MULTIPLICATION COMPLEXE
65. Veut-on savoir, par exemple, combien coûteront 13 livres 10 onces de thé, à 3 chelins 8 pennys la livre : observons d'abord que, puisque 1 livre vaut 16 onces, 1 once vaut y1^ (30), donc 10 onces valent }g : en simplifiant cette fraction, nous avons la fraction équivalente f (34).
Ainsi, au lieu de 13 liv. 10 onces, nous aurons 13 liv. ce qui est exactement la même chose.
Pareillement, 1 ch. valant 12 pennys, 8 pen. égalent ou f de chelin.
De sorte que, l'opération se réduit à multiplier 13 et f par 3 etf
Or,d'après ia règle du No. 42, nous avons J-jp. x s ^f-1- Il s'agit maintenant de trouver la valeur de cette fraction en chelins, en pennys, etc. Pour cela, il n'y qu'à diviser le numérateur par le dénominateur, ce qui donne (36) 49 chelins et |J. Pour savoir combien cette dernière fraction vaut de pcnnys, puisque
1 ch. vant 12 pen., multiplions le numérateur 23 par 12, ce qui nous donnera le nombre 276 pennys, qui, divisé par le dénominateur 24, fournit 11 pen. plus ou ^. Ainsi le prix de 13 liv
10 onces de thé, à 3 ch. 8 pen. la livre, est juste 49 ch. 11 p. -|. Et comme 20 ch. font 1 louis, divisant 49 par 20, nous avons
2 louis 9 ch. 11 p. ^.
Remarque. — Pour réduire un nombre quelconque d'unités à une espèce d'unités immédiatement inférieure à celle qui précède,
11 faut le multiplier par le nombre d'unités qui composent une unité de Vordre supérieur.
Par exemple, s'agit-il de savoir combien 15 louis font, de chelins, le louis se composant de 20 ch., on a 15 X 20 = 300 ch.
£12 et 14 ch. = 12 X 20 = 240 -f 14 — 254 ch.
£9 5 ch. 4d. valent 9 X 20 = 180 -f 5 = 185 ch. X 12 = 2220 -f 4 = 2224 pennys.
5 livres 3 onces valent 5x 16 = 80 + 3 = 83 onces.
7 toises 4 pieds 8 pouces 2 lignes valent : 7X6 = 42 + 4 = 46 pieds X 12 = 552 + 8 = 560 pouces X 12 = 6720 + 2 = 6722 lignes.
Pour former des unités d'un ordre supérieur^ il faut diviser.
Yeut-on savoir combien 640 chelins font de louis, 64Q : 20 = 32 louis.
69 onces 1G — 4 livres et 5 onces ; etc.
On voit d'après cela que, si l'on veut savoir ce que valent le l de £U il faut multiplier le numérateur par 20, et diviser le produit par le dénominateur. De cette manière, on trouve que 7 v ^0
J de £'1 = * =17 ch. plus $ : cette dernière fraction
bc réduit en pennys, en multipliant par 12 : = 6 peiu
Ainsi les J de £1 sont 17 ch. 6d.
Le J de £1 est 2 ch. 6d.
| de toise valent — -. — = 4 pieds.
£ de 1 pieds valent —il =10 pouces.
RAISONN'EE.
sa?
A v> on
i de 1 franc valent * = 16 sou3,
Les ï d'une livre sont — ~ — = 14 onces. B 8
Les f de 1 arpent = ^ * ^ =r 6 perches.
Ainsi de suite. Cela s'appelle évaluer une fraction d'une espèce donnée.
Les fractions décimales s'évaluent de la même manière, mais il faut se rappeler que le dénominateur est sous-entendu. Ainsi, après avoir multiplié la fraction décimale par 20, par 12, par 6, par 16, etc. suivant la nature des unités que l'on veut avoir, comme ci-dessus, il faudra diviser par 10, ou par 100, ou par 1 000, etc. selon que la fraction exprime des dixièmes, des centièmes, des millièmes? etc.
