CHAPITRE PREMIER

Discussion préliminaire.

(i)» La théorie de Taction capillaire se compose de deux partiesdistinctes : Tiiiie est relatÎTe à la surface du liquide contenu dans un tube, Tautre se rapporte au contour de cette surface et à l'action du tube sur le liquide. Nous allons, dans ce premier chapitre, examiner successivement les principes que Laplaœ a suivis dans le supplément au livre X de la Méamique céleste, pour traiter ces deux parties de la question ; nous montrerons les difficultés auxqueUes ils sont sujets, et en même temps nous ferons connaître ceux que nous nous proposons d'y substituer, et qui seront la base de la nouvelle théorie qui fait Tobjet de cet ouvrage.

Ainsi, nous supposerons que les molécules du liquide sont soumises à une attraction mutuelle qui n'est sensible qu'à des distances insensibles, et que les points matériels du tube exercent une semblable action sur ces molécules. Comme dans la tïiéorie de Laplace , nous ferons d'abord abstraction de la répulsion calorifique ; nous n'aurons point égard à la dilatation ou à la compression du liquide près de la surface ou pris des parois du tube , c'est-4i«dire que nous y regarderons la densité du liquide comme étant l^ même que dans son intérieur. Enfin, pour calculer les résultantes de l'attraction moléculaire , nous partagerons le Volume du liquide' et celui du tube en élémens infiniment petits, puis nous exprimerons ces forces par des intégrales définies relatives à ces élémens.

(a). Soit AÔB (fig. i'*) la surface du liquide. Par le point quelconque 0, menons le plan tangent COD; appelons ^ l'élément infiniment petit, commun à cette surface et à ce plan; et sur a», comme base, élevons dans l'intérieur du liquide un cylindre OE normal et

10 NOimiLE TilÊDiliE

iadéfiniment prolongé. Désignons par No» Faction exercée par le liquide sur ee cylindre^ stHyant sa longiietir''et de dehors en dedans. On pourra diviser Noi en deux parties : Tune relative à la portion du liquide terminée par le plan COD et dont le cylindre fait partie, Tautre co^rôS]p<lad4ntè* ' stf entre ce

plan et la surface AOB ; et si Ton désigne la première par Kea , et la seconde par /juû^ on aura

en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur^ selon que le li«^ quide setà cénacre ou convexe au point 0. La figure suppose que ce soit 1er premier* cas ^pd ait lieu.

Four i^akiitor K, Èoit M un point dn cjlindre OE, et M' un point quelcoaque du IftfdMe compris dans la sphèft d'activité de M. Appelons r la di^iicé MM', s et / les pet^ndiculaires abaissées de eés deux poînfâ sàr le^ plan COD, et éu'tin élément de ce plan, qui sera la basé d'un t^lifa&^e pândlèlé à OE et -comprenisint le point M\ Les élémens de vohime q«i répondent à M et M' auront pour expressions iêds et âiW ; et si Ton représente par f la cfenéitë du liquide , et par ^r une fonction de r qui n*ait de valeurs sensibles que pour des vidèuit^^iisensibles d6f Cette variable. l^Ction mutuelle de ces ânx Païens potn*ra s'iejtprtmef ]iaf^ te produit

7é mo/dsds!^

La fonction f r ne changera pas dé aigne dans toute l'étendue des valeurs de r, puisqu'on, a seulfment ^|strd à 1 attraction des molécules , et qu'on ne '^eni pas compte ^e ht répulsion due à leur calorique ; et si oa lin regarde comme positive ^ la composante de la force précédente^ <firijgée suivant lUfE, s^btiendl^ en multipliant

cette lonef par U jfLffoa^-j^ ^w «It le i9Miiius.4e l'angle M'ME.

Représentons pai^ u la pi^ojectlon dé r sur le plan. COD, et par f l'angle 4^é^^ette projéctiott ^it àveë une d^ite fixe, menée par le point dans ce mhtofi p^; Oh pourra ^prendre

DE V4CTIÛN CAFBMSEŒ. 1 1

oa aura eo outre

et la valeur de.Ed» 8'obtiendra par des mt^gt^tion^ telatives k u, ç, s'y s. Celle qui répond à IVngle i^ anra pour Itmilei (^95=0 et p= 27r, en désignant par ^ le Fapj>ort de la circonférenoe au diamètre ; elle s'effectuera immédiatement ; et si ]*on supprime le facteur » ^ on aura

K s» aTT/* /77f /• *-^ ududs'ds.

