A PARIS

CniiZ FIRMIN DIDOT, UEUE ET FILS, LIEU AIRES,-

iMnwsiEi'ns DD Bui et de i-’i:<stitdt, rde iàcoi, n° 34.

DE

NIVELLEMENT TRIGONOMÉTRIOUE

Utilité de la méthode^ instruments dont son usage exige

l’emploi.

(i) J'ai conçu l’idée de la méthode que je vais exposer, pendant mon séjour en Italie (*), où elle m’a été fort utile pour les projets que j’avais à faire, dans les plaines du Pô, dans les marais pontins, etc. , en me procurant les moyens de niveler et de relever des points situés sur des lignes que les localités ne permettaient pas de parcourir. L|pb.servateur,qui fait usage de cette méthode , a le grand avantage d’observer dans un lieu abrité, où il peut même établip son logement ; d’atténuer ainsi, considérablement, sur un sol insalubre, l’influence du mauvais air, et d'assurer l’exactitude de ses opérations, par la permanence et la commodité de sa position;

Tsd doooc im |>récü de cette Méthode dans mon ouvrage sur ies Manùi Pontim,

il a, de plus, la faculté de se servir d’instruments qu’il lui serait difficile ou impossible do transporter, de station en station , sur le terrain , et dont la précision est bien supérieure à celle des instruments portatifs.

Le travail, à exécuter en rase campagne, sc réduit à des mesures de lignes droites et à des placements de mires; on trouvera partout des hommes acclimatés propres à ce travail

(2) L’ingénieur, placé à la station fixe, devra être pourvu d'un bon cercle répétiteur^ relevant les angles dans le plan des objets , et mesurant les angles de dépression et d'élévation , ou d'un excellent cercle azimuthal donnant, imme'diatement, les angles horizontaux, et portant un cercle vertical pour les distances au zénith. On fait à Paris de ces théodolites perfectionnés , qui répètent les angles verticaux comme les horizontaux , et qui sont bien préférables aux théodolites ordinaires avec lesquels on n’a que les angles simples.

Ceux qui opéreront dans la campagne auront des chaînes en fer bien étalonnées , des Behes de fer , des jalons et des mires.

Ces mires sont des planchettes carrées qui j)euvent couler le long de jalons ferrés et bien droits , et se fixer par des vis de pression à différentes distances des sommets de ces jalons. Sur chacune de ces planchettes sont peints à l’huile deux cercles concentriques, l’extérieur en ronge, et Tinté rieur, d’un diamètre beaucoup plus petit, en blanc. Le centre commun de ces cercles, que j’appelle centre de la mire , est placé au centre de figure de la planchette, et le plan passant par ce centre et par Taxe du jalon doit être perpendiculaire au plan des cercles concentriques.

Lorsque le jalon est plante , son axe doit être bien vertical , et le plan de la mire tourné de manière qu’il soit perpendiculaire au glan vertical passant par le centre de l’instrument et par l’ase du jalon^;

Exposition de la méthode.

(3) Soient, fig. i, des points , en nombre quelconque A, A’, A", A'", etc., situés sur le terrain, dans un même plan vertical, et visibles de la station S. Une des longueurs AA', A’ A", etc., peut être parcourue et me suré e^ et on a la possibilité de placer des mires aux points de réunion A, A', A", A'", etc., de toutes ces longueurs. Le problème fondamental de la méthode est celui de déduire de la longueur unique donnée et des angles, tanthorizontaux que verticaux , observes du point S, les distances des points A, A', A", etc., entre eux et à la station S, et les différences de niveau entre ces points et le centre de l’instrument en S.

(4) Une excellente manière d’observer est celle d’employer, au lieu des mires dont je viens de parler, des réverbères paraboliques ayant, à leurs foyers, des mèches à courant d’air; mais cette méthode, bien favorable à la précision, a l’inconvénient de l’embarras et de la dépense; elle est, de plus, adaptée aux opérations nocturnes , qui ne conviennent pas à

tous les observateurs (i).