Soit proposé de trouver en chelins la valeur de 0,8 de l£multipliant 8 par 20, on a 160 ; on divise 160 par 10, pareeque la fraction vaut des dixièmes ; cette division se fait au moyen d'une virgule (51 et 52), et l'on a 16,0. C'est-à-dire que les 0,8 d'un louis valent 16 chelins. Pareillement les 0,55 d'un chelin valent 55 X 12d. = 660, qui, divisé par 100, donne 6,60, ou ce qui est la même chose 6 pennys et T6^ ; simplifiant cette dernière fraction, on a 6d. ^.
Il est inutile de donner un plus grand nombre d'exemples sur cet article. Nous voyons déjà que les fractions décimales jouissent d'un grand avantage sur les fractions ordinaires, puisque une virgule suffit pour faire une division ; c'est ce que nous sentirons encore mieux par la suite.
Revenons a la multiplication des nombres complexes.
Prenons, pour 2e. exemple, 4 toises 2 pieds 5 pouces 7 lignes, a. multiplier par 1 louis 6 ch. 2d.
Ces différentes unités ne sont autre chose que des fractions les unes des autres : Par exemple, 2 pieds valent -| de la toise ; 5 pouces, y5g- du pied, etc. réduisons tout à la plus petite espèce, suivant les règles de la remarque ci-dessus, et nous trouverons que 4 toise, 2 pouces, 5 pieds, 7 lignes valent 381 1 lignes ; et comme 1 toise vaut 864 lignes, nous prendrons ce nombre pour dénominateur et nous aurons toises.
Ensuite 1 louis 6 chelins 2 pennys valent 314 pennys. 1 louis valant 240 pennys, nous avons louis.
T>onc |£$ X 3sW = Vo97Wô* louis ou' en sonnant, fffff Divisant le numérateur par le dénominateur, on trouve
h louis, plus y7($$fg7ô î multipliant le numérateur de cette dernière fraction par 20, pour réduire en chelins, et divisant par le dénominateur, on obtient 15 chelins, plus -^fg^gn» ou' en s*mPn" fiant, f 1|J ; le numérateur multiplié par 12 et divisé par le dénominateur, donne 5 pennys plus jf f ^ ou
Ainsi le produit cherché est 5 louis 15 chellings 6d. et de penny.
Cette méthode convient a toute sorte de nombres complexes,
mais elle exige plus de calcul que celle que nous allons exposer.
Ce que nous allons dire n'étant que la conséquence rigoureuse, et même la. répétition de ce que nous avons déjà dit sur la multiplication des nombres entiers et sur la multiplication des fractions, nous nous bornerons à quelques exemples propres à faire connaître l'usage et la légitimité de la multiplication;
des nombres complexes.
1er. On demande quel est le prix de 24 cordes de bois, à raison de 12 chelins 6 pennys la corde ?
Réponse, 300 chelins, soit 15 louis.
On multiplie d'abord 24 par 12, selon les règles ordinaires ; en suite, considérant que 6d. sont la moitié d'un ch. il est clair qu'après avoir pris le multiplicande 1 2 fois, il faut le prendre encore une demi-fois, or la moitié de 24 est 12 que l'on écrit soua les produits partiels de 24 par 12 ; l'addition faite, on a 300 ch. Qui, divisés par 20, donnent 15 louis.
2e. Si une livre de sucre coûte 9 pennys, combien coûteront %1 livres 8 onces ?
27 liv. 8 onces 9d.
27 liv. à 6d, 27 liv. à 3d.
13ch. 6d.
8 onc. ou \ liv. à 9d.
Produit total . . £1 Och. 7 Jd.
Il se présente une foule de moyens pour résoudre la question ; d'abord nous pourrions multiplier 27 par 9, ce qui nous donne.
RAISONNEE.
rait 243d. et comme 9d. sont le prix de 1 liv., 8 onces étant \ iiv. doivent valoir la moitié de 9d. ou 4d. et ce qui ferait en tout 247d. et divisant 247 par 12, nous aurions 20 ch. ou £1 et 7£d. De plus 9d. étant les ^ ou f du ch., il suffirait encore de prendre les j de 27, etc.
