SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

34. D’après ce que nous avons dit au No. 32, on peut exprimer les fractions d’une infinité de manières, mais il est plus avantageux de les écrire par les plus petits nombres possibles ; par exemple, les fractions #, 44, Tr $, 33, sont toutes les mêmes; mais la fraction £ est beaucoup plus simple, parce que le numérateur et le dénominateur étant plus petits, on se forme plus aisément l’idée de la valeur de la fraction.

Soit proposé de simplifier la fraction $$ ; en nous rappelant ce que nous avons démontré (29), nous voyons que les deux termes de cette fraction sont divisibles par 5, et ai nous effectuons cette division, nous aurons -à ; comme les 2 termes de celle-ci sont encore divisibles par 9, il vient À.

Soit encore 398 : divisant les 2 termes par 9, on a 4$, fraction égale à 208, mais plus simple : 12 et 81 sont encore divisibles par 3, et, fesant l’opération, on obtient #4. Les 2 termes de cette fraction n’ayant plus de facteur commun, elle ne peut plus être simplifié ; c’est pour cela qu’on lappelle fraction t1rréductible. %, -7., sont aussi irréductibles.

On appelle nombre premier celui qui ne peut être divisé par aucun autre nombre ; 3, 5, 7, 11, 13, etc. sont premiers entre üuXx.

Observons qu’un nombre divisible plusieurs fois de suite par d’autres nombres, est divisible par le produit de ces mêmes nombres : ainsi 108 et 729 étant divisibles par 9, et ensuite le quotient par 3, ces deux nombres sont divisibles par 9 X 3ou27. C’est une conséquence du No. 23.

Quoique le numérateur et le dénominateur d’une fraction n’offrent aucun des caractères de divisibilité dont nous avons parlé

. (29), on ne doit pas conclure qu’ils ne soient pas divisibles par

un autre nombre ; mais les remarques qu’il faudrait faire pour découvrir les cas où les nombres sont divisibles par d’autres nombres que par 2, 8, 4, 5, 8, 9, étant fort compliquées, et ne pouvant convenir qu’à des cas particuliers, il est bon d’avoir une méthode qui nous fasse connaître le commun diviseur, s’il existe, ou qui nous montre que les 2 termes n’ont pas de commun diviseur, si la fraction est irréductible.