Soit (y un point de OE^ tel que l'on ait MO s= MCX. Far ce point, menons un jànû G^ODV parallèle à C6D. Il est évident que l'action du liquide compris entre ces deux plans , sur le point M , se réduira à zéro^ à cause que l'on n'a point égard à la variation rapide de sa densité dans la couche qui le termine. Si donc on fait

on pourra faire commencer à zéro l'intégrale relative à la nouvelle variable x , aussi bien que ies intégrales relatives a m et à ^. On aura d'ailleurs

r* = V -+■ (ar 4- ^y i

en sorte que pour toute: valeur sensible de l'une des variables positives u, a:, ^, la varîd>l(i r aura aussi une valeur sensible ^ et 9r sera nulle ; on poufn dooc éteindre ees^ int^p^c» jusqu'à l'infini , et écrire ^

Soit maintenant

s=:uz, x = ujr, €ls=zudz^ dx^=zudj;

les limites relatives aux.MniveUes variables set j^ seront encore zéro et llnfini , et nous aurons

13 50UVELLE THÉORIE

Si donc nooi «■ hrtî t u o M » r à la tvnble v , et que noos preniaoi.

les lîiiiite»rdatÎTeiàr«eroiitaHBr=soetrs=30, etfl en résuhen

K =s lar^qj r^fnir.

eo frisant 9 pour abroger ^

Mais on a

Il ^

on aura donc enfin

(3). Caicnlont de même la valear de /i. Pour cela, je partage le méniiqne en cjrlindfes peqpendicnlaires an plan langent GOD, qni aient pour bases les âémem infiniment petits de ce plan, et ae teim^ nent k la snrfiure AOB. Soit U!(y (fig • a) Fnn de ces cylindres. Dési» gnons par ^ sa base^ et par Ç sa bantenr; en aorte qne m^ soit son volnme* Pour qnll agisse snr le cylindre OE, il frndn qne la distance OSr soit tris petite, et, par conséquent, qne l'ordonnée Ç de la snr&ce soit très petite dn seomd ordre; on ponrra alors, sans eiw rear sensible, regarder tous les points àe MtV comme exerçant des actions égales et parallèles snr le point quelconque M de OE , et prendre

pour raction totale de MfiY, sur Télément mds qui répond à ce point; les distances MO et MM^ étant représentées par s et r, comme précé-

DE L'ACTION CAPILLAIRE. i5

demment. Cette force étant dirigée de M vers M', sa composante suivant ME sera négative, et s'obtiendra en multipliant cette force par

— >-. Si Ton appelle u la distance OM^ et p Fangle qu'elle (ait avec une

droite fixe, metaée par le point dans le plan tangent, on aura .

et Ton en condura

Soient n et nf les deux coordonnées de M' relatives à des axes rectangulaires, menés par le point dans le plan COD, de sorte qu'on ait

«ssttdnp, nfzszucoiv.

La valeur de Ç sera donnée en fonction de )f et )f' par Téquation de la sur&ce du liquidé! on poana la développer en série très convergente, suivant les puissances et les produits de n et yf } et comme

KfTp ji| s^évanouissent en même temps que ces deux variables, on aura

en négligeant les tenues du troisième ordre, et désignant par Q, Q', Q'^ des coefficiens indépeodans de ii et ll^ Je substitue ces valeurs de C , )f , n', dans celle de fc , et j'effectue l'intégration relative à (^ ; il vient

;» = -H(Q + QO, en fidsant , pour abréger ,

«-*^/oX*P'*T^'^

On réduira cette intégrale double à une intégrale simple , en faisant d'abord

s = uor, ds ss: udx, et ensuite

f4 fKfOWLLB TflËORIE

==^ dw ^

€t ifsa

Prenons pour axes des ooordoanées « et ir' les tangentes au sections normales de fias grande et de moindre conrlmre, de la snr- (aoe do liquide an point 0« En désignant par X et A' les rajons de ces denx courbures principales^ nons anrons

