IV
Indication des meilleures tables à l'usage des calculateurs ; formules pour le calcul des logarithmes sinus et tangentes
des arcs très- petits.
( 35 ) Les ingénieurs qui opéreront sur le terrain, d'après les méthoiles que je viens d'exjmser, devront se servir, pour taire les calculs numériques, des tables de Gallet qui donnent les logarithmes des nombres naturels de i à 108000 , les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes de seconde en seconde, pour les cinq premiers degrés, et de 10 eu 10 secondes pour le quart de cercle entier; on y trouve aussi les logarithmes sinus, cosinus et tangentes pour- les roooo parties de la division centésimale du quart de cercle. Tous les logarithmes sont à 7 ligures, sans compter la caractéristique, ainsi on peut avoir le nombre d'un logaritlimc, ou réciproquement, avec 7 chiffres significatils, le maximum d'incertitude éunt d'une unité sur le septième chiffre; et si l’on veut un nombre beaucoup plus grand de chiffres significatifs, on trouve dans l'ouvrage des tables auxiliaires assez commodes pour en faire le calcul.
Gallet a joint aux logarithmes sinus, cosinus, etc., de 10 en 10 secondes, les différences entre deux logarithmes con-
Digitiîftcl by,
sécutitk, mais saus parties pioportionnclles; ainsi pour avoir les unités et frartions de secondes', on est obligé de faire une division au lieu d'une simple addition tjui suffit lorsqu’on a les parties proportionnelles. •
( 36 ).M. Ducom a publié récemment un Cours d'observations nautiques, qui contient un recueil de tables parmi lesquelles on en trouve une des logarithmes sinus, cosinus, tangentes et cotaugentes, de lo en lo secondes, avec les difTérences et les parties proportionnelles pour les unités de secondes. Il est vrai que ses logarithmes ne sont qu’à six figures, mais ce retranchement d’un chiffre n’empécherà pas que ses tables, très- commodes, ne puissent dans presque Wus les eus être utilement en>ployée.s. Il est seulement à regretter (pi’il n’ait donné les log.aritbmes fies nombres à 6 figures, que jusqu’à loooo ; un extrait de sa collection de tables qui renfermerait .ses logarithmes des sinus, cosinus, et les logarithmes fies nombres à 6 figutes , jusqu'à fooooo ou laoooo'serait certainement, agréable et utile aux calculateurs. ,
Je vais donner ^indication de deux autres ouvTages publiés, l’un à Londres en 179U, l’autre à Altonu en 1817, et qui seront d’une grande ressource à ceux qui se les procuieront. >- •
Le premier est de M. Taylor, et renferme les logarithmes des norabrès de 1 à loiooo, et ceux des sinus, cosiüus, tangentes et cotangentes, pour chaque seconde du quart de cercle. Ces logarithmes sont à 7 figures , sans compter fa caractérisque. L’usage de ces tables demande qu’on fasse quelque attention à la série des nombres de chaque colonne, nombres qui n’appartiennent pas toujours, sur la hauteur' de la page, aux premiers chiffres placés au sômmet de là'
colonne , mais dont une partie peut faire suite aux premiers chiffres placés au sommet de la colonne voisine; il serait à désirer qu’on eut indiqué, par un trait, la séparation de ces deux parties , appartenantes à des têtes différentes, dans les colonnes où on a besoin d’en faire la distinction; chacun peut, ainsi que je l’ai fait sur mon exemplaire, tracer, à la main, ces lignes de séparation; elles soulagent l’attention et rendent l'usage des tables plus prompt et plus sûr.
(38) Le second ouvrage est de M. Mathiessen, il contient des tables d’une espèce nouvelle, au moyen desquelles, deux logarithmes étant donnés, on peut, sans chercher les deux nombres auxquels ces logarithmes appartiennent, trouver immédiatement le logarithme de la somme, ou de la différence de ces deux nombres; on gagne par l’usage de ces tables et de l’exactitude et du temps : il serait bien à désirer qu’on les insérât dans une édition de Callet; eton pourrait proBter de cette réimpression , pour y faire quelques améliorations.
( 39 ) Lorsque les grandes tables calculées d’après mes méthodes et sous ina direction , et que les gouvernements français et 'anglais doivent faire imprimer à frais commun , seront publiées, on aura, pour les' calculs logarithmiques, des ressources bien supérieures à celles qu’offrent les ouvrages dont je viens de parler.
