ftaaotité de chaleur foomle on dépensée* — Lorsque par le
fait de son contact avec une source de chaleur, un corps passe du volume Vo au volume v en exerçant constamment sur le milieu ambiant une pression égale à celle de ce milieu, le travail exlé* rieur produit est représenté par Tintègrale,
/ pdv,
JVq
p et 17 étant la pression et le volume à un instant quelconque.
Soient Uq, U, les chaleurs internes au commencement et à la fin de réchauffement, soit Q la quajitité de chaleur fournie pendant réchauffement.
Si réchauffement n'était accompagné de la production d'aucun travail extérieur, la chaleur fournie par la source ne serait autre chose que l'accroissement de la chaleur interne. On aurait évidemment :
Q = U-[Jo.
Mais, comme il y a production d'un travail.
1 pdv,
il y a nécessairement disparition d'une quantité de chaleur
Jvq
qui ne peut provenir que de la source. Cette dernière devra donc lournir non-seulement : 1® la quantité de chaleur (U — Uo) nécessaire pour amener le corps dans son nouvel état (p, v), qui comporte une chaleur interne égale à U, mais encore : 2° lu quantité de
chaleur A i pdv nécessaire pour produire le travail 1 pdv qui
accompagne le passage de l'élal (p^, vj à l'élat (p, v).
Seulement, tandis que la première quantité de chaleur (U — UJ est constante et ne dépend que des circonstances initiale et finale
du changement d'état, la seconde partie A | pdv variera avec
J Vo
les circonstances intermédiaires du changement d'état.
s MËGANIQUE INDUSTRIELLE.
Mais on aura dans tous les cas :
Q=U-UoH-A
Jpdv, (3)
Si le corps passe d'une température t à une autre température (t + dt) infiniment voisine et par suite d'un état (p, v) à un état infiniment voisin (p -f- dp, v -\- dv), Téquation précédente devient différentielle, et Ton a :
dQ=dV-hkpdv, (4)
équation qui, en y remplaçant dU par sa valeur (éq. 2), peut encore s'écrire :
Cette dernière équation n'est pas inlégrable, car les dérivés secondes des coefficients de dp et de dv sont respectivement :
TT ^' ( JIT "*" ^ ) ' ^^^ ^^"^ fonctions ne peuvent être égales
comme l'exigeraient les règles du calcul différentiel à moins que A = 0, condition impossible. Donc Q ne peut pas être exprimé en fonction des valeurs initiale et finale de p et de v. Ce résultat n'a rien d'étonnant, puisque nous avons vu que Q dépend précisément des circonstances intermédiaires du changement d'état lesquelles peuvent être quelconques.
Introduisons maintenant dans l'équation (5) les données ordinaires de la physique, à savoir les chaleurs spécifiques à pression constante c et à volume constant c^. Lorsqu'un corps s'échauffe de ( à f -1- d^ en conservant son même volume, il n'y a pas de travail extérieur produit. L'équation (3) nous donne en y faisant dv = 0,
dQ
D'un autre côté, la chaleur fournie, d'après la définition de la chaleur spécifique à volume constant, n'est autre chose que :
Cidtm
On a donc :
d'où
-7-| désigne la dérivée partielle de t par rapporl à /;.
Si, au contraire, le corps passe de la température t à la température (t + dt) sous une pression constante, on doit faire rfp = dans l'expression deQ et il vient :
En vertu de la définition de la chaleur spécifique à pression constante, la chaleur fournie par la source sera :
cdt.
On aura donc :
cdtz=
d'où l'on tire
(f)-*-»fë)- (')
-ï- désigne la dérivée partielle det par rapport à v.
Les équations (6) et (7) substituées dans l'équation (5) ;
donnent une seconde expression de dQ :
8. Éliiiiiiia«ion deu. — En éliminant U entre les équations (C)et (7), on est conduit à une formule importante pour les gaz permanents.
J'écris ici les deux équations :
Différenlions par rapport à v la première de ces équations et par rapport à p la seconde.
Le premier membre de Féquation (6) donnera
^dpdvj
et le premier membre de l'équation (7).
\dvdpj '
Retrancliant Tune de l'autre et membre à membre, les deux équations différentiées, il viendra :
dH dpdv
^(lc\ /dt ,dp) [dv
^dc;
dv
dt
Fig. 5.
équation qui ne renferme plus que la température et les chaleurs spécifiques et qui est applicable à tous les corps.
9. Heuxième principe de la (liéorie mécaniqiie de la ebalear. —
Avant d'énoncer le second principe de la Ihéorie mécanique de la
chaleur, montrons comment on peut donner une représentation géométrique du travail mécanique.
Sur l'axe des abscisses OY (fig. 3), portons les volumes, et prenons pour ordonnées les pressions.
11 est clair que si le contour acbd représente l'évolution complète d'un corps qui se dilate du volume OA au volume OB pour reprendre finalement son volume OA, le travail produit sera représenté par l'aire du contour fermé acbd.
Le travail sera compté positivement lorsque l'évolution suivra le sens (le la flèche ov et négativement quand elle suivra le sens de la flèche o'v\
Ceci posé, un corps de volume oA (fig. 4) et de température t esl mis en conlact avec une source de chaleur qui entretient sa température constante à t pendant qu'il se dilate de OA à OB. Soit Q la quantité de chaleur fournie par la source»
Fig. 4.
On laisse ensuite le corps se dilater librement sans addition ni soustraction de chaleur jusqu'à ce que son volume devienne OC. Sa température s'abaisse à t^.
A ce moment, on met le corps en rapport avec une source de chaleur à cette même température t^ et on le comprime de façon à réduire son volume à OD, sa température restant constante et égale à ^o ; une certaine quantité de chaleur Q' passera dans la source.
Enfin, on continue la compression sans addition ni soustraction de chaleur de manière que le volume revienne 5 sa valeur primitive OA. La température s'élève et remonte à ^
Le corps a ainsi accompli ce que nous nommerons une évolution complète. Il est clair que le travail produit dans cette évolution est représenté par l'aire T du quadrilatère curviligne abcd. D'un autre côté, le corps a enlevé à la source supérieure une quantilé de chaleur Q
Il a restitué à la source inférieure une quantité de chaleur Q'
Il a donc disparu une quantité de chaleur. .
Et d'après le premier principe de la théorie mécanique de la chaleur, on doit avoir :