A ^~'^» A'— A'» — ^V' aa moyen de quoi la Talear de /t sera

quantités K et ^ lyant été supposée

N=.K lB(:+^)i (5)

formule dans laquelle on r^ardera A et >/ comme des quantités po- .<«itives« Pour Tétendre au cas de la surface convexe^ il suffira dy changer les signes de A et A'; et ^ généralement, on y considérera chacune de ces deux quantités comme positive ou comme négative, selon que la ligne de coiM*bure à laquelle elle répond tournera sa concavité en-dehoes ou en-dedans du liquide»

Les expressions des coefficiens K et H que cette formule renferme s'accordent avec celles que Laplace a trouvées^ sous une autre forme, pour les mêmes quantité. En effet, on suppose, dans la Mécanique céleste ,

fprdr tm c -^ fJr, fiïlrdr sa c' — '^r; les intégrales commençant avec r, c etc^ étant leurs valeurs quand ra

DE l^AGTKKf ; (SAFEiMIRE. i ^

une grandeur sensible p Tir et ^{rf; désignant des fonction^ qui s'éva* uouissent pour toute valeur sensible. de r. D'après cela^ on a

en rétablissant la densité f que Liaplace a prisa pour unité , et la limité h étant "«ne quantité de grandeur sensible, qu'on pourra , sî Ton veut y reoiplaetr par l'infini. Or^ si Ton intègre par partie, il vient

K = MTfHi^h — ^*ry ^ * sssuTTf^f r^Tlrdr, intégrant de nouv^u, on a

ce qui coïncidé avec les fbrœules (i) et (p) , en prenait /| ss oo .

(5)« Lorsque h surface du liquide aeMXoaaue, et que les valeurs des constantes K et H, dépendantes de sa nature, seront données, la formule (3) fera connaître l'actiiMi quai akerce sur un filet cylindrique, normal à cette surface au point où il la rencontre. Si , par exemple . la surface du liquide était celle de Y site fniHinm, €Hi aurait

et l'action dont il s'agit serait constante et la même que dans le ca^ d^une surface plane.

Réciproquement, on conclura de cette expression de N Téquatiou de la sur&ce libre^ d'ttaiiquide hoBlègène^9él^Bi8 à Tattaraction mu» tuelle de ses molécules et à d autres forces données , telles que la pesanteur. En effet, l'actioa de ce liquide sur tous les points sensible* ment éloignés de la surfàpe étant égale en tous sens et se détruisant

i6 NOUVELLE THÉORIE

par conséquent^ Nui exprimera enooitr cette action iitf le filet OE (6g. S), normal an point quelconque 0^ lors même qu'il cessera d'être droit à une profondeur sensible, pourvu que la section perpendiculaire a sa longueur ne varie pas, et aoit toujours éffle k c#« Suj^kmous donc que ce filet curriligne vienne aboutir en un point fixe L de la surfiace du liquide, et qu'il soit aussi normal en ce point; Désignons par l et P les valeurs de X et X' relatives à ce point L, Les actions du liquide sur le filet OEL seront Nui au point 0, et N'ai au point L ^ ça appelant N' ce que devient N quand on 7 met / et P, au lien de \ et A^ Si donc la pression extérieure est nulle ou la même aux deux points et L , et si Ton suppose que U pesanteur soit la seule force donnée qui agisse sur le liquide, il faudra , pour Féquilibre du filet OEL , que lexcès de N'ûi sur Naé soit bali^icé jpar la différence des actions exercées par la pesanteur sur les deux branches de ce filet , sui«* vaut leurs longueurs. En appelant donc A cette différence, il faudra qu'on ait

N'ai — Nai s A.

Or, si Ton repr&ente par g la pesanteur, par z Tordonnée verticale d'un point quelconque du filet, et par ds l'élément de sa longueur, gpcûds sera le poids de la masse correspondante à cet élément , et gf(^dz sa composante Suivant la longueur du filet ; d'où Ton conclura

A SB gpcùz,

en prenant le point L pour origine des coordonnées, et comptant les z positives au-dessus du plan horizontal passant par ce point ; et si Ton substitue cette valeur de A et celles de N et N' dans Téquation d'équilibre, il en résultera

iH(J + J)-iH(i + i.) + g/z«o, (4)

pour l'équation de la surfiace du liquide qu'il s'agissait d'obtenir.