' (4o) I/es calculs numériques, faits d’après les formules du § 3, peuvent nécessiter la recherche des logarithmes sinus et tangentes d’arcs très-petits. Si ces arcs sont donnés avec des nombres entiers de secondes, leurs logarithmes sinus et tangentes se trouveront parmi ceux des cinq premiers degrés des tables de Callet , calculés de seconde en seconde; mais si leurs valeürs contiennent des fractions de seconde dont
remploi dans le calcol soit nécessaire, l'interpolation ordi> naire , par les parties proportionnelles , ne sera pas assez exacte et il faudra déduire les logarithmes cherchés des formules suivantes : - .
Soient a le petit arc dont on veut avoir le logarithme sinus ou tangente , a" le nombre de secondes et la fraction de * seconde que cet arc contient , R" le nombre de secondes d’un- arc de cercle dont la loi^uèur.est égale au rayon ,
1 C io(. ligiiiae ( log. s'in. a = log. a" -1- 1 loe. co*. « -t- C. log. R" logariilkm*. *' (log. UDg. a=:=log. ci''+ 7 C. log. COS. a-(- C.tag.R"
, Si c’est au contraire «" qu'il faut trouver paf le moyen du logarithme, sinus ou tangente, de a, on aura - '
' log. Cl" = log. tio. a -t- T C. log. oos. et -f- log. R” log. m" = log. ung. a -f- 1 log.’cos. a -+- log. R"
• on a R"= ao6a64",8o6; log. R" = 5,3i44a5i3 ; C. log. R" = 5,68557487 et la petitesse des arcs dispense d’avoir égard aux fractions de seconde, dans la recherche de cos. «.
Je donnerai ci-après , des exemples de l’application de ces formules. . ' '
On déduit des règles précédentes le logarithme de la cotangente d’un très. petit angle , qui a pour valeur
.log. COt. log. COf, K-f- C. log. a” - 4 - log. R" ' - '
, ’ et si A est un angle très-peu différent de l'angle droit, et com- . plément de a, on a, en vertu de U relation ta'ng. A =cotang.«, ,log. lauf. As=Ÿlog. CO». « -4- C. log. «" -i- log. R"^ r •
( 4 i) Je conseille, et c'est un usage assez générale-, ment suivi , maintenant , d’employer toujours les logarith- . mes avee la partie décimale positive , et de n’avoir ainsi pour les logarithmes des nombres inférieurs à l’unité, que la caractéristique négative, qui se distingue, alors, par un trait horizontal placé au-dcssns d’elle : ainsi o, 3 oio 3 oo est le logarithme de 2 et i,Joio 3 oo est le logarithme de 0,2.
D’après cette convention , lorsqu’on prend les logarithmes sinus , tangentes , etc. , dans les tàbles, il faut écrireo, pour caractéristique, lorsque les tables donnent jn , etî,â, 3 , 4 / etc., lorsque ies^tablcs donnent q, 8, 7 , G, etc. , il faut , pareillement, substituer aux caractéristiques 11, 12 , etc. , des tables , les caractéristiques 1,2, etc. . .
Voici une règle simple et facile à retenir polir les caractéristiques des compléments des logarithmes ; « changez le - « signe de la, caractéristique et ajoutez J ; écrivez ensuite à la a place de chaque chiffre son complément à q, en exceptant « le dernier chiffre significatif auquel il faut substituer son c complément à 10. » ■ Ainsi complément , 3,078^2 1 1 s= 4i92i078q ; complément 4,3228740 = 5,677t2t'o ; complément ■i^ 744 a 6 =*: 1 , 1025574 ; ' 5 , 7920406 =
2,2O7q0’oo. . ‘ ■
Pour avoir '!• logaridune de la racine n* d’un nombre plus petit que l’unité, dont on a le iogarithine avec là caractéristique négative, pu ajoute à cette caractéristique le^ nombre qui lui manque pour être un multiple exact de n , ot on ajoute ce nombre, pris positivem«;nt,Vlia partie déci- .. male: «insi pour avoir Ig iogaririime dé la racine 5 ” du ^ nombre qui a. pour logarithme' 2^38976 ^ j ajoute 5 .à la
^caractéristique , faugmente la partie décimale de 3 .unités entières et j’ai , pour le logarithme cherché 1.6847795. On voit qtîe l’opération revient au calcul de la fraction ■> ■
■■ ' Exemples de calcul.
