NOTIONS PRELIMINAIRES

Il L'Arithmétique* est la science des nombres et du calcul.

2. On appelle science la connaissance claire et certaine de quelque chose, fondée ou sur des principes évidens par eux-mêmes, ou sur des démonstrations solides et convaincantes.

3. Par nombre on entend l'assemblage ou la collection de plusieurs unités ou parties d'unités, ou la réunion de plusieurs individus de la même espèce.

4. JJ unité est une quantité que l'on prend le plus souvent arbitrairement pour servir de terme de comparaison à d'autres quantités")" de même espèce : par exemple, si je veux connaître la longueur d'une salle, je puis la comparer à une longueur de convention que j'appelle pied : si la salle contient vingt-quatre fois cette longueur, la dimension en sera exprimée par vingtquatre pieds. Le pied est ici ce que j'appelle unité. Mais au lieu de cette unité, je pourrais en prendre une autre ; la toise, par exemple, unité six fois plus grande que le pied, alors la longueur de la salle serait exprimée par quatre toises. Pareillement lorsqu'on dit un tel objet pèse trois livres, la livre est ici l'unité, <rest-à-dire, la quantité à laquelle on compare le poids de cet objet qui se trouve ici trois fois plus grand que l'unité. On au-

* Du grec arithmos, nombre.

f Nous entendons pcr quantité ou grandeur tout ce qui est susceptible de mesure, ou qui, comparé avec une chose de mêmç espèce, peut être dit plus jjrand pu plus petit, ou égal ou inégal.

rait également pu prendre l'once pour unité, et alors ce même poids aurait été marqué par quarante huit onces.

Si l'on compte une somme d'argent, on peut prendre pour unité le chelin, le franc, la piastre, le louis, etc.

Cette unité s'appelle concrète ou relative.

5. Il y a encore une autre espèce d'unité ; c'est l'unité métaphysique ou individuelle, c'est-à-dire, qui ne peut être divisée. Ainsi, par exemple, une réunion de vingt écoliers, un régiment de deux mille hommes, dix chevaux, etc. Ecolier, homme, cheval, sont des unités individuelles. Cette unité pourrait encore être nommée absolue.

6. On appelle nombre concret celui qui fait connaître l'espèce d'unités dont il est formé ; cinq livres, trois hommes, sept francs, sont des nombres concrets.

Un nombre est dit abstrait lorsqu'on fait abstraction des unité* qui le composent ; six, huit, sept, quatre, sont des nombres abstraits.

Nous définirons les autres espèces de nombres à mesure qu'il en sera question.

7. Le calcul est l'art de composer et de décomposer les nombres : on les compose par l'addition et la multiplication, et on les décompose par la soustraction et la division.

Lorsque nous voulons faire connaître un nombre ou nous l'énonçons par la parole, ou nous l'écrivons : de là deux sortes de numérations ou manières de compter : la numération parlée, et la numération écrite.

De la numération parlée.

Quand les hommes se furent réunis en société, ils eurent besoin d'inventer des noms pour désigner les objets qui tombent sous les sens ou que l'imagination peut concevoir : c'est ainsi, par exemple, qu'on a donné le nom arbre a toutes ces grands plantes qui sortent de la terre ; mais comme il y en a de plusieurs espèces, il a fallu nrendre des noms particuliers, afin de ne pas les confondre : ainsi un de ces arbres a reçu le nom de pommier, un autre a été appelé poirier, peuplier, pin, etc.

La même chose a eu lieu pour les animaux, et enfin pour tout ce qui existe ou qui est supposé exister.

Pareillement on a donné le nom de nombre, comme nous l'avons déjà dit (3), à la réunion de plusieurs unités, mais ces nombres étant infinis, il a été indispensable de créer des noms au moins pour tous les nombres possibles, afin <j.> pouvoir les distinguer entre eux, et c'est la connaissance de ces noms qui a reçu elle-même le nom de numération parlée.

S. Donc, la numération parlée consiste à connaître les noim qu'on a adoptés pour compter ou pour exprimer tous les nombres possibles.

Ces noms», dans notre langue, sont un, deui, trois, quatre, cinq*,

six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, dix-sept, dix-huit, dix-neuf. Remarquons que ces trois derniers noms sont composés, chacun, de deux des précédens, et que le mot dix entre dans tous les trois. La même chose a lieu pour les nombres que nous venons de nommer au-dessus de dix : seulement on a trouvé plus convenable de dire : onze, douze, treize, etc., au lieu de dire : dix-un, dix-deux dix-cinq.

D'ailleurs ces mots sont formés des composés du latin, undecim, duodecim, tredecim, — lesquels sont à leur tour tirés du grec, endeca, dodeca, etc. c'est-à-dire, dix-un, dix-deux, etc.

