CHAPITRE X
99. Équation qid donne la vitesse 4*éeoaleuient d*nne vapenr. —
Reportons-nous à l'ëqualion (163), nous avons démontré que la vitesse d'écoulement d'un fluide à travers un orifice en vertu des différences de pression po et p du réservoir supérieur et du réservoir inférieur, est donnée par Téquation
w' . Uq— U4-Q Tg=P^'o-pv-^ Â
Uq désignant la chaleur interne de l'unité de poids du fluide dans le réservoir R^ ;
U, celle chaleur interne dans le réservoir R ;
Q, la chaleur qui a été transmise au fluide dans son passage à travers Torifice.
Nous avons démontré que, quand il s'agit des gaz, cette quantité de chaleur Q peut être considérée comme nulle parce que l'écoulement a lieu trop vite pour que les parois puissent exercer une influence appréciable sur leur température. Cette conclusion est évidemment applicable aux vapeurs. Nous aurons donc pour Téquation de l'écoulement des vapeurs à travers un orifice :
^g=^PoVo-pv-h'^j—' (166)
Nous pouvons toujours confondre le volume de la vapeur sèche avec le volume de la vapeur humide, parce que la proportion de liquide contenue dans une vapeur humide ne modifie pas sensible-
iTient son volume, par conséquent, conformément aux notations adoptées dans les chapitres III et V, relatifs aux vapeurs, nous remplacerons
Vo pnr w^^o, .
V par w.r,
jc^ et X désignant les proportions de vapeur sèche contenue dans 1 kilog. de vapeur humide. Il viendra donc :
w^ Apo Uff.TQ — A pur -H Uq — U
Supposons qu'il s'agisse de la vapeur d'eau, on a (équation 41) :
\\ — j^ " Idt -f- (ro — A Pq f/o) .< 0, r = / ldt-\- [r — Apu)x,
To et r désignant les chaleurs de vaporisation aux températures fo et ty l'équation précédente se modifiera ainsi :
w^ (.''^dt-hror.-rx
Telle est l'équation fondamentale de l'écoulement des vapeurs à travers un oriGce. Dans cette équation, ^el t sont les températures de saturation correspondant aux pressions p^ et p des réservoirs supérieur et inférieur.
100. IntroduetloD daas Téqaatlon (iOV) de la loi d« la détente des vapeoni. — Vormale définitive. — NouS avonS démontré
(page 45) que quand une vapeur se détend sans addition, ni soustraction de chaleur et en exerçant constamment une pression égale à sa propre force élastique, on a entre les températures initiale et finale et les fractions de vapeur sèche x^ et x contenues dans la vapeur initiale et finale, la relation (44)
j:^^ •'•o'^o„^ no hH^ ^j^j^.
On peut supposer la capacité calorifique de Teau constante entre
les limites de température t^ et f, par suite 1 équation (44; donne, par Tintëgration,
On en déduit :
Portant cette valeur dans l'équation (167) et remplaçant / Idt par l(to — t)yOm
■| = lh"'^-^'<'»-'^ -/(a + t)Iognep^]. (168)
Tout est connu dans ce'le équation, par conséquent elle donne la valeur exacte de la vitesse d'écoulement de la vapeur à travers un orifice, mais elle est susceptible d'une simplirication importante. En développant le logarithme népérien en série, on a :
/(fo-0-/(a4-01ognep(^^'
='îT-;[5<''-')-s(ïtÎ)I'--'>+-}
Sous cette forme, on roconnalt que le terme r^ x^ - — - a une
influence prédominante dans l'érjuation (168), car la quantité à lui ajouter est plus petite que
'l^xi(^-0.
Or /=i environ :
et r^o est beaucoup plus grand que —ô~; on peut donc réduire la parenthèse au terme en r^^, et écrire :
ÉCOULEiMENT DES VAPEURS. 277
Celte équation très-simple donnera la vitesse de la vapeur avec une approximation d*autanl plus grande que les températures t^ et t seront plus rapprochées.
L'erreur relative commise sur la valeur de w* en adoptant la formule (169) sera plus petite que
JQ—t
11 est rare que la chute (t^ — t) dépasse 50® ; r^ = 500 environ, Xo ne descend pas au-dessous de 0,80, par conséquent l'erreur commise sur w* en employant la formule pratique (169) au lieu de la formule plus exacte (168) ne dépassera généralement pas
2x500x0,80"" IG*'*
L'erreur sur w ne dépassera pas ^.
101. Erreur eominfaie en employant la formule usuelle. — Jusqu'à présent, les traités de mécanique ont donné pour formule de l'écoulement de la vapeur, la formule
où />o et p représentent les pressions initiale et finale, et 3 le poids spécifique de la vapeur à la pression p^* poids spécifique qu'on calcule au moyen de celui qui correspond à lOO"" en admettant Texactilude de la loi de Mariotte :
ce qui donne pour =|- :
Cette formule donne des résultats très-inexacts lorsque les pressions po et p diffèrent notablement. Supposons, par exemple, la vapeur sèche sortant d'une chaudière à 5 atmosphères et s'écoulant dans l'atmosphère :
to=152s22, < = <00o, a = 275«,
278 MÉCANIQUE INDUSTRIEIXK.
On aura
Par suite, la formule (169) donne :
w = 699 mètres à la seconde.
En calculant la vitesse par la formule usuelle, on aura
d'où l'on tire
10 = 505 mètres.
Cette vitesse esl, comme on le voit, très-inférieure à la réalité.