( 4 a) Les exemples qui suivent sont tirés des opérations
les plus délicates de nivellement, que j’ai eues à faire sur le sol des Marais Pontius, dans des cas où certaines circonstances me forçaient d’employer, comme données, des mesures angulaires et linéaires très-petites ^n comparaison , de celles que j’avais à en déduire par le calcul. Ces exemples prouvent que la gninde précision des observations et des mesures pei|t suppléer aux dilücultés locales ; mais il faudra , toujours autant qu’on le pourra , éviter ces difficultés ,.et ‘ Je lecteur devra, uuiquernçnt, considérer le contenu de ce 5 ® paragi’aphe, comme un choix de modèles ou types de calcul. ... •
J'ai en besoin* pour mes projets de* dessèchement des Marais Pontins, d’avoir les élévations au-dessus 'de la mer et les düTérences de niveau , entr’eux ,jlc plusieurs points qui n’étaient pas compris dans les nivellements qn’on .m’a communiqués; ces points étaient , en général , les plus cloi- .gnés de la mer au pied de la chaîne des Apcnniirs qui borde ...la parue septentrionale tics. Marais; la détennination des
Iianteurs de plusieurs de ces points tenait à une partie extréf*^ mement importante des projets, celle qui concerne les eaux appelix’S supérieures. Si j’eusse voulu employer Ibs méthodes ordinaires pour les lier soit à la mer soit aux autres points nivelles, il m’aurait fallu «consacrer à ce travail beaucoup plus de temps que je n'en avais à ma disposition, et cet inconve'nlent, dans une atmosphère empoisonnée, n’était pas le seul que j’eusse à éviter. Il ne fallait pas , à beaucoup près, d’aussi pres&ants motifs pour me déterminer à employer les procédés ci-dessus exposés , et quelques matinées m’ont suili pour mesurer, d’un petit nombre de stations où j’étais parfaitement à l’abri, les hauteurs audessus de la mer, dont j’avais' besoin , les points ainsi nivellés étant de aoooo à 3oo'6o mètres de distance du rivage.
(43)* Je ne me suis point borné à niveller des lignes qui ne l'avaient pas Sncore été , mais j’ai véri&é plusieurs mesures de hauteurs connues , et c’est une de ces vériâcations que je vais citer ici pour exemple: le point nivellé est à la douelle de la clef d'un ancien pont appelé des Due Luci ^ sur lequel on traverse la Tepia l’un des principaux torrents qui désolent lé sol Pontin. Voici le détail de mes opérations et les calculs qui doivent séTÎrif tTëXi^lIple. z* ’ '
^On a mesuré, pibfit , une ba^ horizontale de
a 4 <> mètres, divisée en trois parties égales, de 8 o mètres chacune; quatre mires étaient placées sur cette ligne; savoir une mire numérotée < à l’extrémité la plus voisine du pont, et les trois autres , numérotées , respectivement , a , 3 et 4 > à 8 o mètres, i 6 o' mètres et 140 mètres de la première.
M. l'ingénieur en chef Scaccia a voulu, par zèle , se charger de la direction des opérations è faire sur le terrein ;
mais ces opérations n’avaient^ pas besoin, pour être bien faites, d'uu homme de ce mérite; on aurait pu les confier à un simple conducteur.
Ma station,etait au haut de la tour de Sermonetta , ' et j’observais avec un cercle répétiteur qui mesurait les angles dans le plan des objets. \’oici les angles moyens donnés par les observations multiples. ‘
Angles entre lessignaux,
I et a
I et 3
I et 4
On peut, asnsi que je l’ai dit, art. 6 , faire diverses combinaisons trois à trois des quatre signaux , pour vérifier soit l’exactitude des mesures soit les calculs : je prends les signaux N“ 1 , 3 et 4 j -
entre les N”’ i et 3. . . ê' = i 6 o"^ ... é' = i“ 4o' 7",5
entre les N" 3 et 4 • • • ê" ^ 8 o . . . c" = 5o’ 7 ", 5
' Sommes... b = a4o - c = a® 3o' i5,o
’ ' 'n = KV— c) = 88*44' 5a",5
r, ;^'et r^" étant les distances respectives de la st^ion aux signaux N~ i,3et4- •“ ‘.is.,.- # ,
Je vais faire l’application de la - première des méthodes exposées, art. a 8 et suivants, au calcul des inconnues F, y, r, r' et /" par le moyen des données précédentes.
On a vu que F et /sont, respectivement, le plus grand et le plus petit des angles adjacents à la base b , et que G et g étant aussi la plus grande et la plus petite des quantités connues b' sin. c" et b" sin. c ' , il faut , d’abord , calculer
nn angle h par l’équation ta*g. h — et , ensuite, un
angle to par l'équatio» tang. u = tang. fl tang. ( ^ w — h)^ dans laquelle fl = ; ( - — c ) , ce qui donne un résultat ,
* F fl "I" w î f tt ^ .
valeurs des deux angles adjacents à la base b.
