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RAISONNEE. 265

on multiplie un nombre de plusieurs chiffres par un autre qui en a aussi. plusieurs ; par exemple, 57 X 79,

Nous voyons que le chiffre 3 unités du produit 4503, ne fait pas partie du broduit de 57 par les dixaines du multiplicateur ; que ce produit du muitiplicande par les 7 dixaines du En re qui est 399 dixaines, se trouve compris tout entier dans la partie 450 du produit total, qui, en autre du produit de 57 par les 7 dixaines du multiplicateur, contient les 51 dixaines du 1er produit partiel provenant de 57 multiplié par Îles 9 unités du multiplicateur. Conséquermment, si l'on voulait diviser 4503 par 57, on voit qu’il faudrait chercher le chiffre des dixaines du quotient, dans la partie 450 du dividende, et que cette première divisions partielle donnerait nécessairement un reste, etc. On voit, enfin, que les restes proviennent des retenues que l’on a faites, soit en multipliant chaque chiffre du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, soit en additionnant les produits partiels. Donc, pour pouvoir décomposer un nombre dans toutes ses parties, il faut avoir égard à ce qu’on a fait pou le composer, et faire tout le contraire de ce qu’on fait en premier lieu (25.)

Revenons à notre but qui est de diviser 1689282 par 369. Le dividende étant la somme de plusieurs produits partiels, il est clair que si nous connaissions chacun de ces produits, en les divisant séparément par le diviseur, nous aurions chaque chiffre du quotient : mais au moyen de divisions partielles, nous découvrons en quelque sorte tous les produits partiels, puisque nous décomposons le nombre donné en autant de parties principales qu’il y a de chiffres au quotient.

Dividende,

1689.2.8.2. 369 Diviseur.

1476 drciésomes 4578 Quotient.

ler reste,

2e reste,

3e reste,

4e réste, … , 0

Nous savons déjà que le a doit se composer de 4 chiffres ; cherchons d’abord le chiffre qui doit exprimer les mille de ce quotient, et raisonn<ns ainsi : lorsqu'on a multiplié le diviseur 369 par les mille du quotient, le produit n’a pu être que des mille, et l’on a dû écrire au 4e rang le ler chiffre qui se tronve à droite de ce produit partiel (18); or le chiffre des mille du quotient doit nécessairement se trouver dans les 1689 mille du dividende ; nous prenons donc les 4 chiffres à gauche pour dividende partiel, nous cherchons combien de fois cette partie du dividende contient le diviseur, en disant: en 1689 combien de fois 369, ou plus simplement, en 16 centaines combien de fois 3 centaines, parce que la plus forte partie d’un nombre contient la plus forte partie d’un autre nombre, à peu près autant de fois que le 1er nombre contient le 2e, et nous trouvons qu’il y va 5 fois, mais nous rejetons ce nombre comme trop fort, puisque 369 X 5 = 1845, nombre supérieur à 1689 ; nous essayons 4, que nous trouvons bon, vû que 369 x 4 = 1476 ; nous plaçons 4 au quotient, et nous multiplions le diviseur par 4, en écrivant le produit sous 1689 ; la soustraction faite, il reste 213. Ce reste, comme nous venons de le voir, n’appartient point au produit du diviseur 369 par les mille du quotient ; il n’était entré dans la composition du nombre 1689, que par des retenues et par l’addition des produits partiels, et conséquemment aux dépens des autres parties du dividende principal ou produit total ; il doit donc faire partie du 2e dividende partiel, qui contient le chiffre des centaines du quotient. Ainsi, à côté de ce reste, nous abaissons le chiffre qui vient immédiatement après dans le dividende, et nous avons 2132. En 2132 combien de iois 369 { ou en 21 centaines combien de fois 3 centaines? au premier coup-d’œil, il semble qu’il y va 7 fois, mais 369 X 7 = 2583, nombre supérieur à 2132, ce qui rend la soustraction impossible, et nous prouve que 7 n’est pas le chiffre des centaines du quotient. Si nous pronans 6, nous nous assurons de la même manière que ce chiffre est encore trop fort, et en prenant 4, nous trouvons qu’il est trop petit, parce que, après avoir multiplié 369 par 4, et avoir retranché le produit 1476 de 2132, le reste 656 est plus fort que 369, ce qui montre que le dividende partiel 2132 contient le diviseur une fois de plus. Nous prenons donc 5, qui convient, car 369 x 5 = 1845, et, la soustraction faite, il ne reste que 287. Ce reste doit aussi être divisé, mais c’est une partie du produit du diviseur par les dixaines du quotient, laquelle partie avait concouru à la formation du nombre 2132, selon les règles de la multiplication, donc il doit servir à nous faire trouver le chiffre des dixaines de notre quotient. À droite de ce reste, nous descendons les S dixaines du

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RAISONNEE. 27

dividende, ce qui nous donne, pour 8e dividende partiel, 2878 dixaines.

