Ëeoalemeni d'un y** 4<^ conserve une température eon
■tnnte. — Si le gaz,en passant d'un réservoir à Tautrc, a conservé une température constante, la loi de Mariollc lui est applicable, et Ton a
pv — Pq Vq = Il (a -h Q . (1 55 j
Par suite l'équation (155) se réduit à
Or, l'équation (155) donne
donc
MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
fpdv= /
^di; =;;,!;„ lognep-
et par suite
ou encore
= /'o^'olognep^^
w«==2(/H(a-f-«o)*ognpp^.
Pour que la température de l'air soit restée constante pendant son écoulement, il faut évidemment que Tair ait reçu delà chaleur du dehors pendant la durée du phénomène.
En effet, il y a eu production d'une force vive g-, et les travaux
mécaniques pjo^ et pv, des deux pistons Po et P se sont compensés,
par conséquent, la production de la force vive ^ n'est pas due
à un travail extérieur. Elle n'a pas été créée davantage aux dépens de la chaleur interne du gaz, puisque la température de ce gaz n'a pas changé et que la chaleur interne d'un gaz permanent est toujours la même à la même température. Par conséquent il y a eu, pendant l'écoulement, fourniture d'une quantité de chaleur
A^-- = A;V'ol^Snep^.
qui a été transmise au gaz par les parois de l'orifice.
La formule (156) ne saurait donc convenir, qu'au cas de l'écoulement d'un gaz par de petits orifices chauffés extérieurement, entretenus à température constante, et communiquant avec des réservoirs supérieurs et inférieurs entretenus également à la même température.
11 est intéressant de savoir quel serait rabaissement de température du gaz qui compenserait la chaleur fournie du dehors pendant Técoulenient. Soit t le degré auquel s'abaisserait la température du gaz, pour que sa chaleur interne diminuât précisément
de la quantité de chaleur fournie du dehors, soit c^ la capacité calorifique du gaz à volume constant ; nous écrirons :
d'où
q(fo— t) =: AR(a -f- *o) lognepft.
to—t=--(a-\-to) lognep ^X
remplaçant pour Tair R par 29,27 ; mettant ^^^ pour A ; 0,1685 pour Cj, il vient :
to—l== 0,41 (a H- to) lognep^?.
Supposons, par exemple, p^ = 5 atmosphères, p =1 almosphëre, ^o = ^^0, on trouvera :
io— ^=244",7.
La chaleur à fournir du dehors correspond donc généralement à un grand nombre de caloiies ; la faible conductibilité des gaz, et la rapidité avec laquelle se fait lécoulement, sont autant de causes qui empêchent le plus souvent d'admettre comme exacte Tapplication de la formule (154) pour Técoulement des gaz.
Le cas théorique de l'écoulement à température constante pourrait être réalisé par un orifice qui serait échauffé par une source de chaleur extérieure. C'est donc Tinverso du premier cas examiné.
95. Éconlement 4'iia s*> ^ travers on orldec sans ad^ftion id
aonstraetion de chaiearé — Si Ton se reporte au chapitre II (équation 26), on verra que la pression et le volume d'un gaz qui se détend sans addition, ni soustraction de choleur sont liés entre eux par la relation
k étant le rapport des capacités calorifiques c et c^, à pression constante et à volume constant
fc = l,4l.
260 MÉCANIQUE INDUSTRIËLLEi
De cette équation, on déduit :
Portant cette valeur dans Tintégrale
f pdv,
de Péquation (153), il vient :
. Po^o ( ^ 1 \
Or, de l'équation
on tire :
fc-i
p,t;,— py = p.ro \\ — \^ J
En réduisant l'expression de ^, on obtient :
Si Ton ne veut faire figurer que les pressions initiale et finale, on écrira :
d'où Ton tire :
et
poVo = pv\
^V Po
Par suite
S=ra^'^'i*-fâ\!'
ÉCOULEMENT DES GAZ. 26i
011 encore, en tenant compte de la relation
Telle est l'équation qui donne la vitesse w dans le cas d'un écoulement sans addition ni soustraction de chaleur. Pour l'écoulement dans le vide, on fera
et on aura
On sait que
A=l,«, P. = 29,27, jf =9,8088.