S'il avait fallu créer des noms spéciaux pour tous les nombres, la mémoire aurait été sur-chargée par cette suite de mots qui n'aurait pas eu de fin, parce que, quelque grand que soit un nombre, il y en a toujours de plus grands que lui. Mais on a trouvé le moyen de répresenter tous les nombres, en ajoutant seulement quelques mots nouveaux à ceux qui expriment les neuf premiers nombres.

Une unité ajoutée a dix-neuf, donne naissance à un nombre nouveau que l'on appelle vingt. Pour avoir les noms des nombres supérieurs à vingt, il suffit de combiner successivement ce dernier nom avec chacun des neuf premiers : ce qui donne vingtun, vingt-deux vingt-neuf.

Ensuite on emploie le mot trente, que l'on combine de la même

manière, et l'on a trente-un, trente-deux, trente-neuf. Il en

est de même pour les nombres quarante, cinquante, soixante, septante, octante, nonante : Ces trois derniers noms ne sont plus usités : on dit soixante-dix, soixante-et-onze, soixante-dixneuf, quatre-vingt, quatre-vingt-dix, etc.

Enfin, en continuant ainsi cette combinaison, on arrive à quatrevingt-dix-neuf. Si nous ajoutons une unité à ce dernier, nous aurons une collection de dix dixaines qu'on appelle centaine ou cent.

Jusque là, nous voyons donc que les nombres n'admentent des noms nouveaux, que de dix en dix unités.

Maintenant on n'emploie de noms nouveaux que pour un nombre dix fois plus grand que cent, parce que les centaines se comptent comme les dixaines, en se servant des neuf premiers nombres : comme, cent un, cent dix, cent onze, deux

cents, deux cent vingt, huit cent quarante, Neuf

otfnt quatre-vingt-dix-neuf plus un forment dix centaines ou mille. Les mille se comptent comme les unités simples, par dixaines et par centaines, en employant des noms composés, tels que deux

mille, huit mille un, quarante nulle deux cent dix.

cent mille, etc.

La collection de dix centaines de mille a reçu le nom de million, nombre mille fois plus fort que mille.

Les millions se comptent comme les mille.

Dix centaines de millions forment un billion.

On continue de la même manière à former de nouveaux ordres d'unités de mille en mille fois plus forts, auxquels on donne les noms de billions, de trillions, de quatr illions, de quintillions, de sextillions, etc., et chaque ordre se subdivise en unités, dixaine* et centaines.

Résumons : Dix dixaines font une centaine, dix centaines font mille, dix centaines de mille, un million, dix centaines de millions, un billion, etc.

Cette manière de compter par dix nous vient de la nature. Les anciens qui ne connaissaient pas encore l'arithmétique/se servaient des dix doigts que nous avons aux mains, et encore aujourd'hui voit-on beaucoup de personnes, princi paiement les enfans, s'aider de leurs doigts pour faire leurs calculs.

De la numération écrite.

9. La numération écrite est Part de représenter tous les nombres avec certains caractères qu'on appelle chiffres.

S'il fallait écrire les nombres tels que nous venons de les nommer, les calculs seraient d'une longueur rebutante, et souvent impracticables. On a obvié à cet inconvénient par le moyen admirable qu'on a trouvé de représenter toute sorte de nombres, on n'employant que dix chiffres, comme on écrit toute sorte de mots, en se servant des vingt-cinq lettres de l'alphabet, et toute, espèce de phrases, en n'employant que dix espèces de mots.

Ce système de numération est fort ingénieux, et il importe d'autant plus de le bien comprendre, que toute l'arithmétique repose sur cette base essentielle.

Voici les dix chiffres dont nous venons de parler, et que l'on pourrait appeler /' alphabet-arithmétique :

Les neufs premiers représentent successivement et séparément les nombres,

un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept,huit, neuf; le dixième, nommé zéro, n'a aucune valeur par lui-même, mais il sert à faire varier la valeur des autres chiffres d'après une convention très-simple, qui consiste à donner à chaque chiffre significatif une valeur dépendante de sa position ; c'est-à-dire que l'on est convenu que tout chiffre significatif placé à gauche d'un autre prend une valeur décuple ou dix fois plus forte.

10. Conséquemment, avec ces dix caractères, on pourra écrire tous les nombres possibles. En effet, avec un des dix chiffres, 1, 2, 3, 4, etc., on peut écrire les nombres depuis un jusqu'à neuf

inclusivement ; puis, pour écrire le nombre dix ou une dizaine, il suffit de placer le chiffre 1 au 2e rang à gauche, en mettant un 0 au 1er rang, de cette manière 10.