MM. Ango et Mathieu , membres dn bureau des longitudes , ont rt^cemment employé, pour des opérations géode'siques , destinées à lier les observatoires de Paris «t Greenwich (et en général, les systèmes de triangulation anglais et français),

(5) Pour déterminer cos diverses inconnues, on partagera

la longueur A'A", que je suppose être celle des longueurs AA', A'A", A" A'", etc., qu'on peut parcourir et mesurer, eu deux segments A'q, qA" égala ou inégaiîa^ leur égalité simplifie un peu le calcul; on mesurera bien exactement chacun de ces segments , et les centres des trois miix'S étant sur une même ligne droite parallèle à celle du terrain, on relèvera de la station S, les angles A'Sq, A'SA", lesquels, avec les longueurs A'q et qA" suffiront pour calculer le§ distances SA', Sq, SA", et les angles A"A'S, A"qS ; on relèvera de plus les angles A'SA, A'SA'" , A'SA " , etc. , les distances au zénith des centres des mires placées en A, A', q, A", A'", etc. , et on aura toutes les données nécessaires pour résoudre le problème , ou pour détenniner les distances et les différences de niveau cherchées en employant les règles de calcul que j’exposerai ci-après. *

La base AA' , mesurée en rachetant les aspérités du terrain doit être ou horizontale ou d’une seule pente, si elle est inclinée; et il faudra placer les centres des trois mires à la même hauteur au-dessus de cette ligne mesurée^ qui se trouvera ainsi parallèle à la droite passant par les trois centres.

(6) Il sera bon, lorsque les localités le permettront, et que l’observateur aura du temps à sa disposition, de répéter l’o-

ilf» feux infinimrat supA'ienn i toni cenx dont on «‘dliit »erTÎ «Tant »»x; ce» f*u» , adapté aux pharn dea cAlea de France , d'aprea les idéea et les projeta de Jrwncl, ingénieur dei ponts et ciiaoiseeS| peurent être aperçus dt your, k «le très-grandes distances ; ils sont donnes par des lampes à courant d’air et é mèches muftipUx conce'ntriques, dont la lumière traverse des lentUles d'un grand diamètre comptées de pièces de rapport, qu'on appelle lentilles k Mehn<. !««• détails , relatifs k ces feux, seront publiés-

pération en prenant sur la ligne AA' A", etc. , deux segments contigus autres que ceux sur lesquels on a opéré d’abord ; mais un excellent moyen de vérification, lorsqu’on pourra parcourir et i mesurer sur cette ligne A A' A", etc., un espace d’une longueur convenable, sera celui de diviser cet espace en trois segments. Les combinaisons de ces s^ments , deux à deux , fourniront plusieurs manières de faire le calcul , qui se serviront réciproquement de preuve^.

Soient , par exemple , les trois segments A'q, qA", A"q' , dont on puisse mesurer les longueurs, on aura les combinaisons binaires.

A'q qq’

qA" A"q' .

dont chacune, employée comme donnée de calcul, devra conduire aux mêmes résultats que les données A'q et q.A", employées en premier lieu ; j'ai presque toujours rais, de cette manière, ma méthode en pratique.

(y) J’ai supposé, dans les deux articles précédents, que la base prise sur la ligne AA' A", etc., faisait des angles quelconques avec jes rayons visuels partant de la station S et aboutissant aux extrémités des segments de cette base; mais on obtiendra une simplification' notable, lorsque cette même base sera perpendiculaire à un des rayons’ visuels. Il faut,. pour gagner cet avantage, que les localités s’y prêtent de manière qu’on puisse faire varier dans de certaines lirai^ la direction de la ligne AA' A", etc. ; il faut aussi que l’homme chargé de la conduite des opérations qui se font

sur le terrain, soit en état de tracer un alignement à angle droit sur une direction donnée. La première condition sera assez fréquemment remplie ; et la seconde exige moins d’instruction et d'intelligence que n’en ont ordinairement les conducteurs des ponts et chaussées. On se procurera aisément un instrument donnant exactement l'angle droit, et s'il n’est destiné qu’à cet usage, la dépense en sera peu considérable.

