et sc

mplexes, ‘exposer.

et même la ombres enuelques exiltiplication

is, à rai.

dinaires ;:

est clair endre enicrit sous a 300 ch.

coûteront

s donne:

RAISONNEES. ñb

sait 243d. et comme 9d, sont le prix de 1 liv., 8 onces étant À liv. doivent valoir la moitié de 9d. ou 4d. et 4, ce qui ferait en tout 247d. à, et divisant 247 par 12, nous aurions 20 ch. ou £!

et 74d. De plus 9d, êtant les % ou # du ch., il suffirait encore

de prendre les à de 27, etc.

Mais il est plus expéditif de décomposer 9d. en parties aliquotes du chelin, c’est-à-dire en 6d. qui sont 4 chelin, et en 3d. qui en sont le 2 ou i. moitié du 4 chelin : or, 6d. étant la moitié de l’espèce d’unités que nous voulons avoir au produit, nous vrenons la moitié de 27, en disant : la à de 2 est 1 que nous écrivons dessous ; le 4 de 7 est 3 plus 1 ; nous posons 3 sous le 7 ; le 1 qui reste vaut 12d. dont la 4 est 6d. que nous posons à droite des chelins ; de sorte que 27 liv. à 6d. font 13 ch. 6d. I faut maintenant trouver ce que valent 27 liv. à 3d. : il sufñrait. pour cela, de prendre le + de 27, puisque 3d. sont le À du ch. : mais À est la moitié du à, c’est-à-dire que 3d. sont la 4 de 6d. : donc, puisque 6d donnent 13 ch. 6d., 3d. doivent donner la à de ce prix. Disons donc : la moitié de 13 est 6 que nous posons sous 13, et il nous reste 1 ch. qui qui vaut 12d., et les 6d. qui sont à côté de 13 font 18, dont la + est 94. que nous plaçcons sous le6. Enfin il ne nous reste plus qu’à trouver le prix de & onces : considérons que, puisque 1 livre coûte 9d., 8 onces étant. les $ ou le 4 de la liv., le prix de 8 on. doit être nécessairement la + de celui de 1 liv. ; la moitié de 9d. est 4d. +. En addition nant le tout, on trouve 20 ch. 7d. &, ou £ 1. 0. 7. #.

3e. Supposant qu’un minot de blé se paie 3 francs 15 sous, combien paicra-t-on 36 minots ?

36 à 3 francs font . . 108 francs.

36 à 10 sous . . . 18 36 à 5 sous . . . . . 9

Produit . . ,... 135 fr. Réponse.

4e. Combien coûteront 18 livres 4 de thé à 7 francs 17 sous la livre ?

18 liv. à à... 7fr. 17 sous :

iv. à 7 frs. valent . . 126 fr.

à 10 sous ‘ ,.. Produits de 18 par

hs, dos 10 sous. $7f. 178. ou de 7f. 17 EN par 18 (22).

, vaut Produits de À par 7].

à 7f. 178. “ . 17s. ou de 7}, 17 par à.

“Ja 7f 17 valent. 147. 3s. à, produit de 18 3p. 7f. 17s.

5e. S'agit-il de savoir combien coûteront 9 toises, 3 pieds. 4 pouces, 6 lignes d'ouvrage, à £2 4 ch. 6d. d. la toise .

9t. S3pi. 4po. 6 lig.

£2 Ach. 5d. À Produit de 9 toises par 2 louis 18

de do. par4ch. .. 1 16 ch.

de do. parlch. .. 0— de do. par4d. .. 0 3 de do. parlid .. 0 À de do. parid. .. 0 à d.

pour 3 pieds 2 3 pour 1 pied 7— 1}.

pour 4 pouces . . . . . 0 2 g3.

pour 1 pouce C— a —

pour 6 lignes 0 295.

Produit total £ 21 5ch. 14. +}?

Multiplions 9 par 2, nous aurons 18 louis; puis, pour multiplier 9 par 4 ch.,considérant que 4 ch. sont les # ou le + de £ 1, (41) il faut prendre le + de 9 toises, en disant: le À de 9 est £ 1 plus £4 ; nous posons 1 sous 18, et les £ 4 restant valent 80 ch. dont le + est 16 ch., que nous écrivons à droite des louis. (D'ailleurs il est aisé de voir que 9 t. à 4 ch. font 36 ch. ou #1

, 17 sous

:, 3 pieds, Dise .

