CO

et on aura

Si on a les tables, dont je parlerai ci-aprës, au moyen desquelles on trouve, immédiatement, le logarithme de la somme de deux nombres lorsqu’on a les logarithmes partiluliers de chacun de ces nombres, on calculera C, d’après c, en employant la formule unique

cos. 7 C ^ 1/ C05. * T ( Ç + 5' ) + »in. S sin. cos. * je.

( 21 ) Les formules précédentes donnent rigoureusement l'angle horizontal c, par l’angle C, dans le plan des objets, et réciproquement, les distances au zénith, C et étant des données communes à la directe et l’inverse; dans les cas de pratique que l’usage de ma méthode comporte, chacun des angles ^ et t est, ordinairement, peu différent de l’angle droit, et, par conséquent, le rapport entre c et C, est voisin du rapport d’^alité; il sera commode, dans ces cas de pratique, de calculer simplement la différence entre c et C par les formules suivantes d’approximation.

On fera ,

j eti',(et E',sont supposés exprimés en secondes.

R" = 2o6a64",8 On a, log. R"=5,3 i44^5i

et on aura, lorsque C sera l’angle donné,

(i-hfy tanif.-fC — (S — J' )* coWng.-jC

R" est le nombre de secondes contenues dans l'arc égal au rajron.

u/vu <; = O

angle droit — Ç'= y ♦c — C = e

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Si c est l’angle donné dont“on veuille déduire C, il suffira de substituer c à C, dans la formule précédente, ce qui donnera

— (î + S')’*®nR-TC+ (S— S'ycot.-je • 4 R" ’

II faut bien faire attention aux signes de ^ et S* qui peuvent être ou tous deux positifs, ou tous deux négatifs, ou l’un positif et l'autre négatif. Dans les deux premiers cas , S + yct î — J' sont, respectivement, l'une une somme et l’autre une différence de deux nombres; dans le troisième cas, c’est S + ï qui devient la différence, et ♦ — i la somme. Les signes de ces sommes ou de ces différences n’influent pas sur le signe de e parce quelles sont élevées au carré, et comme c est toujours plus petit que deux angles droits, cliacun des deux produits qui entrent dans le numérateur de la valeur de s sera positif^ et < sera positif ou négatif, respectivement, suivant que le produit affecté du signe + sera plus grand ou plus petit que le produit affecté du signe — .

(à2);A'A", fig I, étant, comme précédemment , la partie de la ligne AA' A" A'", etc. mesurable et mesurée, celle qui sert de base pour déterminer les positions et faire le nivellement de tous les autres points de la même ligne où on peut placer des mires, quelque soit l’angle formé par cet^e base et par l'horison, on aura toujours, 6u immédiatemetit , ou par les règles de calcul qui précèdent, les angles A'S q, A'SA" dans le plan passant par le centré de l'instrument en S , et par les centres des mires placées en A', y et A", dans une même ligne droite. Il faudra, alors, en employant les for-

mules que je donnerai ci-après, calculer les distances SA', Sç et SA"; ensuite, au moyen de ces distances et des angles de dépression et d’élévation des points A', q et A", par rapport au point S, on .déterminera la dilTérence de niveau entre ce point S et les points S, y et S ; il est indispensable, dans ce calcul, d’avoir égard à la ré/raction terrestre, et on pourra employer les forfiules suivantes :

Soient, -fig. 4 i n°» i et a, A la station , B' le point observé, C le centre dé la terre , CA A' et CBB' , deux verticales passant par les points A et B', respectivement; AB et A'B', deux arcs de grand cercle , horizontaux , dont le centre commun est en C , A B' la courbe suivante laquelle s’infléchit le rayon lumineux, en allant de B' en A, kq une tangente, en A , à l’arC AB , A^' une tangente , en A , à la courbe AaB'.

Le rayon CB = , . P

( On a , valeur moyenne , log. p = 6 , 8 o 387 j) 4 ,p étant e.x primé en mètres ).

La distance, connue AB, exprimée en mètres, = A L’angle apparent d’élévation ou de dépression , ce-

lui qui est donné, inunédiatement , par l'observation = ■

Rayon de courbure, au point A , de l’arc lumineux AaB'= K P

Nombre de secondes contenues dans l’arc égal au raÿon = 206264" ,8 B"

(On a log. R" = 5 , 3 1 44^51 ).

Différence de niveau BB' entre la station A et le point observé B' = Z

On a , pour calculer Z , I équation ♦

Z = Atang.[y±(o,5-;^)4i]. ^ .