On voit, sur le champ, que l’état des choses tel que je viens de le supposer, donne deux triangles rectangles; un seul de ces triangles suffit pour avoir la position de la base par rapport au point S de la station; si l’angle droit se trouve à l'une des extrémités de la base, il sera inutile de la diviser en deux segments; et môme lorsque le sommet de l’angle droit se trouve au point q, on peut se dispenser de mesurer les longueurs q A', qA" il suffit, ainsi qu’on va le voir, de connaître la longueur de la base entière A' A".

(8) Ce dernier problème est lié à des règles d’opération et de calcul, qui, je crois, sont nouvelles, en géodésie, et peuvent avoir des applications utiles. La base prise sur AA' A’, etc. , étant donnée, il n’est pas nécessaire que le sommet de l’angle droit soit un des points de cette base, il suffit que ce soit un des points de sa direction prolongée ou dans un sens ou dans l’autre, et de plus, on n’a pas besoin d'avoir, à Priori^ la distance de ce point à une des extrémités A' ou A" : cette distance se déduira du calcul. Ainsi la ligne A A' A", etc., étant posée d’une manière quelconque, par rapport à la station S, on cherchera s’il existe sur cette ligne un point abordable, tel que le rayon visuel passant par ce

point et par la station S, soit à angle droit sur AA' A" , etc. ; de la station S on relèvera l'angle sous-tendu par la base et l’angle sous-tendu par la ligne comprise entre une des extrémités de la base et le sommet de l'angle droit. Ces deux angles, et la longueur de la base, suffiront pour arriver aux mêmes résultats qu'on obtient par les données des articles précédents , en employant les règles de calcul ci-après exposées.

Le point du terrain où se trouvera le sommet de l’angle droit, pourra ne pas être sur une même ligne de pente avec la base; mais il faudra que les centres des mires, placées sur cette base, et le centre de la mire du sommet de l’angle droit soient sur une même ligne droite.

(9) Enfin , la position du même sommet d’angle droit, sur la direction de la base, étant inconnue, si on emploie, comme données , la base et sgs deux segments , et les angles soustendus par ces lignes, on aura les éléments de calcul nécessaires pour déterminer cette position, et, dans certaines circonstances, une pareille détermination sera fort utile.

(10) Les choses étant dans l’état où je les ai supposées, art. 5 , et suivants, on résoudra immédiatement par les méthodes du § 111 , ci-après , les triangles qui ont un sommet commun en S, et poiir côtés, opposés à ce sommet, les segments de la base, la base elle-même, ou cette base et son prolongement, jusqu’à un sommet d’angle droit, si on a employé les procédés indiqués art. 8 et 9.

On aura aussi les différences de niveau entre les centres des mires observées sur la direction de la base et le centre de l’instrument en S. Il sera aisé dès lors de déterminer les positions des mires placées à tous les autres points de la

ligne AA' A" A'" , etc. , c’est-à-dire leurs distances entr’elles et à la station S, et leurs hauteurs respectives par rapport à cette station, lorsqu’on aura mesuré, du point S, les angles que forment entr’eux , et avec SA' et SA", les rayons visuels dirigés sur les ]>oints A, A'", A", etc, ét les distances au zénith de ces différents points. En effet, continuant à regarder A' A' comme la bas<‘, on connaîtra, par ce qui précède, les angles et les côtés du triangle SA'A’. On aura donc immédiatement dans chacun des deux triangles contigus SA' A, SA" A'", un côté et les deux angles adjacents, savoir ; dans le premier, le côté SA' l'angle S.A'A, supplément de SA'A" et l’angle observé A'SA; dans le second, le côté SA", l’angle SA'A'" supplément de SA'A et l’angle oljscrvé A"SA'".

Ces deux triangles résolus formeront, pour résoudre ceux qui leur sont contigus, des données de môme espèce que celles qui ont servi à leurs propres solutions, et on connaîtra ainsi les angles et les côtés de tous les triangles dont les sommets sont eu S, et dont les côtés opposés à ces sommets sont sur AA' A" A"' , etc.