(6). Les points et L peuvent être des points de la surface du liquide situés en-dehors ou en-dedans du^ tube. Le raisonnement qui nous a conduit à l'équation (4) subsistisra toujours, pourvu qne le

filet OEL ne soit pas interrompu par le tube , et il suffira pour cela de le faire passer au'-dessous de Textrémité inférieure du tube lorsque l'uu des deux points sera en-dedans et f autre en-dehors. Si le point L est en-dehors , à une distance du tube assez grande pour que la sur^ face du liquide y soit sensiblement plane et horizontale,. on aura

et Tëquation précédente fera connaître l'élévation ou l'abaissement de chaque point de la surface capillaire, au-dessus ou au-dessous du niveau Axtér^eur du liquide.

Cela étant, supposons que le tube soit formé d'une matière homogène, et que sa surface intérieure soit celle d'un cylindre à base circulaire et qui ait son axe vertical; il est évident que, dans ce cas, la surface capillaire ne pourra être qu'une sur&ce de révolution , dont Taxe de figure sera celui du tube. Au point situé sur cet axe , les deux rajyons A et A' seront égaux et de même signe. En désignant par b leur grandeur absolue , on aura donc

A = A'= =fc *,

selon que le liquide sera concave ou convexe ; et si l'on représente par h la valeur de z relative au point dont il s'agit, et qu'on supprime les termes de l'équation (4) qui dépendent de / et f , on aura

g'pA sp y = o , (5)

pour déterminer l'élévation ou rabaissement du centre de la surface capillaire.

En ayant égard a la formule (:i) , on tire de là

et comme fr est constamment positive, k cause que Ton a seulement égard à l'attraction des molécules, il s'ensuit que l'ordonnée h sera positive ou négative , et, par conséquent, que le liquide s'élèvera ou s'abaissera dans le tube , selon qu'il y sera terminé par une surlàce concave ou convexe; ce qui serait, en effet, conforme à Texpérience. Mais , dans la supposition de ^r positive pour toutes

i8 NOUVELLE THÉORIE

les yalears de r, noa-ieuleinent H, mais aussi K, serait positif; or, on va yoir que la force K doit an contraire itre négative, poui (aire équilibre à la pressiop extérieure; ce qui suflSra peur rendre inadmissible l'hypothèse de fr constamment positive.

(7). Par un point 0, (fig. 4) appartenant au filet normal OE, et situé à une distance quelconque du point , menons un plan C.OiD, parallèle au plan tangent COD. L'action du liquide compris entre ces deux plans , sur la partie 00, de OE , sera évidemment nulle, puisqu'on y suppose la densité constante. Nous appellerons K^cû l'action sur ()0| de l'autre portion du liquide terminée par le plan C|0,Di , laquelle action sera dirigée suivant 0,E, et s'ajoutera k l'action du ménisque qu'on a d&ignée précédemment par fi. Celle de la pesanteur, ou le poids de 00, décomposé suivant sa longueur, aura gpcLcù pour valeur, en appelant « la perpendiculaire abaissée de sur le plan horizontal passant par O,, ou la différence de niveau de ces deux points. Enfin , en appelant II la pression extérieure rapportée à l'unité de surface, qui sera, si Ton veut, la pression atmosphérique, il y aura encore la force liai qui agira sur 00, dans le sens des forces précédentes. Pour l'équilibre de cette partie du filet OE, il faudra donc que la somme de toutes ces forces soit égale k zéro, ou qu'on ait

K.+ A^ + gF« + n=:o, (6)

en supprimant le facteur commun ^ •

Observons d'ailleurs qu'on a K. s= K. En effet , soit M un point appartenant à 00,, M, un point situé de l'autre côté du plan C,0,D„ X, et X leurs distances k ce plan , r, la distance MM, , 11 sa projection sur ce même plan ; nous aurons

Le cosinus de l'angle EMM, sera ^LjlL • le volume d'un anneau dr-

culaire dont tous les points agissent également sur le point M, aura pour expression ^wududx , et celui de l'élément de 00, qui répond à M, étant a»d!r,, on en conclura, sans difficulté,

DE y ACTION CAPILLAIRE. .9

en supposant que 00| ait nne grandeur sensible, ou du moins plus grande que le rayon d'activité moléculaire , ce qui a permis d*ëtendre jusqu'à l'infini l'intégrale relative à .(,• Or, en y employant les lettres ^ et r , au lieu de ^. et r, , cette expression coïncide avec Tune de celles que Vtm a trouvées pour K dans le n^ 2.