En 2878 combien de fois 869 ? ou en 28 centaines combien 3 centaines ? en tâtonnant comme ci-dessus, nous trouvons qu’il y est contenu 7 fois; nous posons 7 au quotient à droite du 6, nous multiplions 369 par 7 dont le produit est 2583, que nous retranchons de 2878, et nous avons pour 8e reste 295, à côté duquel, nous abaissons les 2 unités du dividende, et nous n’avons qu’à savoir combien de fois 2952 contient 369 ; nous voyons qu’il le contient juste 8 fois, nttendu que 8 fois 369 font 2962, nombre égal au dernier dividende, et par conséquent le 4e reste est 0.

De sorte que le quotient cherché est 4578, ainsi qu’on peut s’en assurer en multipliant ce nombre par le diviseur.

Dans la pratique, on n’écrit que les chiffres nécessaires à la formation des dividendes partiels.

Exemple. 3e. 925.6.8. | 456 ‘ 000 2038

Le 1er dividende partiel 925 contenant 2 fois le diviseur 456, on pose 2 au quotient, on multiplie 456 par 2, et au lieu d'écrire le produit, comme nous l’avons fait ci-devant, on le retranche immédiatement, en disant : 2 fois 6 font 12, 12 de 5, on ne peut ; j'emprunte 1 qui vaut 10 et 5 font 15, 12 de 15 reste 3, que je pose sous le 6 et retiens 1 (24 . 25) ; 2 fois 5 font 10, et 1 retenu valent 11; 11 de 2, on ne peut ; j’emprunte 1 qui vaut 10 et 2 font 12; 11 de 12 reste 1, que je pose sous le 2 et retiens 1 ; 2 fois 4 font 8 et 1 retenu font 9 ; 9 de 9 égale O.

À côté du reste 13, on abaisse les 6 dixaines du dividende, ce qui fournit le 2e dividende partiel 136 ; mais 136.ne peut pas contenir 456, ce qui prouve que le quotient ne doit pas avoir de dixaines ; alors il faut mettre un 0 au quotient à droite du 2, et ensuite abaisser les 8 unités du dividende, ce qui donne 1368 pour 3e dividende partiel, lequel contient 3 fois le diviseur, et il ne reste rien.

Quand on est obligé d'emprunter 2, 3, 4, etc. on sait qu’ils valent 20, 30, 40, etc.

Les raisonnemens précédens conduisent à cette règle générale : Pour diviser un nombre par ur! autre, on place le diviseur à droite du dividende, en les séparant par une ligne verticule ; on en tire une autre horizontale sous le diviseur pour le séparer du quotient ge l’on écrit dessous. On prend sur la gauche du dividende assez de chiffres pour contenir le divisenr ; on cherche . combien de fois cette partie du dividende contient le diviseur, et l’on écrit sous le diviseur le chiffre qui indique ce nombre de fois. On multiplie le diviseur par ee chiffre, en écrivant le produit sous le dividende partiel ; après avoir fait

28 ARITHMETIQUE la soustraction, un abaisse à droite du reste, le chiffre du dividende qui suit la partie déjà divisée, ce qui donne un 2e dividende partiel, sur lequel on op-e de ls même manière que sur le premier ; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu. ait abaissé tous les chiffres du dividende. Si, après avoir multiplié le diviseur par le chiffre qu’on a mis au quotient, le produit était plus fort que le dividende partiel, ce serait une preuve que ce chiffre est trop fort, et il faudrait l’effacer pour y en mettre un autre. Si, au contraire, le reste de la soustraction était plus fort que le diviseur, ou s’il lui était seulement égal, on conciurait que le chiffre mis au quotient est trop petit, et il faudrait en conséquence l’augmenter. Lorsqu’après avoir abaissé un chiffre, le dividende partiel est trop petit pour pouvoir contenir le diviseur, avant d’abaisser un autre chiffre, il faut mettre un 0 au quotient, afin de conserver aux chiffres trouvés précédemment le rang qu’ils doivent occuper.

1re Question.—Combien 684 mois font-ils d’années ?

Réponse : Puisque une année se compose de 12 mois, il est clair qu’il y aura 12 fois moins re que de mois : il faut donc trouver un malle 12 fois plus petit que 684, c’est-à-dire, décomposer 684 en 12 uen égales : en ane termes, il s’agit de chercher le nombre qui, multiplié par 12, donne

Ainsi, en divisant 684 par 12, on trouve 57 ans.

2e Question.—27 aunes de drap ont été payées 405 francs ; cumbien cela fait-il par aune ?

Réponse : Si l’on connaissait le prix d’une aune, on voit qu’il faudrait répéter papes 27 fois pour avoir 405 fr.; or connaissant le produit, 405 et le facteur 27, il est facile de trouver l’autre facteur. nié