E^f^tuaiit les calculs , on a , fl 88' 44' 5 a ^,5
v'j' log. 6" =1,9630900 log. sin.c' = a, 46430^2 . 1
Iog.üi;==2,2o4iaoo log.sin.e" = 2,iG37G5i •
log.^'siii,c''îpo, 3 {h 883 |=l.G^log.Fsin.e'= 6 , 3672972 =l.g
log. tang. A = 1,9994 lai
log. tang. ( A ) = 4,8804577 . '
log. tang. fl ....... i, 66 o 4 ao 5 • . •
■ . . ' log, tang.- U» = 2,4908782 = log. tang. i®4^> ^^ 5 "
ces préliminaires fournissent les valeurs suivante*,
F=fl-4-w= 9 o°3i'i7",5/ ( 8 g'-) > ..
■y=fl — w== 86 58 a7,5jang.SçA'=F+<^= 9 i“2i'25",ô ang.obs.c= 2'3o i5*o)ang.S^A''=y+e'= 88 38 35,6
Somme... i8o“oo'oo*,o|. Somme... i8o®ooo6'^
Comme on a b' sin. c” >. 4 " sin. c, l'angle F doit être opposé an côté r , d’où S A" A' = F, S A' A" ==/" (fig- i ) de plus log. tang. A est additif daiis la valeur de c on a^, jd’aptès cés conditions, et en ayant égard à ce que j’ai dit, art. 4' 1 sur les signes des caractéristique.^ ,
log. sin. F œ 7,9999820 . 1,9999820
log. ^ = 2 , 38 o 2 II 2 ■ ' log. è" = 1,9030900
compt.log.sin.c = 1,3595977 compt.log. sin. c"= i,836a349
log. /• = 3,7397909 log. r = 3,7393069.
log. taiig. h =r. 1 ,999 '1 , a i
, log. r"' = 3^7392030 • r
Ces derniers calculs n’ont -c.xige comme ou voit et comme je l’ai dit , art. 28, la rechcrclie d’aucun nouveau logarithme; passant an.\‘ nombres on a • • •
tout est compU teraent d« 4 erminc dans les ileiix triangles S A' ^ , S 7 A" et les calculs relatifs à un nombre quelconque de points qu’on observerait, de la station S,, sur le prolongement et <le part et d’autre de la base A' A" , n’exigeraient plus, comme on a, vu, paragr. 1 et 2, que l'emploi de la formule trigonométrique dans laquelle les données sont un côté et les deux angles adjacents.
( 44 ) Mais il y a des cas où on a besoin seulement, d’une . des lignes r, r ou r", et alors on peut calculer immédiatement cette ligne par la méthode exposée, art. 29 , sans détermineV, préala^jfntient, les angles F et/, èn employant seulement l'angle c et les longueurs b' et Voici une application* que j’ai faite de cette seconde méthode à la détermination de la hauteur, au-dessus de la mer, du laq de Niufa, d’où le fleuve du même nom tire ses eaux. Les ni-
vellements, faits ayant moi , ne s’étaient pas étendus josqu’à ' ce lac distant de la mer d’environ 47000 mètres. '
Scaccia , ci-dessus mentionné , a mesuré une base de a4o mètres, divisée comme la précédente, en trois parties de 80 mètres chacune ; le signal le plus près du lac était numéroté i , et les autres a , 3 et 4 > l<t progression des numéros suivant celle des distances. Les observations ont été faites, comme celles du pont des Due Luci du haut de la tour de Sermonetta. Voici les données.
angle entre les centres des mires , N**
( i et 3 ...... c' = a» 4 ' 34 "
I et 4 c" = t a I '
distances entre les centres « «t 3 ^.... h des mires | 3 et 4 b"
Les formules de l’art., cité sont
itn.c' J h
, et on a
log.sin.c' =a, 55 po 3 ^ log. =j',94^090p compt. Iog.sin.c"= i ,7437890 'compt. log. Z>' =3,7968800
log. n =0,00 1 79 1 9 log. cos. c =î, 9993600 log. a=o, 3 oio 3 oo
•, log. a ncos. c = 0,3031819 •■ a » cos. c =a,oo 53 i 16
a log. n =o;bo 35838 ^ ^ /»’ = 1,0082861
,C =a, 0082861 ' a n cos. =a,oo53i 16
m’ =0,0029745 . log. /»■ =3,4734140
log. 6 = a, 38 oaiia , log. m =3,7367070
• r log. r = 3 , 6435 o 4 a ‘ / = 44 oo", 5 a.