Mettant donc K à la place de K. , et pour fi sa valeur dans Téqua-^ 'lion d'équilibre de 00, y on aura

ce qui montre que K sera généralement une quantité négative, dépendante principalement de la pression extérieure et de renfoncement du point Ot, atiquel elle i*épond. Si la sur&ce du liquide est plane , et que le point 0. n'en soit éloigné que d'une distance insensible , K sera simplement égal et contraire k la pression fl , et nul quand le liquide sera placé dans le vide.

D'après la manière dont Laplace a formé les équations (4) et (5) , il n'a pas eu besoin de considérer la quantité K qni n'y est pas com-* piîse, ni de s'occuper de sa relation avec la pression extérieure ; mais, suivant ses principes, cette quantité servit positive et extrêmement grande par rapport à H , ainsi qu'il le dit lui - même en plusieurs endroits, et comme cela résulterait effectivement des formules (x) et {2). Four que l'intégrale représentée par K puisse être négative , et que cependant l'intégrale que H représente reste positive , con-formément k l'expérience, il est indispensable d'avoir égard à Fat* traction des molécules et k leur répulsion calorifique ; on regardera alors, dans les fiormules (i) et (:i), la quantité ^^r comme exprimant l'excès de la force attractive sur la force répulsive , et ^r comme étant positive à toutes les distances r où la première force l'emporte sur la seconde, et négative à toutes les distances où c'est la seconde qui surpasse la première (^) ; mais nous allons 6dre voir que cette considération serait encore insuffisante, et que dans la théorie

Noos derom dire qae eette modifieitiaii à ta tbéorie a M indiquée par l'Auteur daoB nne note qui fait partie du Bulletin de la Société Philomatiqve, tn* née 18199 page lax

de Laplace, ainsi modifiée, la quantité H, d'où dépend réléralioo on rabaisfiement du liquide, n'en devrait pas moins être nulle ou insensible.

(8). Supposons que le filet OE , normal à la surfisioe du liquide, ne soit plus cylindrique , et que l'aire de la section perpendiculaire à sa longueur varie d'un point à un autre, quoiqu'elle soit toujours infiniment petite. La distance OM étant insensible et représentée par s, et €â désignant toujours l'élément de la surface du liquide au point 0, on pourra représenter Taire de la section au point M par a» (i -f- A::^) , en négligeant les puissances 4e s supérieures à la première, et désignant par k un coefficient indépendant de cette variable. Si nous regardons aussi la longueur de 00. comme insensible, l'expression cô(i + ks) aura lieu dans toute cette longueur, et nous pourrons partager le filet 00g. en deux autrei , l'un ajant une soction constante et égale k m, et Pautre une section variable et exprimée par uks. Soient U^A: et \'cûk les actions normales à la surface du liquide , et dirigées de dehors ennledans , qui seront exercées sur h seconde partie de 00, , par le liquide que termine le plan C|0,D, et par le liquide compris entre ce plan et le plan tangent CDD. Observons que Taction du ménisque renfermé entre CDD et AOB, sur cette partie de 00, , est du même ordre que les quantité qu'on a né^^ligées en calculant l'action ^ de ce ménisque sur la partie cylindrique de 00,, en sorte que uûê exprimera encore l'action du ménisque sur le filet non cylindrique. Le poids de OOi n'aura pas non plus changé sensiblement, et la pression extérieure qui a lieu Ii son extrémité 0, sera toujours Uc0. Pour l'équilibre de OOi, il Êiudra donc qu'on ait

K. + f*+ p^* 4-.n +UA: + V* =30 j

K| et /rgft étant les mêmes quantités que dans le numéro précédent. Or, réquîlibre devant exister, soit qu'il s'agisse d'un filet cylindrique , ou soit que l'on considère un filet dont la section varie , il est nécessaire que cette équation ait lieu en même temps que FéquatioD (6) , qui se rapportait au filel cylindrique. En retranchant l'une de l'autre, et supprimant le facteur commun A:, on aura donc

DE L'ACTION CAPILLAIRE, ai

Si Ton désigae par s^ la distance MOf et par / la longueur de 00, , et que Ton conserve toutes les autres notations du numéro précédent , on aura xs/— -<r, ^ et Texpression de U sera

U =. :«rr/;/,X *'•. ^^-^^^ udadxds, ; Ti étant toujours donné par Téquation

• r,'=s w* + (ar 4- s,y.