(a 5 ) On a reconnu, par diverses obsen'ations et considérations, quon pouvait regarder^ comme un nombre constant, égal à o,o8, d'où o,5 — ^ = Oy^a. *

log. o,4a = 1, 6232493 '

;■ log. R'= 5 , 3 t 44 a 5 i

Comp. log. P = 7,1961206 * jf

2ii33795o = log-oy>i36o8.

ainsi la formule pratique 'sera, le mètre étant Tunité linéaire,

Z = A tang. (9 ± o,oi 36 o 8 A. ). '

Les signes supérieur et inférieur se rapportent, respectivement, aux u°‘ I et a; le produit o,oi 36 o 8 A exprime des secondes de 1 ancienne division sexagésimale du cercle.*

( a 4 ) A repre.sente , dans cette valeur de Z , la distance , réduite a 1 horizon, du centre d<* l'instrument an centre de la mire , dont on veut calculer la cote de nivellement. Si on voulait employer, sans réduction , la distance inclinée représentée par A , quon obtient immédiatement par les angles pris dans le plan des objets , on pourrait employer fa formule \

Z =' A' sin, ( ç ± o,oi 36 o 8 . A' )

la diiTcrcuce entre la valeur donnée par la tangente et la va-

leur donnée par le sinus, sera le plus souvent assez petite, pour qu’on puisse indifVéremment employer l’une et l’autre formule.

(a 5 ) J’ai dit, art. 19, que lorsque l'obiervat''ur pourrait, de sa station , découvrir l’horizon de la mer dans toute l’étendue compatible avec la courbure de la surface , il ne devait pas manquer de déterminer la hauteur du centre de son instrument par rapport à cet hoiizon. Il suffit, pour cette détermination, de mesurer l’angle de dépression du rayon visuel tangent à la surface de la mer ; désignant par <a et par Z, respectivement, cet angle et la hauteur du centre de l'instrument au-dessus de la mer, on aura

z=tp(i + n,y tang.’u I j p et K ont^ci le» même»

' valeurs qu'a l'art, ao.

on a 7(1 -+- »)’=o,5832,

log.7 ( i + /?)’=!, 7G58175 log. P =6,8038794

log. i P ( 1+ «)* = 6, 5696969

d’oq 011 déduit la formule logarithmique

log. Z — 1 log. tang. 6> -t- 6,5696969.

L’observation de la dépression de la surface de la mer doit être répétée plusieurs fois et dans les circonstances les plus favorables , relativement aux incertitudes provenant de la refraction terrestre et des variations accidentelles du niveau de la mer. Il faut, à chaque fois, former une série dont les derniers angles n’offrent pas entre eux de différences sensibles; on prend ensuite une valeur moyenne entre les résultats des différentes séries , et je pense qu’on obtient ainsi

une hauteur moyenne de la surface de la mer , au moins aussi exacte que la hauteur fournie par l’observation des échelles hydrométriques qui présentent beaucoup de causes d’anomalies; au reste, on pourra ordinairement rattacher au nivellement un ou plusieurs points du sol dans le voisinage du rivage de la mer , ou sur ce rivage même , qui fourniront des moyens faciles de comparaison et de vérification.

(26) J’ai fait voir comment on pouvait déduire de la mesure d'une base inclinée à lliorizon , et de l’observation d’un certain nombre d’angles, les longueurs horizontales de toutes les sous-divisions de la ligne sur laquelle se trouve cette base , et les cotes de nivellement des centres dt>s mires placées sur cette ligne, en réduisant simplement à l’horizon les angles observés ; après avoir déterminé la différence de niveau que je désigne par î, entre les extrémités de la base dont la longueur est représentée par h , on aura , en appelant 6 la projection de b sur le plan horizontal,

( 97 ) .\vant de passer aux formules qui se rapportent sjjécialement à ma nouvelle méthode, je donnerai encore celle qui résoud le problème de polygonométric dont j’ai parlé , art. i4-

Il s’agit, fig. 5 , de résoudre le quadrilatère ABè«, lorsqu’onconnaît ses angles et deu.x de scs côtés opposés entre eux. Soient les côtés connus AB et a b; l’une des sommes d'angle A B , ou a -t- ô sera nécessairement plus petite que deux angles droits , et supposant que c’est la somme A + B , les côtés inconnus Ao et B b devront se rencontrer en un point e, et l'angle c’sera un angle connu.

Soient

( aa )

ab=^q,

on calculera ka et B A par les formules

Ka= Bi =

P sin. B — q sin. h sin. e

/>5in« A — g 5»n.a sin. e

(28) Je passe maintenant aux formules particulières à ma nouvelle méthode , et qui , 'par conséquent , ne sont pas encore connues. Ces formules ont, pour objet, de fournir les moyens de résoudre un triangle SA'A", fig. i , lorsqu'on connaît le côté A' A", l’angle opposé à ce côté, la position d’un point q sur A' A", et l’angle ÿSA'; on peut substituer; à ces deux dernières données, l’angle forip^ par l’un des côtés SA' ou SA", et par une ligne perpendiculaire sur la direction de AA"; dans ce dernier cas, il n’est pas nécessaire de connaître d’avance la position du pied de la perpendiculaire. Voici les formules relatives au premier cas.

Soient

la base A' A"=

le segment. .

b'\bz=b'+b",

l’angle partiel

l’angle total A'S A". . . .

A'Sj= c |c = c