Par suite
La formule (157) prend une forme très-simple quand on y introduit la température initiale et finale.
On a
k Cl c
et
donc
c — C4 = AR, (éq. 20)
D'ailleurs
*-l AR
Po^o=R(û+0*
pî; = H(a-hi),
On en tire aisément, en divisant les équations deux par deux, membre à membre :
d'où
'M'"*^«:ri, et i-(!^\''''=^j>iiL.
Portant ces valeurs dans l'équation (157), elle donne :
On aurait pu parvenir immédiatement à cette équation, en remarquant que, puisqu'il n'y a ni addition, ni soustraction de chaleur, le travail extérieur des pistons P^ et P
a été employé tout entier à produire la force vive du gaz et à augmenter sa chaleur interne.
Sa force vive est ^ et son équivalent calorifique est
Au;'
L*auginentation de sa chaleur interne est
Ci{t—t,), on a donc pour l'équivalent calorifique du travail extérieur
Or donc :
PoVo — pv = ^{to—t).
Substituant, il vient :
Si Ton remarque que
c — c^ = AR,
on retrouve finalement la formule (160) :
tu* c
Calculons enfin l'abaissement de la température du gaz en fonction de la température initiale et de la pression initiale. L'équation (160) donne :
Remplaçant 3- par sa valeur (159), en faisant
PoV^=\\{a-^Q, et ^ = -, (159)
11 vient :
-=.-4 *«<-".)[' -af]'
ou, après réductions,
e,-.= (a + to)[l~(^j'J.
Cette formule de l'abaissement de température est exaclement la même, ainsi qu'on devait s'y attendre, que celle de rabaissement de température résultant de la détente d'un gaz de la pression p^à la pression p, dans un cylindre imperméable à la chaleur, formule que nous avons donnée sous le n^ 32.
06. Dn ehoix h faire de la formule d'éeoiilciiieni d*iin gax selon
les dreoMitanees. — Trois formules viennent d'être établies :
Yg = 0'o — P)^^^ (^^5)
pour l'écoulement à volume constant;
^ = PoVolognep(^*^, (156)
264 MÉCANIQUE IKDUSTRIëLLF:
pour FëcoBilLement à température constante ;
Irra^^^^i'-(ê) J'
pour Técoulement sans addition ni soustraction de chaleur.
La première formule suppose que le gaz a abandonné de la chaleur aux parois de l'orifice ;
La seconde formule suppose que le gaz a reçu de la chaleur des parois de Torifice ;
La troisième formule suppose qu'il n'a ni donné ni reçu de chaleur.
Dans chaque cas particulier, il y aura lieu de faire un choix de la formule à appliquer.
Si Torifice est entouré dun réfrigérant convenable, la formule (154) aura plus de chance d'être exacte.
Si l'orifice est chauffé par une source de chaleur extérieure, ce sera à la formule (156) qu'il faudra donner la préférence.
Enfin il est aisé de reconnaître que dans la majorité des cas de la pratique, les dimensions de Torifice sont trop étroites, et la vitesse du gaz est trop rapide pour qu'il puisse y avoir échange de chaleur entre les parois de l'orifice et le gaz qui le traverse; par conséquent, c'est la formule (158) qui doit être généralement appliquée.
L'assertion précédente, à savoir que la paroi ne peut pas transmettre une quantité de chaleur suffisante pour qu'il y ait lieu d'en tenir compte, est facile à vérifier.
Soit S la surface de la paroi supposée métallique ; 6 la température de l'enceinte extérieure à la paroi, soit Û la section moyenne de l'orifice, w la vitesse du gaz qui la traverse à la pression p et à la température t^ et soit C la quantité de chaleur par mètre carré, enlevée ou cédée par l'atmosphère extérieure.
La quantité de chaleur traversant la paroi dans une seconde, sera
es.