Soit aussi s' la distance d'un point quelconque du liquide au plan OOD^ r^ sa distance au point M, et u la projection de r' sur ce plan, en sorte qa*on ait

1^» = M* + (/ — sy,

et que le cosinus de l'angle que fait r' avec ME ait pour \ aleur — -p — ; nous aurons

V = ^f^f^Jlfj^ ^^^^ ududsdJ.

Ici Ton ne peut pas ^étendre jusqu'à l'infini les intégrales relatives à f et /, lors même que / aurait une grandeur sensible , parce que r^ n'a pas une valeur sensible pour toute valeur semblable de s' ou de s^ mais seulement pour une pareille valeur de leur différence. En ayant égard à oe que K. représente ^ la valeur de U pourra

s'écrire amsi :

U = /K, - ^f'/f/,Vl**^ ^'"*'^''' ' - udadxds,. Je fiiis d'abord

s,=:zujr, x=:uz, ds, =i udjr , dx s:z udz ^ et ensuite

u= ^' =. du

dr.

il en résultera

U =s flt, — ^^f^J ^t^Çr^eir, ,

en faisant^ pour abr^er,

A caase de

nous aurons

«t d'après la formule (a), la valenr précédente de U deviendra

L'int^pvle triple que Y représente se réduit également à des intégrales simples ; mais cette transformation exige une attention particulière, et nous allons l'effectuer en détail dans le numéro suirant.

'9). On a identiquement

« = i(jH-/)-f-l(f--y); d'où il résulte

et la première de ces deux intégrales s'ëvanooit, comme étant composée d'élémens qui sont deux & deux ^ux et de lignes contraires.

Je désigne par (^ une variable positive , et je fais successivement

et dans les deux cas

r'» fi= W -h 1^.

En partageant la dernière intégrale en deux parties, dont Tune réponde aux valeurs de / plus grandes que Sp et Tautre aux valeurs de s plus grandes que y, nous aurons

uu, ce qui est la même chose ^

DE L'ACTION CAPILLAIRE. aZ

Soit maintenant

rintegrale étant prise de manière qu'elle s'évanouisse avec /, c étant une constante qui représente ce que cette intégrale devient pour une valeur sensible de r^, et ^r^ une fonction qui devient insensible pour toute valeur sensible de cette variable; on aura

et y par conséquent,

en daignant par r la valeur de /.qui répond à pss/ — $ ^ en sorte

qu'on ait

/* = »• + (/ — sf.

Au moyen de cette transformation, Texpression de V devient dabord

Soit encore

les intégrales commençant avec f'^b e\a désignant leurs valeurs re* latives à / = oo , ^V et 4b V étant des fonctions qui s'évanouissent pour toute valeur de r' plus grande que le rayon d'activité moléculaire ; nous aurons

et ensuite

f^ Vw/i^=a-*''(^ — f).

Vi V- <|u «». >«: «tftrffji^ cifM^^

-pî' ^ ^ *- y ^

'*. uU^4> hKAy^»iuê^ ^ i».fti^ twup'A hon dû fôgiic /, €l la valeur pr^

— fi/ . \^^ 1 /

^ !,'>-^.t ««w/^/^ <Ur«« fvtt ^ mile f»r p»rtlç, et , à ctme d«-

/l'**'*^ = l/!*"*'^ = jfy^'d'»

»« «w,,l/.;,*„» i;, l^t^« ;. a^ |i^„ de , wus le signe /, et ëleodaot I u»My J. j«v<,/4 r^9i,cenm e»t permU, puisque fr est insensible * I* UmtUt ti^Ui Mu-Mk. On trouvera de même

on «uni tUmc

DE L'ACTION CAPILLAIRE. a5

exprettion qui est la même chose que

V=aH.— ZK,

en vertu des formules (i) et (2).