6 lig.

ur multizde£1.

- de 9 est nt valent des louis.

.ou£1

RAISONNEE. 67

16 ch.) Maintenant il faut multiplier 9 t. par 6 d. ; nous avons plusieurs moyens de le faire : d’abord, 5 d. étant les 7 du chelin, si nous connaissions le produit de 1 ch., nous n’aurions qu’à en prendre les -# pour avoir celui de 6d. ; cherchons donc pour 1 ch. en disant : puisque 4 ch. donnent £ 1 16 ch., 1 ch. donnera le } de ce prix ; or, le À de 1 n’est pas ; mettons 0 sous 1 ; ce 1 valant 20 ch., et 16 ch. font 36, dont le + est 9 ch. (il faut avoir soin de barrer les chiffres de ce produit, afin de ne pas les faire entrer dans l’addition.*

Mais à présent, au lieu de prendre les -# de ce produit, décomposons 6d. en 4d. plus 1d. ; ayant le prix de 1 ch. ilest facile d’avoir celui de 4d., puisque 4d. sont les +“; ou le à du ch. ; ainsi le à de 9 est juste 3 ch. ; pour 1d., il n’y a qu’à prendre le À du produit de 4d. : le ? de 3 ch. est 0 ; les 3 ch. valent 36d. dont le + est 9d. Il nous reste encore à multiplier 9t. par àd., ce qui est bien facile: puisque nous avons le produit de 1d., prenons-en la moitie, qui est 4d. À.

Jusque là nous avons multiplié 9 t. par 2 louis 4 ch. 6d. 4, ou, ce qui est la même chose (22), nous avons multiplié 2 1, 4 ch. 5d. À par 9t.

Il nous reste à multiplier par 3 pieds 4 pouces 6 lig. : à cet effet, considérant que 3 pieds sont la À de la toise, prenons la moitié de 21. 4 ch. 5d. À, qui sont le prix d’une toise, et nous aurons le prix de 3 pieds :

La À de 21. est 1, que nous plaçons à la colonne des louis ; la + de 4 ch. est 2, que nous écrivons pareillement sous les ch. ; la À de 5d. est 2, plus un penny ; nous posons 2 à la colonne des pen., et il nous reste 1d. qui (39) vaut $, et le & qui se trouve à côté de 5d. font (37) 3, dont la moitié (31 et 46) est 3 de penny.

Actuellement il faut multiplier par 5 pouces ; pour le faire plus facilement, formons un produit auxiliaire, comme nous l’avons fait précédemment, c’est-à-dire, cherchons le produit d’un pied, en prenant le À de celui de 3 pieds : le à de 1 est ( ; 1 louis vaut 20 ch. et 2 font 22 ch. dont le à est 7, plus 1 ch. qui vaut 12d.,

* Les Arithméticiens appellent cela un faux produit, mais il me semble que l'expression produit auxiliaire est préférable.

68 ARITHMETIQUES

et 2 valent 14; le } de 14d. est 4, plus 2d. qui valent $, et 2 font 3}, dont le 4 est 1. Au moyen de ce produit de 1 pied, qu’il ne faut pas oublier de barrer, nous aurons le produit de 4 pouces, en prenant le À de ce produit auxiliaire ; en etfet, 1 pied vaut 12 pouces, donc 4 pouces sont les -*; ou le 4 de 1 pied. Ainai le + de O est 0 louis ; le à de 7 ch. est 2, plus 1 ch. qui vaut 12d. et 4d. égalent 16, dont le + vaut 6d. plus 1d. qui, réduit en fraction de celle qui vient après, vaut 13, et LE font ?à dont le à égale #5.

Enfin, il faut encore trouver le produit de 6 lignes : Si nous avions le produit d’un pouce, il suffirait d’en prendre la moitié, par avoir celui de 6 lig., puisque 6 lig. sont la moitié d’un pouce ; formons donc encore le produit auxiliaire de 1 pouce ; en presant le à du prix de 4 pouces : le À de 0 est 0 louis ; le À de 2 ch. est encore 0, mais 2 ch. valent 24d. et 5d. font 29, dont le À. est 7d., plus 1d. valant $£ et $% égalent #2, dont le À vaut -#°r. La À de 9 égale OI. ; la + de 0 égale 0 ch. ; la 4 de 7 est 3d., reste 1d. qui vaut +$# et fr font $5 dant la 4 vaut 223.