( 45 ) Voici une applicahon des formules de l’aVt. 3o à la dc'termination de la hauteur de la Ainfa , au pont del Viale , situé a 3 ooo" du lac et à. 44 ooo“ de la mer, en suivant la direction du fleuve. . ,
On a vtf , c et n ayant la même signification qu’à l’art. 29, qu il fallait d'abord calculer l’angle ^ par la formule ,
tang. I „
* 2»co*.e . ,•• .
et ensuite la quantité m-, par l’équation
!-» «’+ a/icos.c)tang.(ij. — i*)
et enfin les distances
m’ ” m«in /.»* — "Z"
les données sont * •
♦ c' =3‘’43' 9" ••tâvrf- * \ ">j ao 59
l>' = ia 4 “
ï = imr'
effectuant le calcul, d’après ces données, on a
log.i" =£.79239 17; log. sin. c'ï=a/i734820
lop. b" sin. c =o, 4(>4S73.7 log. b' sin. c"=o, 4 fi 55 o 3 3
log. b’ = 2,0934217 log. sin. c" ^ 2,3720816 log. b' sin. c" = o. 4 (>.»r)o 33 log. n‘ =0.0007408
, n' = \ ,00 1 7072 2 n cos. c— 1 .99(i7022
log. cos. c = 1,9989129
log. 2 n oos. c=o. 3 oo 3 i 33
log. 1 -t- «’ =n, 3 o 1 4 o 1 1 log. 2 n cos. c — tt, 3 oo 3 1 33 log t;mg. ^ =0.0010878
on peut calculer tang. ( <}, — 4 r ) par la. méthode de l’article ( 4 o) et on aura . ' . .
log. (^^) = 2,4121674 '
4 compt. log. cos. (o* 4 ' i 8 " 44 )=o.oooooo 2 |i„g.co>iiiiu.«qu'ii • compt. log. R" . . . . = 5 , 68557 .i 9 );;- 7 ;;. 7 ;;; 7 ; 7 ^
^1 céder* i«i* .4 ou 5
, log. tang. ( 'i' — 4 ’') =^■>‘^ 9774 “^' ouniiiej. •
‘ log. (i -t-«’ -t- 2 wcos.c) =0,(3018873
log. =3,(3996298
log. W. .. =2,8498149
log. i. .. =2,2695129
log. — = log. r” =3,4*969®®
(46) 1.Æ dernier exemple que je vais donner do calcul des “ dbtances horizontales, d’après les formules des art. 3 1 et 3 a,
'se rapporte àuDeopération quiaexigé la plus grande précision dans la mesure des angles ; il s'agissait de déduire une longueur de plus de 565 o mètres de l'observation de deux segments^ de base dont le plus grand n’avait qu’environ a 3 mètres- Cette base était tracée contre le mur du couvent de Tor tre ponti et j’observais les angles dù haut de Tour de Sermonetta ; ’
Voici les données.
c' = O* 1 5' ag"^ = gag", 4 c"=o* la 3a ,o= ^.5a ,o
b' =a 5 “,ga i"=ao ,g4
D'après ce qui est prescrit à l'art. 3 a, on doit déterminer I* une quantité^ par l’équadon f= ^ angle y'
par l'équation tang. y = ,et faisant y" —c — y , on a ,
art. 3 i ,V = .
‘ sin.c
Il faut donc avoir les logarithmes de tang. c , sin. c et taug. c; et, vu la petitesse des angles on aura recours aux règles de l’art. 4 o. Voici le calcul.
Yr
log. tang. c'
J, log. tang. c
- ^ log. sin. c
• log. 9 a 9 , 4 =:a, 968 apa 7 com pt . ( J log. cos. c')= 0^00000^9
log. 1681,4 = 3,3956710 compt.( ’ 1(^. cos. c)=o,ooooo96
Ufg. 1681,4 = 3,9956710
■| log. cos. c = I,9999jj59
compt. log. RJ '=8,6855749
compt. log. R" = 6,683.57.19
compt. log. R" =6,685574.9
log. ung. c” = 3,6537805
log. tang. e= 3,9 II 9555
, log. sin. c = 3,91 1 i 4 ti '
calcul de b' — f
calcul de c — y' =7"
log. tang. c — 5,6537805
log. {V —f =2.9.638017
log. b, . . ^1,6708023
compt. log. A"= 2,67909.33
compt. log. tang,^;i== 2.0887.445
comp. log. tang. c = 2,3462 1 g 5
•og/='. 4'33273
log. tang. y'= 1,2890445
v' = iro' 35 "
y"=c — y'= — (io- 3 a' 34 ")
0111001 tk r log. b =
• log. cos. f" = compt. log- siu-
log. r =