Mais il est plus expéditif de décomposer 9d. en parties ali* quotes du chelin, c'est-à-dire en 6d. qui sont J chelin, et en 3d. qui en sont le £ ou la moitié du \ chelin : or, 6d. étant la moitié de l'espèce d'unités que nous voulons avoir au produit, nous prenons la moitié de 27, en disant : la \ de 2 est 1 que nous écrivons dessous ; le \ de 7 est 3 plus 1 ; nous posons 3 sou» le 7 ; le 1 qui reste vaut 12d. dont la \ est 6d. que nous posons à droite des chelins ; de sorte que 27 liv. à 6d. font 13 ch. 6d. Il faut maintenant trouver ce que valent 27 liv. à 3d. : il suffirait, pour cela, de prendre le \ de 27, puisque 3d. sont le £ du ch. ; mais J est la moitié du c'est-à-dire que 3d. sont la \ de 6d. ; donc, puisque 6d donnent 13 ch. 6d., 3d. doivent donner la \ de ce prix. Disons donc : la moitié de 13 est 6 que nous posons sous 13, et il nous reste 1 ch. qui qui vaut 12d., et les 6d. qui sont à côté de 13 font 18, dont la \ es* 9d. que nous plaçons sous le 6. Enfin il ne nous reste plus qu'à trouver le prix de 8 onces : considérons que, puisque 1 livre coûte 9d., 8 onces étant les ^ ou le \ de la liv., le prix de 8 on. doit être nécessairement la \ de celui de 1 liv. ; la moitié de 9d. est 4d. \. En additionnant le tout, on trouve 20 ch. 7d. ^, ou £ 1. 0. 7. |.
3e. Supposant qu'un minot de blé se paie 3 francs 15 sous, combien paiera-t-on 36 minots ?
36 à 3 francs font . . 108 francs.
36 à 10 sous
36 à 5 sous
Produit
135 fr, Réponse-
4e. Combien coûteront 18 livres f de thé à 7 francs 17 sous la livre ?
18 liv. | à . . . 7fr. 17 sous :
13 iiv. à 7 frs. valent
à 10 sous à 5 " à 1 « à 1 " à 7f. 17sà 7f. 17s.
vaut
126 fr.
j Produits de 18 par 10 sous. )>7f. 17s. ow de 7/. 17 18 I jjar 18 (22).
18 ^ ) Produits de J par 7j.
19 £ J 175. om de 7/ 17 par j.
18 » | à 7f. 17 valent . 147f. 3s. f, produit de 18 }p. 7/ 17.ç,
5e. S'agit-il de savoir combien coûteront 9 toises, 3 pieds, 4 pouces, 6 lignes d'ouvrage, à £2 4 ch. 5d. ^d. la toise .
3 pi.
4 ch.
4 po.
6lig,
Produit de 9 toises par 2 louis de do. par 4 ch. .
do.
do.
do.
do.
pour 3 pieds pour 1 pied
pour 4 pouces 0
pour 1 pouce 0 —
pour 6 lignes
de de de de
par 1 ch.
par 4 d.
par 1 d.
par \ d.
16 ch.
