nous devons diviser §, c'est par §- ; donc le quotient J est 3 fois trop petit, car le quotient véritable doit être les | de g ; or, pour donner à ce quotient sa juste valenr, il faut rendre la fraction $ 3 fois plus forte, ce que l'on fait en divisant son dénominateur par 3, et nous aurons pour quotient véritable ou 1 J.

Mais d'après les principes du No. 31, nous pouvions encore rendre la fraction J 3 fois plus forte, en multipliant son numérateur par 3 ; conséquemment pour pouvoir opérer de cette manière, il suffit que le numérateur de la fraction dividende soit divisible par celui de la fraction dénominateur ; par exemple, - 9 à diviser par JL : je divise 9— par 3, et j'ai pour quotient, mais 7 fois trop petit ; je multiplie JL. par 7, et j'obtiens iLL ou 1 et I--Q-.

Si les numérateurs ne sont pas divisibles l'un par l'autre, et que les dénominateurs le soient, comme ^ à diviser par §• , je divise le dénominateur 6 par le dénominateur 3, ce qui me donne |, quotient 2 fois trop fort ; je le rends 2 fois plus petit en multipliant son dénominateur par 2, et il vient £ = 1

45. Enfin une conséquence en amène toujours un autre, et nous ne devons pas omettre la remarque suivante, qui est, peutêtre, la plus importante.

Il s'ensuit de tout ce que nous venons de dire sur la division des fractions que, pour diviser l'une par Vautre deux fractions de même dénominateur, il n'y a qu'à diviser le numérateur de la Ire. par celui de la seconde, sans avoir égard aux dénominateurs ; car, suivant la règle générale, si nous voulons diviser f- par -f , nous aurons À. X £ == ou, en simplifiant, A.

Si nons changeons de place les dénominateurs des fractions A et ? nous avons | X ^, ce qui ne change rien au résultat, puisque le numérateur et le dénominateur du quotient J..L seront toujours des multiples de 7 ; seulement, quant aux dénominateurs, au lieu de multiplier 7 par 5, nous multiplions 5 par 7 ; mais nous avons rigoureusement démontré (2? 1 que le produit de deux nombres ne change pas, quel que soit l'< les facteurs. De

plus, nous savons (32) que la multiph rnultanée des 2

termes d'une fraction par le même nomfc ;e pas la va-

leur : or, multiplier .1 par -Z? c'est ne rien faire du tout. Il erî est de même pour les nombres entiers ; 12 x 4 = 48, divisé ensuite par 4, on a toujours 12.

Ainsi le quotient de ^ par £ est JL.

Donc, pour diviser entre elles deux fractions qui ont le même dénominateur, il suffit de diviser le numérateur de la Ire. par le numérateur de la 2e. ; et cette division est toujours possible, puisqu'on se contente de l'indiquer. Le quotient de 3 par 8 est f . 1 divisé par 10 =r JL. JL divisés par XX = 5.