Les longueurs SA, SA', SA", SA'", etc., et les angles d’élévation et d'abaissement , par rapport à l’horizon , des points A, A' y A", A'", etc., serviront à faire connaître les différences respectives de niveau entré ces points et le centre de l’instrument en S.

(il) Tout ce qui concerne la ligne AA' A" A'", étant ainsi terminé, si on a d'autres lignes, visibles de la station S, la ligne aa'a" a'", etc. , par exemple, dont on veuille déterminer la position et faire le nivellement, on fera, sur cette ligne , les mêmes opérations que sur la ligne AA'A" A'", etc. Pour lier ensuite ce second système d’opérations au premier , on

observera l’angie formé par une des lignes SA, SA', SA", etc., et par une des lignes S^t', S«', Sa", etc. Soit A"Sa cet angle ; on connaîtra, dans le triangle A”Sa, l’angle en S, observé, et les côtés SA" , Sa, déduits des opérations et des calculs précédemment faits sur les lignes AA' A", etc. , et aa'a", etc.

On aura donc les données nécessaires pour calculer la distance A”a et pour connaître les angles en A" et en a.

(la) Le calcul relatif à la liaison des lignes AA'A", etc., et aa'a", etc., sera un peu simplifié, si la seconde ligne est dirigée sur un des points connus de la première; supposons, f«r exemple, qu’elle soit dirigée sur le point A”; alors les côtés a'a et aA" sont sur une même ligne droite , l’angle SaA" est supplément de Saa', et il ne reste à connaître, dans le triangle SaA”, que le côté aA", qui se calcule par un des deux autres côtés et les angles adjacents.

(i3) On peut faire, de cette manière , sans sortir de la sta- • tion S, la carte et le nivellement d’un nombre indéfini de lignes visibles de cette station; pour lier ensuite, à ce système de ligne , un autre système qui ne peut plus être aperçu , ou (jui .serait trop défavorablement observé du point S, il faut passer à une autre statioi) S', visible de S, et de laquelle on aperçoive le second système, et au moins un des points de.s lignes AA'A", etc. , oa’o", etc., du premier; soit ««'«", etc., une d^Jignes de ce second système, les distances S'a, S'a', etc. , les angles compris, etc. , etc. , seront déterminés comme précédemment; pour lier ensuite les deux stations et les deux systèmes ensemble, supposant que le point a" est visible de S', on observera , du point S, l’angle a"SS', et du point S' les angles a‘’S'S et a"S'a, ou a S'S; (tout autre point de aa'a", etc., que le point a, pourra lui être substitué;) on connaîtra,

dans le quadrilatère SS art", les côtés Srt" , SV, les angles l'onnés par ces côtés et par le côté inconnu SS' et l'angle formé par SS' et par la diagonale, S'rt”; ce quadrilatère sera donc complctcincnt déterminé.

On arriverait évidemment aux mêmes déterminations, si , au lieu d’avoir un point du premier système visible de la seconde station, on avait un point du second système visible de la première ; et il serait fort avantageux , pour multiplier les moyens de vérification, de réunir les deux conditions ensemble.

(i4) Aucune de ces deux conditions ne sera nécessaire si une des lignes de l’un des systèmes est dirigée sur un point connu de l’autre; la condition des points réciproquement visibles sera alors restreinte aux deux stations seulement. .Supposons que la ligne *«V", etc., fig. a, soit dirigée sur le point ^ U"; du point S j’ob.sei’ve l’angle rt"SS'; du point S', l’angle aS'S et je connais l’angle S'art" supplément de SVa't je connais donc, dans le quadrilatère S'art ’S, les quatre angles et les deux côtés SV et Srt", et je résous ce quadrilatère sans qu’il soit nécessaire d’apercevoir , de la station d’un des systèmes, aucun point appartenant à l’autre système, excepté sa station.

