CHAPITRE VI. Solntions de différena problfanet

CHAPIllffi yn. Notes et Additions ^ 264

Préambnle de ce chapitre. ...••••. ^ • • . «rfrûf.

5 I*'. Constitution intime dès corps^ et parHcoUërement des

fluides; nature des forces moloculaires. . • . « • .^« . . . • . .- 267

5 IL Conrersion des. sommes en intégraler. . • ^^^-^^ .-•.>.••• 277^

5 ni. Équations générales de l'éqnîUbrc des lliiider... • . . a(^

§ lY. Dépre8sion*du mercure dansde l>an>mëtra. *.^^. •...••.... dà^

5 ^* Expériences sur les mélanges. ......' agï

5 VI. Pbéncvnëne de l'endosmose .r.. agS

Errata.

9, ligne lo €«-imwmiM>t, k miiaeei^lûtt^Mtfulii^ i8, 19» iitfUêêÊ^im

7 en nmomant, fufrpiimes la^si^M / . daartiateoiidiiMmbte-dfrr^qOAtîoB;

47, i3 6D NmoBCnt» lé fiki , IfiMs Je âiêt dèB

79, II «BftBioiittaityP.lû^^*

9|8, 8, ^eompKniid,lM0«q«&.compreiidniit

• 9, «€ q«i j'obtient, liiez si on poofMt l'bbttnir

lOy êup prin & n p«r 1(* mteieprocédé lot, 4 «n r^o&tADt, iuppriihez il ne dungora pat lonqo^on indîiMni ktolft (no 38^-

<8Q> »a» l/>» ^ «f. Use» Vy — «»

«I» 4» $■^•9519, liw« o»«»,95i9

tif , ' a «B r«moactiit| et à cette, li<es et cette

i»5, 3, «éfMtf, lÎM* fPMitif

)3£s (>9 re7Bii/iMetléeexpoeaiii3,5, 7,etc.,deii,per t«a,3,eic.

i44, S eBreiaoiit4iit,4r=:— f,/ti0s«^ss — ^1

ifa, ' 10 CBjrcmontftBt, T, *V;iiêe% T, T^ V

iSS, i5, «» /ic«e 4:

195» <o, U cèoehe, /Iim k coafbe

aSS, 4 o^ linontaBt , — ^ A', iiies — ^ A> sîn •

H^, 4, eei OMMNt, U$m U»w\

DE

L'élévaticm de Teaa et rabaissement du mercure dans-jm tube de verre d'un très petit diamètre sont des phénomènes très ancienne* ment connus, qui se présentent, au premier aspect, comme des exceptions aux lois de IHjf drostatique , et dont on a donné pendant long-temps des explications qu^il serait inutile de rappeler. Les tibéo* ries qui ne sont pas fondées sur le calcul et l'observation doivent maintenant être bannies de la Physique, comme elles le sont de l'Astronomie. Lors même que la véritable cause des phénomènes est connue,. il n'y a que l'analyse mathématique qui puisse découvrir leur liaison réciproque, et les déduire les uns des autres, en employant les seules données indispensables de l'expérience. Les effets , si nombreux et si variés, qui se rapportent à l'action capillaire, en offrent l'exemple le plus remarquable; car, sans le secours de l'analyse , ils seraient restés isolés , et l'on ne serait pas parvenu à les prévoir ou à les expliquer tous avec précision, et encore moins à en déterminer la grandeur, au moyen de deux données spéciales empruntées à l'observation, l'une relative à la matière du liquide , et l'autre dépendante de cette matière et de celle du corps dont le contact donne naissance aux différens effets dont il s'agit.