En additionnant selon les règles données (37 et 63), on trouve £21 6 1.43. Cette fraction vaut à penny et #, de penny, car elle peut être décomposée en +5 plus +55 et +5 = 4.*

6e. Si 18 toises d'ouvrage coûtent 1 louis, combien en fera-ton faire pour la somme de 36 louis, 12 ch. 3d.?

Presque tous les auteurs ont dit qu’il fallait prendre, pour multiplicande, le nombre qui exprime l’espèce d’unités que l’on veut avoir au produit, mais cette préférence est tout-à-fait inutile, ou le principe du No. 22 serait faux.

Ainsi multiplions 13t. par 36 1. 12 ch. 3d. ou vice versa, ei

* Dans la pratique, on ne calcule pas aussi rigoureusement les fractions ; on ne met que des :, des #, des } ou des + au plus, en ayant soin, lorsqu'on néglige quelque chose d’une fraction, de donner un peu plus de valeur à un autre. afin d'établir une compensation approximative.

nté,et3 le 1 pied, luit de 4 et, 1 pied > 1 pied.

1 ch. qui

qui, ré- + font 2

Si nous la moitié, n pouce ; ; en pre- > À de 2 dont le 1 aut re

on trouve

enny, Car +

en fera-t-

icande, le mais cette

ersa, el

tions ; on qu’on néun autre.

RAISONNEE,

hous aurons le même produit : rappelons-nons seulement que ee sont des toises que nous cherchons ici.

£ 36 12ch. 3d.

13t, ‘’roduit de 13 par 36 1. { + vé aps — > à Do. par 10 ch. . ... 6 3 0 0 0 Pour 2 ch... .. 1 1 9 7 2 $.

Pour 1ch..... O—— 3— 10— D— 7 3, Pour 3d. .... 0 (0 11 8 4 $f.

Re St eee Rene ee ES De + RMS CNRS OR MERS Re ne

Réponse ... 475t. pi 9pou. 31. 7Tpts. x.

On multiplie d’abord 36 par 13 ; ensuite, pour multiplier 13 par 12 ch., on prend la 4 de 13, en disant : la 4 de 13 est 6, plus une toise qui vaut 6 pi., dont la à est 3 pi. : ces 6 t. et 3 pi. sont le produit de 10 ch. puisque 10 ch. sont la à du louis. Il reste donc à prendre pour 2 ch., lesquels sont le + de 10 ch. : ainsi le + de 6t. est 1, plus 1 t. valant 6 pi., et 3 pi. font 9, dont le + est 1 pi., plus 4 pi. qui valent 48 pouces, dont le + est 9 pou., plus 3 valant 36 lig., dont le + est 7 li., plus 1 li. qui égale 12 points, dont le + vaut 2 pts., plus £. Il faut maintenant multiplier par 3d. : pour le faire avec plus de facilité, on forme un produit auxiliaire, en cherchant pour 1 ch., et pour cela, il suffit de prendre la moitié de ce qu’ont donné 2 ch.

La } de 1t. est de Ot. ; cette toise égale 6 pi., et 1 pi. font 7, dont la 4 égale 3, plus 1 pi. qui vaut 12 pou., et 9 font 21 pou., desquels prenant la à, on a 10, et 1 pou. de plus, qui, réduit en lig., donne 12, et 7 font 19 li., dont la à donne 9, et 1 de reste qui vaut 12 pts., et 2 valent 14, et la 4 de 14 égale 7 sans reste ; la À de Z égale +. Barrons ce produit auxiliaire et prenons-en le à, ce qui donnera pour 3d., ruisque 3d. sont le À de 1 ch. : le À de Uest 0 t. ; le À de 3 est O pi., reste 3 pi., qui valent 36 pov., et 10 font 46, dont le À est 11 pou., et il reste 2 pou., lesquels valent 24 li., et 9 font 33, dont le À est 8 pou., plus 1 qui vaut 12 pts., et 7 égalent 19 ; le 1 de 19 est 4 points, plus 3 qui valent

!# et + font !ÿ* dont À vaut #. En additionnant, on trouve 475 t. 6 p. 9 pou. 3 li. 7 pts. +.

Quelque compliquées que soient ces sortes d'opérations, en raisonnant comme nous venons de le fuire dans ces sept exemples, il n’y a pas un cas qui puisse embarrasser l’homme le moins exercé et le moins habile ; c’est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur la multiplication.