Il y a un cas qui rend indéterminée la .solution du problème que je viens d'indiquer, c’est celui de l’égalité e^*lu parallélisme des côtés connus du quadrilatère; on voit, sur le champ, que, les données restant les mêmes, le côté inconnu SS' peut avoir une longueur arbitraire. Ce cas, purement théorique , n’aura jamais rigoureusement lieu dans la pratique : mais il fait éviter les combinaisons de données qui s’en approcheraient trop ; et, par exemple, si la direction

s . ne convergeait pas assez sur&z il faudrait à S'« substituer une autre direction SV, plus convergente.

' Ces considérations de quadrilatères conduisent à un nrodeme dont la solution peut avoir des applications utiles, celui de la déterrai nation de la position d’un point O, fi«. 3 invisible de la station S, lorsqu’on peut voir de cette station les deux lignes droites A'A", A^,. susceptibles d’étre parcourues et mesurées et dirigées, chacune sur ce point O Je reviendra, sur ce problème dans le^ paragraphes suivants.

(i5) Les beux marécageux, pour lesquels ma méthode est socialement destinée, n’offrent pas, en général, des lignes dune grande déclivité; les inHexions du terrain seront ordinairement assez faibles pour permettre de placer, sur chacune des lignes faisant partie du système total, lescentivs des mires dans un même axe, horizontal ou incliné; et, soit qu on fasse ou qu’on ne fasse pas de réduction à l’horizon on aura égard, pour obtenir les cotes ultérieures du nivellement , aux diverses hauteurs de ces centres au-dessus du sol.

Supposant d’abord que de la station S, fig. i, on observe les points A, A', A", etc., de la ligne A A'A", etc., avec un cercle repetiteur qui mesure les angles dans le plan îles objets, les centres des mires étant disposés sur un même axe incline; tous les triangles à calculer seront renfermés dans un meme plan passant par cet axe et par le centre de linstrument en S. On résoudra les triangles, dans ce plan, et on aura les distances SA, SA', S.A", etc., et les longueurs incliiiees AA,A"A'",A'"A’', etc.; (la base A'A" est donnée pr une mesure immédiate.) Au moyen de ces distances et des angles d élévation et de dépression, des jioints A,A',A",

A'", etc ,.011 aura les différences de niveau entre ces points et le centre de l’instrument en S , c'est-à-dire le nivellement de la ligne AA'A", etc., le plan horizontal de comparaison passant par le point S.

I.a station étant toujours an point S , si on veut lier la position de la ligne AA'A", etc. , avec celle d’une autre ligne nàa'\ etc. , et qu’on suppose cette liaison opérée par l’intermède des distances SA”, Sa et de l’angle a SA”, la ligne Sa devra être donnée de longueur et d’inclinaison , lorsque les opérations faites sur la ligne add\ etc. , présenteront les mêmes circonstances que les opérations faites sur A.VA", etc On connaîtra donc les différences de niveau entre les points a, A” et le point S; ainsi le nivellement du système des deux lignes AA'A", etc. ,'aa'a", etc. , n’exigera aucune réduction à l’horizon , et il en sera de même du système d’un nombre quelconque de lignes, lorsque chacune d’elles aura le.s centres de ses mires sur une même ligne de pente, et deux segments contigus susceptibles d’être parcourus et mesurés ; et les réductions des angles et des longueurs à l’horizon , ne devront avoir lieu que lorsqu’il s’agira de placer le système de ces lignes sur une carte du pays. On trouvera dans les paragraphes suivants les formules de ces réductions.

(i 6 ) Si la ligne AA'A", etc , n’est pas d’une seule pente, c’est-à-dire présente des ondulations dans le plan vertical tjui la renferme, alors les deux angles adjacents à un même rayon vecteur SA, SA', SA", SA"', etc., ne sont pas rigoureusement compléments l’un de l’autre; il faut donc, pour obtenir une parfaite exactitude , employer les réductions à

l'horizon , tant des angles que de la base mesurée immédintement, et les longueurs déduites du calcul sont des longueurs horizontales.