D'après la convention, le 1 se trouvant à gauche du 0, vaut dix fois plus que s'il était seul, donc il vaut dix.

Pour écrire dix-un, dix-deux, ou bien onze, douze, etc., on subtitue au 0 chacun des chiffres significatifs, et l'on a 11, 12, 13,

14, 19, c'est-à-dire, onze*, douze, treize, quatorze,

dix-neuf. Enfin, pour représenter 1> 2, 3, 4, etc. dixaines, on rend au moyen d'un 0, chacun de ces chiffres dix fois plus fort, comme on l'a fait pour avoir une dixaine et par la même raison ;

ce qui donne 20, 30, 40, 50, 90^ que l'on prononce, vingt,

trente, quarante, cinquante, ..... quatre-vingt-dix.

En remplaçant successivement les 0 par les neuf chiffres significatifs, comme nous l'avons pratiqué ci-dessus, nous avons 21 vingt-un, 29 vingt-neuf, 31 trente-un, 41 quarante-un, 51 cinquante-un, etc. On arrive ainsi jusqu'au

nombre 99 quatre-vingt dix-neuf, c'est-à-dire, 9 dixaines et 9 unités. D'où l'on voit qu'avec deux chiffres on obtient tous les nombres depuis 10 jusqu'à 99»

N. B. Mais il faut bien se rappeler que ces chiffres ne doivent pas être placés au hasard : un a placé avant un b donne le son ab, mais si l'on place le b avant Va, on aura ba, ce qui est tout-à-fait différent quoique avec les mêmes lettres. Il en est de même pour les chiffres: par exemple, cinquante-un s'écrit de cettr manière 51 (5 dixaines et 1 unité) ; si nous changions les chiffres de place, nous n'aurions que 15 quinze (1 dixaine et 5 unités).

11. Maintenant pour écrire une centaine, il faut encore avancer le chiffre 1 d'un rang vers la gauche, en mettant deux 0 à droite 100 ; ici le 1 vaut, dix fois plus que s'il était au 2e rang, cent fois plus qu'au 1er rang, donc il vaut dix dixaines ou cent. En ajoutant un autre 0, le 1 se trouvera transporté au quatrième rang à gauche, et voudra encore 10 fois plus qu'au 3e, cent fois plus qu'au 2e, et mille fois plus qu'au 1er, donc dix centaines ou mille 1000. Pour rendre ce dernier nombre 10 fois plus fort, il n'y a qu'à ajouter un quatrième 0, et nous aurons 10000 dix mille.

En continuant ainsi le nombre deviendra toujours de dix en dix fois plus fort, et il viendra : 100000 cent mille, 1000000 un million, 1000Ô000 dix millions, 100000000 cent millions, 1000000000 un oillion, etc. jusqu'à l'infini. Mais cette augmentation progressive n'est pas plus particulière au chiffre 1 qu'à tout autre nombre supérieur ; si nous remplaçons successivement le 1 par chacun des autres chiffres significatifs, nous aurons 2 C0 deux cents, 300

500 900 2000 deux mille 7000

8000 .... 20000 vingt mille 400000 quatre cent mille, etc.

12. D'où nous conclurons que pour rendre un nombre 10, 100, 1000, etc. fois plus fort, il suffit de placer un 0, ou un certain nombre de 0 à droite de ce nombre ; et que, par une raison contraire, si l'on supprime un, deux, trois, etc. 0, à droite d'un nombre, on le rendra 10, 100, 1000, etc. fois plus petit.

Pour avoir les nombres qui se trouvent compris entre l et les centaines, on remplace successivement les deux 0 par les quatrevingt dix-neuf premiers nombres, et l'on a 101 cent un, 102 ... . 109 110, 111, .... 208 575, 999.

Pour obtenir les nombres compris entre 1 et les milles, nous remplaçons les trois 0 par les 999 premiers nombres, et il vient 1001 mille un, 3012 trois mille douze, 4020 quatre mille vingt, . . . 5900, .... 7005, .... etc. ; on arrive ainsi jusqu'à 9999 neuf mille neuf centquatre vingt dix-neuf.

Pour les nombres intermédiaires depuis 1 jusqu'aux dixaines de mille, on suit le même procédé, c'est-à-dire, on remplace les 4 zéros par les 9999 premiers nombres, et ainsi de suite.

En suivant cette marche, il est facile d'écrire les plus grands nombres qu'il soit possible d'imaginer. Donc, avec les dix caractères et la convention établie, on peut représenter tous les nombres possibles.

Observation.

