DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR
35. On appelle plus grand commun diviseur le plus grand nombre qui en divise exactement deux autres.
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RAISONNEE. 57
inèine tems 126 et 336, il est clair que ce nombre ne peut pas étre au-dessus de 126, car, dans ce cas, il ne diviserait pas 126. Mais 126, se divisant lui-même, pourrait être le plus grand commun diviseur, s’il divisait 336. Divisons donc 336 par 126. Le quotient est 2, et il reste 84: 126 n’est donc pas le commun diviseur de 126 et 336. Rappelons-nous que le diviseur multiplié par le quotient, plus le reste, égale le dividende (27).
Ainsi, 126 X 2 = 252 + 84 = 336. Donc, si 84 divisait 126, il diviserait aussi 336, puisque 336 se compose de 2 fois 126 plus 84; dans ce cas, 84 serait par conséquent le commun diviseur cherché ; mais 126 divisé par 84 donne 1 pour quotient et 42 de reste ; donc il n’est pas non plus le commun diviseur. Si 42 divisait 84, il diviserait aussi 126 et 336 ; car 126 = 1 fois 84 + 42; et 336 = 2 fois 126 + 84 (27).
Divisant 84 par 42, le quotient est 2 et le réste, 0. D’où nous coucluons que 42 est le plus grand commun diviseur de 336 et de 126. Si l’on simplifie la fraction 126, en divisant les 2 termes par 42, elle deviendra à.
En général: Pour trouver le plus grand diviseur commun de 2 nombres, on divise le plus grand par le plus petit; si la division se fait sans reste, le plus petit nombre scra le plus grand commun diviseur cherché ; s’il ÿ a un reste, on divise le plus petit des nombres proposés par ce ler reste ; si‘le reste de cette division est 0, le 1er reste est le diviseur cherché ; dans le cas contraire, on divise le ler reste par le 2e, ct si le 3e reste est O0, le 2e est le diviseur demandé.
Enñn, si après avoir continué à diviser les restes successifs les uns par les autres, on parvient au reste 1, il faut conclure que les 2 nombres n’ont pas de diviseur commun, et alors la fraction ne saurait être simplifiée.
Remarque très-utile.—La simplification sert non seulement à réduire les fractions à des expressions plus simples, mais encore à abréger considérablement certaines divisions.
Par exemple, si j’avais 95000 à diviser par 2500, je vois que le dividende ct le diviseur peuvent tous les deux être divisés par 100 ; il n°y a qu’à supprimer deux 0 à droite des 2 nombres proposés (12) ; alors, je n’aurai que 950 à diviser par 25, et le quotient sera exactement le même que celui de 95000 par 2500. En effet, je prends un dividende 100 fois plus petit que le véritable, mais en rendant aussi mon diviseur 100 fois plus petit, il y a compensation, donc les quotient ne doit pas changer. Mais 950 et 25 sont encore divisibles
par 5, de sorte que ma division se réduit à 190 divisé par 5, et le quotient est 38.