(17) J’ai supposé, dans les deux articles précédents, que la mesure des angles était prise dans le plan des objets; mais on peut'^mployer, pour cette mesure, un instrument qui donne, immédiatement, les angles horizontaux, la longueur de la base étant prise sur une ligne inclinée ; toutes ces circonstances exigeront des rétluctions diverses d’angles et de lignes, pour lesquelles je donnerai des formules dans le paragraphe suivant; mais, dans tous les cas, les opérations à faire sur le terrain • pourront se réduire à des mesures de ligilbs inclinées, et les données relatives aux. réductions tant de» longueurs que des angles seront prises à la station de l’observateur.

(18) Il sera donc, à la rigueur, suftisant d’avoir, dans la campagne, des hommes en état de mesurer des longueurs, d’aligner des jalons et de placer des mires. Cependant il arrivera fréquemment de trouver, parmi ces agents, quelques personnes capables au moins de donner un coup de niveau. I.’observateur aura ainsi, comme moyen de vérification, la faculté de lui faire prendre la différence de hauteur entre les points extrêmes de la base mesurée et parcourue, ou même entre d’autres points des lignes sur lesquelles il aura k opérer ; si les lignes placées entre ces points ne peuvent pas être parcourues, on emploiera l’excellente méthode* du ntvellement réciproque, en plaçant successivement le niveau à chacune des extrémités dont on veut avoir les hauteurs re.spectives.

Au reste, je le répète, les localités pour lesquelles ma mé-

thode est particulièrement utile, dispenseront très -souvent des calculs de réductions dont j’ai parlé articles i5, i6 et 17

Lorsque l’ingénieur pourra , de son observatoire, découvrir l’horizon de la mer, il ne manquera pas l’occasion de rapporter ses hauteurs à cet horizon, dont il mesurera l’angle de dépression, par des opérations répétées et faites avec le plus grand soin; je donnerai, ci -après, la formule par laquelle il déduira, de cet angle, la hauteur du centre de son instrument au-dessus de la mer.

(19) Je donnerai aussi, dans le paragraphe suivant, des formules pour obtenir les diverses déterminations dont il a été question depuis l’article 3 , en substituant une Base verticale à une base horizontale. Cette substitution peut, parfois, être fort utile, et même offrir le seul moyen possible d’opérer; mais il ne faut l’employer que pour de petites distances , vu les difficultés qui limitent la grandeur de cette base; elle exige aussi la plus grande précision dans la mesure des angles verticaux , précision qu’on obtient toujours en opérant soigneusement avec un bon cercle répétiteur.

§ ni

Formules pour calculer les réductions diverses, les distances et les hauteurs.

lao) Je n’ai pas besoin de donner, ici, les formules relatives à la résolution des triangles rectilignes, exposées et démontrées dans tous les traités de trigonométrie ; je me

borner<-ii à celles qui sont particulières à ma méthode et à <{uclqucs antres , lesquelles , quoique publiées , ne sont pas assez généralement connues. On peut consulter.,sur les calculs géodésiqucs qui se rapportent à la levée des cartes et plans , et au nivellement, les ouvrages de M. le colonel Puissant Je commencerai par les formules qui donnent l’angle horizontal lorsqu’on a l’angle dans le plan des objets et réciproquement, et qui se rapportent au contenu des art. i5, i6 et 17. Voici l’énoncé du problème que ces formules résolvent. «Deux plans verticaux, formant entr’eux un anglec, « et passant par le zénith de l’observateur, coupent un plan, « incliné à l’horizon , sur deux traces , ou h'gnes d’intersec- « tion, faisant entr’elles un angle C, et avec la verticale, du « côté du zénith , les angles respectifs Ç et f ; il s’agit de dé- « (luire C de c, et réciproquement. »

On fera, pom simplitier la notation,

•» = HC E + f ),

et on déduira c de C par l’une ou l’autre des étpiations ''

^in Z/.—

cos.ic=\/^^I^dIE£l.

, ' (in. (ùn.('

Pour déduire C de c, on fera

ros. -

cos.iC=^2Li%il).