Quoique l'ascension d'un liquide aunlessus de son niveau soit pro-

a NOUVELU; THÉORIE

duite par TactioD du tube dans leqaef elle a lieu^ on sait cependant quelle ne dépend pas de son épaisseur ^ et Jurin a fait voir que^ pour un même liquide, l'ascension ou la dépression dans des tubes capillaires formés d'une même matière suit la raison inverse de leurs diamètres intérieurs. Ces deux faits importans étaient constata par rexpérience, lorsque Qairaut esss^, le premier, de ramener les phénomènes de la capillarité aux lois de l'équilibre des fluides, dont il venait de trouver les équations générales (i). II considère un canal infiniment étroit, situé dans l'axe du tube, et se prolongeant au-dessous de son extrémité inférieure , pour se relever ensuite en -dehors et aboutir à la surface plane et horizontale du liquide; il montre que l'action du liquide sur la partie inférieui*e et sur les deux branches ascendantes de ce canal se détruit en partie, et qu'il ne subsiste que l'action du ménisque qui termine le liquide dans l'intérieur du tube; et, selon Qairaut, cette force, jointe à celle qui provient de l'action directe du tube , doit faire équilibre au poids de la partie du canal élevée au-dessus du niveau exté* rieur. Cette conclusion est exacte ; mais il aurait dû ajouter que la seconde force , qu'il regardait comme la principale , était au contraire insensible, et ne conserver, en conséquence, que la seule action du ménisque. En effet', si l'action du tube ne dépend pas de son épaisseur, il en faut conclure qu'elle n'émane que de sa couche intérieure, d'une épaisseur insensible, en sorte que les points du tube qui sont k une distance sensible du liquide n'agissent pas sur ses molécules , ni par conséquent sur les points du canal ddnt la distance au tube est égale k son demi-diamètre. Faute d'avoir fait cette remarque et de Tavoir étendue à l'action du liquide sur lui-même , Qairaut a seulement ouvert la route , et n'a pas pu déduire de son analyse la loi expérimentale que Jurin avait trouvée. Mais quoique

^i) Théorie de laj*gure de la Terre, première partie , chapitre X,

i.es -dées nous paraissent aujourd'hui très naturelles^ et qu'on trou* /ct déjà un exemple du calcul de ce genre de forces dans la map-^*re dont Newton avait déterminé Faction des corps sur la lu-

ière, il s'est néanmoins écoulé un long intervalle de temps avant que nous eussions une théorie de Faction capillaire où l'action du tube et celle du liquide fussent envisagées sous ce point de vue.

Dans cette théorie, que Laplace a publiée en 1806 et 1807, il considère Faction des molécules du tube sur celles du liquide et Faction mutuelle des molécules du liquide, comme des forces attractives, décroissantes très rapidement suivant une loi inconnue, depuis le contact jusqu'à une distance insensible, 011 elles disparaissent entièrement. Ces forces ont lieu en même temps que l'attraction newtcv niennc qui suit la raison inverse du carré des distances; mais l'effet de celle-ci n'est sensible que dans des masses très grandes, qui peuvent balancer Faction de la terre entière sur le fil-à-plomb placé dans leur voisinage, ou bien encore, quand on Foppose à une force de torsion très délicate, comme dans l'expérience de Cavendish pour mesurer l'attraction d'un globe de plomb d'une assez petite étendue.' Les phénomènes de la capillarité ne dépendent donc pas de l'attraction qui s'étend à de grandes distances , et qu'il sera permis de négliger, sans aucune erreur, pour ne s'occuper que de celle dont la sphère d'activité est supposée tout-à-fait insensible , et qu'onappelle proprement Vattmction moléculaire. En partant de cette h}^pothèse, Laplace obtient l'équation de la surface d'un liquide dans son état d'équilibre , soit en considérant son action normale sur un canal infiniment étroit et prolongé indéfiniment, soit d'après l'action îangentielle qu'il exerce sur chaque molécule superficielle ; méthodes (}ui ne sont pas essentiellement différentes, et dont l'une doit conduire à la différentielle de l'équation donnée par l'autre, ainsi que Laplace Fa fait voir à priori. 11 regarde l'angle sous lequel la surface

intérieure du tube est coupée par celle du liquide, comme ne dépen-

4 ÎNOUVELLE THÉORIE

daat aniquement que de la matière du liquide et de celle du tube; eu sorte que cet aiigle est constant et donné , dans chaque cas , pour tous les points du contour de la sur&ce capillaire ; le liquide ^tant supposé homogène , anssi bien que la matière du tube, L équation qui résulte de cette considération et celle qui appartient à la surface entière sont >Ies deux équations du problème; dles renferment les deux constantes spéciales dont j ai parlé tout à rhenre ; et c'est de ces deux équations que Laplace a déduit lexplication des différens phénomènes observés par les physiciens.

