DE LA DIVISION

26. La division est une opération par laquelle, un produit et Pun de ses facteurs étant connus, on peut trouver Pautre facteur.

Le produit donné prend le nom de dividende, et le facteur connu se nomme diviseur. Le résultat de lopération, ou le

facteur cherché, est appelé quotient. en Nous remarquerons que la division n’est pas autre chose que tail

la soustraction; car, au moyen de la soustraction, on peut faire #} dei toute sorte de divisions, comme on peut faire la multiplication par 4 qu laddition, ainsi que nous l’avons demontré. De sorte que, Parith- 4 ne métique se réduit, à proprement parler, à deux opérations fonda- 4} de mentales. tip Soit proposé de diviser 6 par 2 : 6 étant un produit, ei ? l’un je des. facteurs, il s’agit de trouver le ::mbre qui, multiplié par ?, re donne 6 au produit; en d’autres teriies, c’est chercher combien ch de fois il faut ajouter l'unité à 2, pour avoir 6. y'a % en

* Cette démonstration est nouvelle, mais je la erois fort utile. 0 né

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y avait pas de

4 ans avant l« ssi avant J. C.;

2000 lieues ; 5000 ‘

7000 lieues.

produit et e facteur.

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RAISONNEE. 23

Or, d’après ce que nous avons dit (24), il suffit de chercher æombien de fois 2 est contenu dans 6 ; à cet effet, on retranche d’abord 2 de 6, ce qui donne 4; on ôte 2 de 4, le reste est 2 ; et enfin, 2 ôté de 2 reste 0. Après avoir Ôté 3 fois deux de 6, on voit qu’il ne reste plup rien, d’où lon conclut que 6 contient 3 fois 2, donc, le quotient cherché est 3.

Cet exemple peut s’appliquer à tout autre nombre ; mais ce calcul devenant fort long, quand le diviseur est contenu un grand nombre de fois dans le dividende, voici la manière de simplifier l'opération.

5688 à diviser par 6 : il faut trouver un nombre qui, multiplié par 6, donne pour produit 5688. Ici, le nombre demandé ne peut pas avoir des mille, car 1000 x 6 donnerait 6000, et le dividende n’a que 5688 ; donc le quotient cherché doit avoir moins de 4 chiffres ; mais il peut avoir des centaines ; en effet, 6 x 100 donne 600, nombre plus petit que 5688 ; par conséquent, le nombre qu’il faut multiplier par 6, pour avoir 5688, se trouve compris entre 100 et 1000, c’est-à-dire, plus fort que 100, et moindre que 1000, donc il se compose de 3 chiffres.

Ainsi, après avoir ne l'opération de la manière suivante :

Dividende, 5688 6 Diviseur.

| 54 — | —— | 948 Quotient.

ler reste, 028 ; 2e reste, 048 3e reste, 00

Je commence par chercher le chiffre de l’ordre le plus élevé, en disant : puisque le quotient doit avoir des centaines, ces centaines ne peuvent se trouver que dans les 56 centaines du divi- . dende ; je prends donc 56 pour dividende partiel, et je trouve que ce nombre contient plus de 9 fois le diviseur, mais il ne peut pas le contenir 10 fois, car 10 x 6 = 60, et le dividende partiel n’est que 56 ; je pose 9 au quotient, et je multiplie le diviseur 6 par 9, en écrivant le produit 54 sous 56 : je retranche ce produit du dividende partiel, et je trouve 2 de reste. Ayant trouvé le chiffre des centaines du quotient, il faut chercher, de la même manière, celui des dixaines ; pour cela, j'observe que le 2 de reste provenant des retenues qu’on a faites en multipliant les dixaines du quotient par le diviseur, ce 2 doit nécessairement faire partie du second dividende (25) ; ainsi, à

24 ARITHMETIQUE côté de ce 2, je place le 8 des dixaines du dividende, ce qui donne 28 dixaines ; je cherche combien de fois ce nombre contient le diviseur, et je trouve qu’il y va plus de 4 fois, mais il ne peut pas y aller 5 fois, car 5 X 6 = 30, tandis que je n’ai que 28 ; je pose 4 à droite du 9, et je dis, 4 fois 6 font 24, que j'écris sous 28 ; fesant la soustraction, il reste 4 dixaines, que l’on avait retenues en multipliant les unités du quotient par les unités du diviseur.

Je prends les 8 unités du dividende, et j’ai 48 unités pour nouveau et dernier dividende partiel. 48 contient 8 fois 6, je pose donc 8 unités au quotient ; 6 X 8 = 48 — 48 = 0, ce qui termine l’opération.

Ainsi, d’après notre définition, 6 x 948 doit donner 5688.

Si l’on avait suivi le premier procédé, il aurait fallu faire 948 soustractions, ce qui eût également déterminé le quotient. Mais c’est précisément ce que nous venons de faire ; seulement, au lieu de retrancher 6, puis 6, puis, etc., nous avons retranché tout d’un coup 6 fois 900, ensuit 6 fois 40, et enfin 6 fois 8, ce qui est exactement la même chose, mais plus expéditif, puisque au lieu de 948 soustractions, nous n’en avons fait que 3.

Lorsqu'on a à diviser par un nombre d’un seul chiffre, comme ci-dessus, on abrège encore l’opération, en se dispensant d’écrire les dividendes partiels, ainsi que les restes. Pour trouver le quotient de 5688 par 6, on dit: le sixième de 56 est 9 pour 54, je pose 9 centaines au quotient ; il reste 2 centaines qui valent 20 dixaines, lesquelles jointes aux 8 dixaines du dividende, donnent 28, dont le 6e est 4 pour 24, je pose 4 à droite du 9, et il reste 4 dixaines, ou 40 unités, qui jointes aux 8 unités du dividende font 48, dont le 6e est S, sans reste ; je pose 8 unités au quotient.

2e Exemple. Soit 1689282 à diviser par 369.

En raisonnant comme dans l’exemple précédent, nous voyons d'abord que le quotient doit être compris entre 10000 et 1000, puisque le dividende.est moindre que 369 x 10000, et plus grand que 369.x 1000 ; donc ce quotient doit avoir 4 chiffres ; et, pour le trouver plus facilement, nous serons obligés de faire 4 divisions partielles.

. Remarquons premièrement que diviser est le contraire de multiplier, c’està-dire que, par la division, on défait ce qui a été fait par la multiplication.— Or, pour bien comprendre la division, examinons en détail ce qui arrive quand

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