Q-.Q'=:AT

Le second principe fondamental va plus loin. Il exprime que le rapport des quantités de chaleur Q, et Q' reçue et transmise est indépendant de la nature du corps et ne dépend absolument que de la température. En voici l'énoncé :

Deuxième principe. — LorsqiCun corps est mis successivement enrapport avec deux sources de chaleur, Vune à une température supérieurei^ Vautre à une température inférieure t^^sa température restant constante et égale à celle de chaque source pendant toute la durée du

contact^ et le corps ne recevant ni ne perdant de chaleur en dehors de son contact avec les deux sources^ le rapport de la quantité de chaleur Q fournie par la source supérieure, à la quantité de chaleur Q' transmise à la source inférieure est indépendant de la tiature du corps et ne dépend que des températures t et (^ des deux sources (*).

Il esl impossible de donner de ce principe une démonstration rigoureuse. Il faut donc le considérer ainsi que le premier principe comme un postulatum dont Texactitude est d'ailleurs confirmée par l'expérience dans les conséquences qu'il fournit.

Nous allons en déduire une équation imporianle.

Supposons que l'écart de température entre les sources soit infiniment petit. Leurs températures seront t et t -h dt. Considérons d'ailleurs, au contraire de ce que nous avons fait jusqu'à présent, la température t et le volume t; comme les variables indépendantes

, et déterminantes de l'état du

corps.

La pression p sera une fonction de v et de ^

On aura toujours :

Q-Q' = AT. (10) r T est ici l'intégrale de r^ à r

Kig. 5.

des aires élémentaires telles que ef(l]g, 5). Or si l'ordonnée Ee esl égale à p, Ef représente ce que devient la pression p lorsque le volume, restant constant, la température éprouve un accroissement df, fe mesure donc l'accroissement différentiel :

OÙ (~ ) représente la dérivée partielle dep par rapport à ^ L'équation précédente pourra donc s'écrire :

«-«■=*x:(af)""»="/:(;i)*-

en faisant sortir du signe / la variable indépendante dt.

(•) Clausius a cherché à établir ce deuxième principe en se fondant sur l'axiome suivant : Im c/ialeur ne peut panser delle-nième d'un corps froid sur un corps chaud Cet axiome n'est pas absolument évident.

Q' représente la quantité de chaleur nécessaire pour entretenir à t degrés la température d'un corps qui se dilate de v^ à v, par conséquent Q' est une fonction de la température (, de la nature du corps, et des volumes v^ et v. Nous poserons seulement :

les variables i;^ et v étant implicitement contenues dans F.

D'après cela Q n'est autre chose que ce que devient Q' quand on change t ent -\- dt^ on aura :

Q = F{l^dt)=:z¥(t)-^Y'(t)dL Le rapport ^,, sera donc :

D'après le deuxième principe fondamental j^p est indépendant de

la nature du corps et n'est fonction que de la température. On a par suite les transformations suivantes :

et 1 équation (H) devient :

d'où Ton lire :

Nous pouvons poser d'après ce qui a été dit plus haut :

9 (t) étant une fonction de t qui est la même pour tous les corps, d'où :

<'=«')i:(sf)^-

Dans cette équation, (ï est la quantité de chaleur nécessaire

pour maintenir invariable la température t du corps pendant qu^il se dilate du volume v^ au volume v.

Supposons maintenant que la différence (v — v^) devienne infiniment petite et égale à dv, Q' deviendra égal à dQ, Q étant la quantité de chaleur nécessaire pour entretenir kth température d*un corps dont le volume augmente de dv, et on aura l'équation différentielle du premier ordre :

./Q = A.(0(|]rfr. (12)

Telle est l'équation que nous avions en vue et qu'on pourrait appeler l'équation différentielle du deuxième principe fondamental.

10. Calcul de la fonction 9 (t). — La fonction o {t) pcut recevoir diverses formes.

Dans l'équation (12),

Q représente la quantité de chaleur nécessaire pour entretenir la tempéralure constante. Si dans l'équation (1),

on fait dt=0, on trouve :

Or l'équation (8) donne :

'^Q=c.(|)r/;, + cg,)rf«.

Remplaçons dans cette équation dp par sa valeur tirée de l'équation (15).

'dt\

\dp)

Nous aurons :

dQ = (C'"C,)(^yv. ((4)

En outref ^j dans l'équation (12) représente la dérivée partielle

àep par rapport à t, quand t; eslconslanl, si l'on fait dv = Odans l'équation {i),on tire :

dp\ i

Par suite l'équation (12) peut s'écrire :

égalant les volumes de dQ dans les équations (14) et (15), il vient :

équation qui permettra de calculer o (t) avec les données de la physique.

Reportons-nous enfin à l'équation (9) et supposons qu'on l'ap* plique à des corps dont les chaleurs spécifiques c et c^ soient indépendantes, la première de la pression, et la seconde du volume comme cela a lieu, par exemple^ pour les gaz permanents. Dans ces

conditions, l-r-j et (-r-M sont nuls et Téqualion (9) se réduit & :

Si l'on divise l'équation (16) par l'équation (17) membre à membre, on trouve la relation suivante :

/(h\ Idt^

\dpj \dv, \dpdv)