Un ou deux ans avant Laplace, Th. Young s^était déjà occupé de ces questions (i). Des idéçs .ingénieuses rayaient- conduit à reconnaître l'invariabilité de Fangle sous lequel la sitr&ee capillaire vient couper celle du tube , et le rapport qui existe eiitre l'îélévalion d'un liquide dans un tube d'un très petit' diamètre et son âdhésiQD à un disque formé de la méin^ matière que le tube .; :màis - il 8*appuyait sur l'identité de la surface du liquide avec Qelle dVoe membrane également tendue en tous ises points; identité qui ne peut être que la conséquence , et non le principe , de la solution .du problème. Lorsque lé travail de Laplace eut paru^ Th. Young éleva contre sa théorie plusieurs objections, «parmi lesquelles il ny en a que deux qui soient importantes : Tune , que Laplace n'a pas en égard k l'action de la chaleur dans le calcul des forces moléculaires (2) , et l'autre , tirée de l'expérience, qui se rapporte au cas de plusieurs liquides superposés dans un même tube (3). JTexaniiQerai celle-ci lorsqu'il sera question , dans cet ouvrage > de l'équilAre de ces liquides; quant à la nécessité de tenir compte de la répulsion. calorifique, il tie peut

(i) T^ransactions philosophiques, Rnnée iS(^.

(p) Supplément à la Théorie de VActim capillaire, page ^5.

(3) Supplémeni à F Encyclopédie britannique, article Cohésion des liquides.

rester aucun doute à ce sujet : mais, pour cela^ il suffit de prendre pour Factioa mutuelle de deux molécules , l'excès de l'attraction de leurs matières pondérables sur la répulsion de leurs quantités de chaleur^ et de considérer ^ en conséquence, la fonction qui lexprime comme une quantité qui peut changer de signe dans l'étendue de ses valeurs sensibles. Mais Laplace a omis, dans ses calculs , une circonstance physique dont la considération était essentielle: je veux parler de la variation rapide de densité que le liquide éprouve près de sa surface libre et près de la paroi du tube, sans laquelle les phénomènes capillaires n'auraient pas lieu, ainsi que je Fai déjà fait remarquer dans mon. Mémoire, sur l'équilibre des liquides (i).

En effet, dans l'état d'équilibre, chaque couche infiniment mince d'un liquide est comprimée également sur ses deux faces par l'action répulsive des molécules voisines, diminuée de leur force attractive , ou , ce qui est la même chose , on peut la considérer comme appuyée sur la partie du liquide située d'un c6té, et comprimée par la partie située du côté opposé; et son degré de condensation est déterminé par la grandeur de la force comprimante. A une distance sensible de la superRcie du liquide, cette force provient d'une couche du liquide adjacente à la couche infiniment mince, dont l'épaisseur est com-> plète et partout la même, c'est-à-dire égale au rayon d'activité des molécules fluides ; et, pour cette raison , la densité intérieure du liquide est aussi constante , abstraction faite de la petite condensation due à la pesanteur, qui varie avec la distance à la surface supérieure. Mais quand cette distance est moindre que le rayon d'activité moléculaire, l'épaisseur de la couche située au-dessus de celle que l'on considère est aussi plus petite que ce rayon : la force comprimante qui provient de cette couche supérieure décroît alors très rapide-

(i) Mémoires de t Académie des Sciences, tome IX , page 76 et suitantes.

u IN015 V hlle théorie

ment avec la distance à la surface , et s'éyanouit entièrement à la surface même y où la couche infiniment mince n'est plus comprimée que par la pression atmosphérique. Par conséquent , la condensation du liquide décroît de mème^ suivant une loi inconnue, à mesure que Ton s'approche de sa surface libre, et sa densité est très différente a cette surface et à une profondeur qui excède un tant soit peu le rayon d'activité de ses molécules, ce qui suffit pour quelle soit égale h la densité intérieure du liquide. Or, on démontrera, dans le premier chapitre de cet ouvrage, que si l'on négligeait cette variation rapide de la densité dans l'épaisseur de la couche supeiiicielle (i), la surface capillaire demeurerait plane et horizontale, et il n'y aurait ni élévation ni abaissement du liquide. On fera voir de même la nécessité d'avoir égard à la compression variable que le liquide éprouve près de la paroi du tube , et qui s'étend jusqu'à la limite de l'action exercée par ce corps solide.