ÉGOULEMENT DES GAZ. 365
Le poids du gaz qui passera par Torifice dans le même temps,
sera
Sa capacité calorifique à volume constant aura donc pour valeur
\\(a-ht)
La quantité de chaleur fournie par la paroi pourrait élever la température de ce gaz de
^^^CS R(fl4-0 ùw c^p '
Appelons (o le rapport de la section de Torifice à la surface des parois, remplaçons R par sa valeur 29,27, c^ par 0,1685, il viendra :
,,=iZlÇ£±.'. (162)
Les dimensions et la nature de roriiice n'interviennent plus ici que par les coefficienls C et o). 11 est clair que l'élévation de la température sera d'aulant plus grande que Torifice sera plus petit et que les parois de Torifice seront meilleures conductrices de la chaleur.
Un exemple va nous montrer que dans la plupart des cas la quantité de chaleur it n'est qu'une très-petite fraction.
Supposons qu'il s'agisse de la buse d'un haut fourneau travaillant à 15 centimètres de mercure, et lançant de l'air chauffé à 250^. Nous poserons :
f,=:250, Po=12,000S ;> = 10,000.
La formule (158) nous donne
w = 241 mùlres,
et la formule (161)
La température sera donc descendue à environ
Quelle sera la perte de chaleur à travers les parois de la buse?
En appelant R, r les rayons de la buse à ses deux extrémités et h sa hauteur (fig. 49), on h Jr a pour la section de l'orifice de la buse
Wg. 49. gj p^^j. g^ surface
On a donc pour le rapport tù :
irr' 1*"
Soit, en négligeant r au dénominateur,
Supposons
on aura
Quant à la quantité de chaleur enlevée par les parois de la buse, elle a disparu, soit par suite du contact de l'air, soit par rayonnement. Or, si Ton se reporte aux expériences de M. Péclet, on verra que ces deux causes de refroidissement réunies ne peuvent pas enlever par mèlre carré* et par heure à une paroi entretenue fi 220*, Tair extérieur élant à 12*, plus de
1260 calories, soit par seconde,
On fera donc
ÉGOULEMENT DES 6ÂZ. S67
et on aura définitivement, d'après Téquation (162),
Ainsi, tandis que le fait de l'écoulement abaisse la température du gaz de 30'', les parois ne pourraient l'abaisser que de 0%57, c'est-à-dire de 1 1/4 pour 100.
Cet exemple démontre que, dans la grande majorité des cas de la pratique, on doit considérer les parois comme absolument imperméables à la chaleur, et par suite c'est aux formules du troisième cas qu'il faut recourir.
Le frottement des parois^ quand elles sont imperméables à la chaleur^ ne peut pas modifier la vitesse d^ écoulement. — Le frottement des parois agit sur les molécules du gaz comme une force retardatrice, mais il ne peut pas y avoir travail du frottement sans qu'il ^ ait production d'une chaleur correspondante. Or revenons à la formule fondamentale (155) :
Dans cette formule, représente le travail des forces extérieures,
représente le résultat mécanique produit.
Appelons U^ la chaleur interne du gaz dans le réservoir supérieur Ro ;
U sa chaleur interne au moment où il entre dans le réservoir inférieur R ;
Q la quantité de chaleur qui lui a été transmise ou qu'il a cédée dans l'intervalle, c'est-à-dire pendant qu'il a traversé lorifice ;
(Uo — U -h Q) représente la chaleur disparue.
On a nécessairement, d'après le premier principe fondamental de la théorie mécanique de la chaleur :
268 MÉGi^IQUE INDUSTRIELLE.
j étant Téquivalenl mécanique de la chaleur.
Introduisons maintenant dans cette équation le ti'avail du frottement — F, ce travail étant un travail extérieur résistant, sera ajouté au terme p^v^ — pv.
D'un autre côté, ce frottement donnera lieu à une production de chaleur AF qui viendra s'ajouter à la chaleur initiale U^ dans l'expression de la chaleur disparue. L'équalion deviendra :
2'=PoVo — Vv — f-\ — j
F disparaît évidemment de cette équation, et par suite il n'y a pas lieu de tenir compte du frottement dans la formule de Técoulement du gaz.
11 est intéressant de savoir de quel ordre de grandeur est le termeF. D'après les expériences les plus probantes sur Técoulement des gaz dans des tuyaux, on peut dire que le frottement d'un gaz par mètre carré de surface de tuyau développe une résistance égale à
W étant la vitesse à la paroi.