ffîTff-
Produit total £ 21 5 ch. 1 d
Multiplions 9 par 2, nous aurons 18 louis ; puis, pour multipîW 9 par 4 ch., considérant que 4 ch. sont les ^ ou le y de 1, jfâfo) il faut prendre le \ de 9 toises, en disant : le \ de 9 est ifi î plus £4 ; nous posons 1 sous 18, et les i> 4 restant valent 80 ch. dont le \ est 16 ch., que nous écrivons à droite des louis. ( D'ailleun il est aisé de voir que 9 t. à 4 ch. font 36 ch. ou £ 1
16 ch.) Maintenant il faut multiplier 9 t. par 5 d. ; nous avons plusieurs moyens de le faire : d'abord, 5 d. étant les du chelin, si nous connaissions le produit de 1 ch., nous n'aurions qu'à en prendre les yj Vom avoir celui de 5d. ; cherchons donc pour 1 ch. en disant : puisque 4 ch. donnent £ 1 16 ch., 1 ch. donnera le £ de ce prix ; or, le £ de 1 n'est pas ; mettons 0 sous 1 ; ce 1 valant 20 ch., et 16 ch. font 36, dont le £ est 9 ch. (il faut avoir soin de barrer les chiffres de ce produit, afin de ne pas les faire entrer dans l'addition.*
Mais à présent, au lieu de prendre les -^1 de ce produit, décomposons 5d. en 4d. plus ld. ; ayant le prix, de 1 ch. il est facile d'avoir celui de 4d., puisque 4d. sont les p§- ou le £ du ch. ; ainsi le J de 9 est juste 3 ch. ; pour ld., il n'y a qu'à prendre le £ du produit de 4d. : le £ de 3 ch. est 0 ; les 3 ch. valent 36d. dont le £ est 9d. Il nous reste encore à multiplier 9 t. par ^d., ce qui est bien facile: puisque nous avons le produit de ld.. prenons-en la moitié, qui est 4d. ^.
Jusque là nous avons multiplié 9 t. par 2 louis 4 ch. 5d. ^, ou, ce qui est la même chose (22), nous avons multiplié 21. 4 ch. 5d. £ par 9 1.
Il nous reste à multiplier par 3 pieds 4 pouces 6 lig. : à cet effet, considérant que 3 pieds sont la J de la toise, prenons la moitié de 2 1. 4 ch. 5d. -J, qui sont le prix d'une toise, et nous aurons le prix de 3 pieds :
La £ de 2 1. est 1, que nous plaçons à la colonne des louis ; la de 4 ch. est 2, que nous écrivons pareillement sous les ch. ; ia de 5d. est 2, plus un penny ; nous posons 2 à la colonne des pen., et il nous reste ld. qui (39) vaut |, et le J qui se trouve à côté de 5d. font (37) |, dont la moitié (31 et 46) est | de penny.
Actuellement il faut multiplier par 5 pouces ; pour le faire plus facilement, formons un produit auxiliaire, comme notis Pavons fait précédemment, c'est-à-dire, cherchons le produit d'un pied, en prenant le J de celui de 3 pieds : le J de 1 est 0 ; 1 louis vaut 20 ch. et 2 font 22 ch. dont le ^ est 7, plus 1 ch. qui vaut 12d.,
* Les Arithméticiens appellent cela un faux produit, mais il me semble qu* l'expression produit auxiliaire est préférable.
et 2 valent 14 ; le £ de 14d. est 4, plus 2d. qui valent |, et £ font V , dont le £ est -f-j. Au moyen de ce produit de 1 pied, qu'il ne faut pas oublier de barrer, nous aurons le produit de 4 pouces, en prenant le £ de ce produit auxiliaire ; en effet, 1 pied vaut 12 pouces, donc 4 pouces sont les y-j °u le £ de 1 pied. Ainsi le J de 0 est 0 louis ; le ^ de 7 ch. est 2, plus 1 ch. qui vaut 12d. et 4d. égalent 16, dont le % vaut 5d. plus ld. qui, réduit en fraction de celle qui vient après, vaut -fj-, et \~5 f°nt "f! dont le i égale §§.
Enfin, il faut encore trouver le produit de 6 lignes : Si nous avions le produit d'un pouce, il suffirait d'en prendre la moitié, par avoir celui de 6 lig., puisque 6 lig. sont la moitié d'un pouce ; formons donc encore le produit auxiliaire de 1 pouce ; en prenant le £ du prix de 4 pouces : le £ de 0 est 0 louis ; le £ de 2 ch. est encore 0, mais 2 ch. valent 24d. et 5d. font 29, dont le £ est 7d., plus ld. valant §§ et ff égalent f-§, dont le £ vaut T5T9T. La | de 0 égale 0 1. ; la ± de 0 égale 0 ch. ; la \ de 7 est 3d., reste ld. qui vaut \\\ et YTT f°nt f f f dant la J vaut J-ff-.