13. Il faut bien se rappeler qu'un chiffre placé au 1er rang à droite, représente des unités simples ; qu'un chiffre placé au 2e rang exprime des dixaines ; au troisième, des centaines ; au 4e, des mille ; au 5e, d#s dixaines de mille ; au 6e, des centaines de mille, etc. D'où nous voyons qu'un chiffre devient autant de fois dix fois plus fort qu'il est avancé de 1, 2, 3, etc. rangs vers la gauche. Mais, ainsi que nous l'avons dit, ce n'est qu'une pure convention, car on n'était pas plus obligé de prendre dix caractères que d'en prendre plus ou moins: on pourrait très-bien écrire les nombres avec les cinq caractère» 1, 2, 3, 4, 0 ; mais alors on formerait des nombres de cinq en cinx fois plus forts, comme on les forme de dix en dix, dans la numération usuelle ; c'est-àdire, qu'un chiffre placé à gauche d'un autre, indiquerait des unités cinq fois plus fortes.

On pourrait de même n'employer que les deux chiffres 1 et 0.

Pour marquer tous les nombres par douze caractères, on serait obligé d'en inventer deux nouveaux, et l'on compterait par douzaines comme on compte par dixaines, ctt.

1er Problème : Un nombre étant écrit, énoncer ce nombre.

lo. Si le nombre proposé ne renferme que 3 chiffres, on commence par la gauche, en donnant à chacun d'eux le nom qui lui convient, d'après le rang qu'il occupe. Ainsi l'énoncé du nombre 659 sera six cent cinquante-neuf. Celui-ci 508 s'énonce, cinq cent huit.

2o. Si le nombre à énoncer a plus de trois chiffres, pour l'énoncer avec plus de facilité, on le partage, par des virgules, en

RAJSONNEE.

tranches de 3 en 3 chiffres à partir de la droite ; la dernière tranche à ganche peut être complète ou incomplète, c'est-à-dire, avoir moins de trois chiffres. La première tranche est celle des unités, la 2e, celle des mille, la 3e, celle des millions, la 4e, celle des billions, etc.

Le nombre étant ainsi disposé, on énonce chaque tranche en allant de gauche à droite, ayant soin de donner à chaque tranche la dénomination qui lui est propre.

247,834 deux cent quarante sept mille, huit cent trente quatre.

3,009 trois mille neuf. 500,000 cinq cent mille.

23,004,201 vingt trois millions, quatre mille deux cent un.

13,000,000,120 treize billions, cent vingt.

Quatrillions, trillions, billions, millions, mille, unités.

Deux quatrillions, cent quarante deux trillions, sept cent cinquante-six billions, cinq cent quatre-vingt-un millions, trois cent quarante-un mille, six cent quatre-vingt dix-sept unités.

Pour bien faire comprendre cela aux élèves, les maîtres feront bien de leur faire décomposer les nombres de la manière suivant : c'est un moyen que j'ai toujours employé avec beaucoup de succès.

2,000,000,000,000,000— deux quatrillions.

. 100,000,000,000,000— cent trillions.

. . 40,000,000,000,000— quarante trillions.

. . .2,000,000,000,000— deux trillion.

.... 700,000,000,000— sept cent billions.

50,000,000,000— cinquante billions.

6,000,000,000— six billions.

500,000,000— cinq cent millions.

80,000,000— quatre-vingt millions.

1,000,000— un million.

300,000— trois cent mille.

40,000— quarante mille.

. . 1,000— mille.

600 — six cent.

90 — quatre-vingt-dix.

7 — sept.

2e Problême : Un nombre étant énoncé, écrire ce nombre.

Pour résoudre ce problême, il faut d'abord connaître le nombre des chiffres qui doivent entrer dans la composition du nombre énoncé. Or, pour connaître combien il faut de chiffres, on divisera par la pensée le nombre proposé en tranches, comme dans le problême précédent : par le nombre de tranches complètes ou non, on jugera du nombre de chiffres nécessaires pour écrire le nombre énoncé : Il ne restera plus qu'à examiner quelles sont les places qui doivent être occupées par des caractères significatifs,

ou par des zéros. Soit, par exemple, l'énoncé trente quatre mifle douze : dans ce nombre, il y a deux tranches, celle des mille et celle des unités ; mais, puisqu'il n'y a que trente quatre mille, cette tranche n'aura que deux chiffres : donc, deux pour la seconde tranche et trois pour la première, font cinq caractères. Mais le nombre n'a point de centaines, donc le 3e rang doit être occupé par un 0, et le nombre n'aura que 4 caractères significatifs.

Ainsi l'expression du nombre sera 34,012.

Au moyen de ce raisonnement, et des règles que nous venons de donner, on ne sera jamais embarrassé pour écrire les nombres-