Soit S le périmètre de l'orifice, le Iroltement aura pour valeur par mètre courant :
et son travail mécanique pendant le même temps sera
Or le poids de gaz qui sort de l'orifice par seconde, a pour valeur
Hwp
donc le travail du frottement par kilogramme de gaz aura pour expression :
awp ^ '
ÉCOULEMENT DES GAZ. 2d9
Si Ton appelle p le rayon moyen de la section de Toritice, et l la longueur de l'orifice dans le sens de Técoulenient
Par suite, l'expression (1 64) pourra s'écrire enfaisanlR=29,27 :
tt>' 0,2i5/(a +
^y P P ' Tel est le terme qu'il faudrait ajouter aux diverses équations
qui donnent ^, si Ton voulait tenir compte du frottement contre
les parois de l'orifice sans tenir compte en même temps de la chaleur qu'il occasionne.
Si Ton prend les données du paragraphe précédent,
et si Ton suppose / = 0,10, le coefficient de ^ devient :
0,015 lOUOO '" ""•
La valeur de w subirait par là même une réduction de
soit de 3 1/2 pour 100.
Nous pouvons conclure de la petitesse de ce chiffre que lors même qu'il y aurait lieu de tenir compte du frottement, son influence serait finalement Irùs-petite, à moins que l'orifice d'écoulement ne fût très-allongé.
Mais si les parois sont imperméables à la chaleur, il n'y a pas lieu de tenir compte du frottement, la chaleur à laquelle il donne lieu étant nécessairement utilisé mécaniquement par l'air qui traverse l'orifice.
L'équation (163) subsiste donc dans tous les cas, on a dans cette équation :
pv=:l{{a-ht),
270 MÊCAiMQUE INDUSTRIELLE.
Par suite, elle devient :
OU
Cette formule donne la vitesse d'écoulement pour tous les cas possibles. Il suffit pour la calculer de connaître la quantité de chaleur'Q fournie ou disparue pendant Técoulement.
97 . Applications pratiques des formoles de l'écoideBieiitdes gmm. — Erreur que I on eonunet en appUquant la formule usuelle. —
Les formules de récoulement des gaz à travers un orifice trouvent leur application dans plusieurs appareils industriels, et notamment dans les souffleries de Torges ou de hauts fourneaux.
Pour ces sortes d'appareils, on a l'habitude de supposer le fluide incompressible et d'appliquer la formule de l'écoulement à volume constant (équation 1 54) .
11 est nécessaire de se rendre compte des inexactitudes que peu( entraîner celte manière d'opérer.
La formule applicable à Técoulement à travers une buse est, nous l'avons déjà dit, la formule (158), ou son équivalent la formule (159) :
La formule qu'on applique d'ordinaire est la suivante :
ou
Si nous comparons cette formule à la formule précédente en les divisant membre à membre, nous aurons
Or
k — \ c — Cl
donc
Posons :
et
On aura
w* 1 — (1 — z) vu
La formule du binôme donne :
équation qui, en remarquant que m est plus pelit que 1 , peut se mettre sous la forme :
Tous les termes à la suite de 1 son! nôgatifs. On a, en définitive,
ti/« i
Cette équation démontre que la formule ordinairement employée donne un résultat plus faible qu'il ne convient.
272 NËGANIQUE INDUSTRIELLE.
Pour fixer les idées, nous prendrons l'exemple des paragraphes précédents^ relatif à la buse d'un haut fourneau. Soit
p= 10,000, Po= 12,000.
On aura
D'ailleurs
par suite
Po
vr w
et l'erreur commise en appliquant la formule usuelle, est de 3,30 pour 100.
Cette erreur n'est pas très -grande parce que nous avons pris des pressions p^ etp peu différentes, mais elle deviendrait plus considérable si les pressions différaient notablement.
Par exemple, pour p^ = 2p, on trouverait % = ^ :
tfL = 0,797, ~ = 0,893
et l'erreur atteindrait 11 pour 100.
Concluons de cette comparaison que la formule ordinaire n'est applicable que lorsque les pressions p^ et p diffèrent très-peu, comme cela a lieu dans les souffleries ordinaires des forges ou des hauts fourneaux.