En additionnant selon les règles données (37 et 63), on trouve £ 21 5 1. -g-J-. Cette fraction vaut \ penny et de penny, car elle peut être décomposée en ^-J- plus -^j» et 3T = h-*
6e. Si 13 toises d'ouvrage coûtent 1 louis, combien en fera-t- <on faire pour la somme de 36 louis, 12 ch. 3d.?
Presque tous les auteurs ont dit qu'il fallait prendre, pour multiplicande, le nombre qui exprime l'espèce d'unités que l'on veut avoir au produit, mais cette préférence est tout-à-fait inutile, ou le principe du No. 22 serait faux.
Ainsi multiplions 13 t. par 36 1. 12 ch. 3d. ou vice versa, et
* Dans la pratique, on ne calcule pas aussi rigoureusement les fractions ; oa i»e met que des \, des 3, des | ou des -L au plus, en ayant soin, lorsqu'on néglige quelque chose d'une fraction, de donner un peu plus de valeur ù un autre, afin d'établir une compensation approximative
RA1S0NNEË»
aous aurons le même produit : rappelons-nons seulement que ce sont de9 toises que nous cherchons ici.
12ch.
Produit de 13 par 36 1.
Opi.
0 pou.
0 pts
Pour 2 ch
Pour3d. . . .
Réponse . . ,
5 pi.
9 pou.
7pts
On multiplie d'abord 36 par 13 ; ensuite, pour multiplier 13 par 12 ch., on prend la J de 13, en disant : la J de 13 est 6, plu* une toise qui vaut 6 pi., dont la ^ est 3 pi. : ces 6 t. et 3 pi. sont le produit de 10 ch. puisque 10 ch. sont la $ du louis. Il reste donc à prendre pour 2 ch., lesquels sont le y de 10 ch. : ainsi ie j de 6 1. est 1, plus 1 t. valant 6 pi., et 3 pi. font 9, dont le ~ est 1 pi., plus 4 pi. qui valent 48 pouces, dont le j est 9 pou., plus 3 valant 36 lig., dont le y est 7 li., plus 1 li. qui égale 12 points, dont le j vaut 2 pts., plus f . Il faut maintenant multiplier par 3d. : pour le faire avec plus de facilité, on forme un produit auxiliaire, en cherchant pour 1 ch., et pour cela, il suffit de prendre la moitié de ce qu'ont donné 2 ch.
La -J de 1 1. est de 0 1. ; cette toise égale 6 pi., et 1 pi. font 7, dont la -J égale 3, plus 1 pi. qui vaut 12 pou., et 9 font 21 pou., desquels prenant la -J, on a 10, et 1 pou. de plus, qui, réduit en lig., donne 12, et 7 font 19 li., dont la J donne 9, et 1 de reste qui vaut 12 pts., et 2 valent 14, et la \ de 14 égale 7 sans reste ; la ^ de | égale y. Barrons ce produit auxiliaire et prenons-en le ce qui donnera pour 3d., puisque 3d. sont le J de 1 ch. : le J de 0 est 0 t. ; le £ de 3 est 0 pi., reste 3 pi., qui valent 36 pou., et 10 font 46, dont le £ est 11 pou., et il reste 2 pou., lesquels valent 24 li., et 9 font 33, dont le £ est 8 pou., plus 1 qui vaut 12 pts., et 7 égalent 19 ; le £ de 19 est 4 points, plus 3 qui valent
V et \ font V dont J vaut f. En additionnant, on trouve
475 t. 5 p. 9 pou. 3 li. 7 pts. \.
Quelque compliquées que soient ces sortes d'opérations, en raisonnant comme nous venons de le faire dans ces sept exemples, il n'y a pas un cas qui puisse embarrasser l'homme le moins exercé et le moins habile ; c'est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur la multiplication.