En ayant donc égard à ces données physiques de la question , je suis parvenu à former, dans les chapitres II et III, l'équation commune à tous les points de la surface de contact de deux liquides superposés et contenus dans un tube quelconque, et l'équation particulière aux points de sou contour , ce qui comprend , comme cas particulier , les équations relatives à la surface libre d'un seul li* quide. Leur forme est la même que celle des équations de la Mécanique céleste; mais les, expressions en intégrales définies des deux constantes spéciales qu'elles renferment sont très différentes, de sorte

■ I ■! — ^i—^— — — — — 1 I I I H I II I— M— — — — il— — ^—W — H^M^— ^— —— ^i— ^

(i) Cette épaitieiir doit être de gruideor finie, mmU absolomeut insensible, iVaprës l'hypothèse ^a'on a faite sur le peu d'éteadae de la sphère d'activité mo* lécalatre. Gela est ooafirmé par une expérience de M. Gay-Lossao. Ayant réduit an eorps en poussière tràs fine, il a troaré sa pesanteur spécifique sensiblement la même avant et après cette opération; d'oii il faut conclure que l'épaisseur de la eouche dilatée qui termine chacune des parcelles de poussière, est insensible eu égard k leurs dimensions.

que leurs Yaleur& numériques le seraient égalemenl si , au lieu terminer par l'expérience , on pourait les calculer directement d'après leurs expressions analytiques, ce qui exigerait que Ton ocmnàt les lois des actions du tube sur le liquide et du liquide sur lui-méme« On trourera, dans les chapitres suivans^ les applications de ces équations générales k l'équilibre des liquides dans les tubes d'un très petit diamètre et k d'autres questions analogues , et Ton y pourra remarquer l'usage que j'ai fait des tables elliptiques de M. Legendre , pour la solution rigoureuse de problèmes qui n'auraient pu ^ sans ce secours, être résolus que par approxinsation.

Depuis que cet ouyrage est écrit, j'ai eu connaissance d'un Mé* moire de M. Gauss, qui parait en ce moment sous le titre de Principia generaUa theorim figurœ Jhddonun in statu œquUibrii (i). Pour former les équations de cet équilibre, l'auteur a recours au principe des ntesses virtuelles, qu'il applique à la masse entière du liquide, et non pas, comme dans la Mécanique analjiique^ à un élément différentiel de cette masse. Il trouve, de cette manière, qu'une certaine intégrale sextuple> étendue à toute cette masse, doit être 'un minimum. Dans le cas d'un liquide homogène et in* compressible, il réduit d'abord cette quantité à une intégrale quadruple; et en considérant spécialement le cas où les forces appliquées au liquide sont, la pesanteur et l'attraetion mutuelle de ses molécules, dont la sphère d'activité est insensible, il réduit de nouveau la quantité dont il s'agit, qui est ensuite composée de trois termes, savoir, le produit du poids du liquide et de l'ordonnée verticale de son centre de gravité , l'aire de sa surfisice libre multitipliée par une constante qui ne dépend que de la matière du liquide, et l'aire des parois fixes contre lesquelles il s'appuie, multipliée par une seconde constante dépendante de la matière du liquide

(i) Gottingue, i83o.

iiyi

et de oeDe de la perde solide du système» Par les règles connues du caknl des Tariations, on détermine la snr£M» inconnue du liquide qui rend cette somme un mininwm, et, comme on sait, on trouTe à la fois Féquation générale de cette snrCu» et l'équation particulière de son contour, ce qui est layantage carKtéristiqne de la méthode que M. Gauss a suivie. Mais cet illnstre géomètre étant parti des mêmes données physiques que Laplaœ, et n'ayant pas non plus considéré la Tariation de densité aux extrémités do liquide, qu'il a regardé, au contraire, comme ioeompKSsible dans toutes ses parties, les objections qui s'élèrent contre la théorie de Laplace s'apjdiquent paiement k la sienne , qui ne difière de l'aufre que par la manière de former les équations d'équilibre. On peut , à cet égard, employer différens moyens; mais, sans craindre de compliquer le calcul et d'en augmenter les difficultés, il importe de ne négliger aucune des circonstances essentielles de la question # parmi lesquelles il £aiut compter surtout la dilatation du liquide près de sa surface libre et la condensation qui^nt être produite par l'attraction, du tubCir

La conséquence générale que Ton tiren de notre théorie, c'est que les phénomènes de la capillarité sont dus à faction moléculaire , modifiée, non«-seulement par la courbure des surfaces, comme Laplace l'avait dit , mais aussi par l'état particulier des liquides à leurs extrémités.

M»»%%M<»»»MM^M^^ <MM <<l>><»)¥»MMMWI»WM»W>M<Wlft>M<»<<M<^^