(lo). Je substitue cette valeur de Y et celle de U dans l'équation U-4-V = o; en observant que K = K,, elle se réduit à H = o : ce coefficient H serait donc nul , ou de l'ordre des quantité tout-àfait insensibles qu'on a négligées dans les calculs précédens ; ce qu'il s'agissait de démontrer. C'est aussi ce que j'avais déjà prouvé d'une manière différente dans le Mémoire cité au commencement de cet ouvrage, où j'exprimais les actions des différentes parties du liquide par des sommes 2 non réduites à des intégrales. Il s'ensuivrait que la surface d'un liquide contenu dans un tube capillaire resterait horizontale , et que le liquide ne s'élèverait ni ne s'abaisserait au-dessus ou audessous de son niveau extérieur; mais ce résultat tient à ce que nous n'avons pas eu égard à la dilatation du liquide qui a lieu près de sa surface ; et quoique la loi de sa densité dans l'épaisseur de la couche superficielle dépende de celle de l'action moléculaire , et ne puisse pas être déterminée, noua ferons voir néanmoins, dans la suite de cet ouvrage, que d'après cette variation rapide de densité , l'action du liquide sur le filet 00| ne difi%re pas sensiblement, soit qu'on le suppose cylindrique ou qu'il ne le soit pas. L'équation d'équilibre de 00. est identiquement la même dans les deux cas, et ne peut plus servir qu'à déterminer la valeur de K,.

Il n*est pas inutile de remarquer que la valeur de Y dont nous avons fait usage, se déduit de celle de U que l'on obtient, comme on l'a vu , beaucoup plus simplement. En effet, puisqu'on ne tient pas compte de la variation de densité du liquide, ces valeurs sont les mêmes que si 00| était pris dans son intérieur, et que le liquide s'étendit indéfiniment au-delà de la surface AOB. Dans cette hypotiièse, désignons par F l'action du liquide terminé par le plan tangent COD sur le filet normal et extérieur 00, , par Fi l'action exercée en sens contraire sur ce filet par le liquide , également indéfini , que termine le plan C|0,D, , et par VArâi, comme précédemment, l'action du liquide compris entre ces deux plans, sur ce même filet 00| et Ara le inême sens que F,. Faisons abstraction de la pesanteur, ou, autrement dit, supposons 00.

horizontal ; pour Tëquilibre de cette partie intérieure du liquide , il

faudra qu'on ait

F. 4- \ko, = F.

D après re qu'on a vu précédemment (n** 8), et à cause de K, =Ky la valeur complète de F, sera

F, = K«4-(« — H)*Ai-

Si Ton appelle a», la section de 00| qui repond au point 0^ , il est évident que la valeur de F se déduira de celle de F^ ^ en y mettant ctf, et — k au Heu de câ et k, en sorte que Ton aura

Je substitue ces deun valeurs dans Téquation précédente; il en résulte

VA:a> =(H— . /K) A: («, + i») +K(». — ») ;

et, à cause de â»,= «^(i +i^)f on aura

V = aH — /K ,

eu négligeant /*K et 2H; quantités qui dépendent, d'après les forroules (i) et (3), d'un même nombre de facteurs de grandeur insensible. Ce résultat servirait, au besoin, à confirmer l'analyse du numéro précédent, qui nous a conduit à la même valeur de V.

(11). Nonseulement il faut avoir égard à la variation rapide de densité des liquides près de leurs surfaces, pour expliquer les phénomènes capillaires, sans laquelle ils n'auraient pas lieu, mais, quelque peu compressible que l'on suppose un liquide, il faudra encore tenir compte, dans le calcul des pressions intérieures, des très petites condensations qu'il éprouve en vertu de son poids et de la pression extérieure, et ausa des variations de chaleur dont ces con*r densations sont accompagnées , a température égale*

Soit, en effet, M un point situé dans l'intérieur d'un liquide pesant. Par ce point, menons un plan qui divise le liquide en deux parties, que nous appellerons A et fi; élevons dans fi un cylindre C perpendiculaire à ce plan , dont la base comprenne le point M et soil représentée par tê ; prenons les dimensions de a», non pas infiniment petites, mais seulement très petites par rapport au rayon

d'àctiyite des molécules : si nous appelons ù^ l'action exercée par A sur C suivant la direction de ce cylindre, le coefficient p sera la pression normale de A sur B, rapportée k l'unilé de sarlace et relative au point M, ou ce qu'on appelle ordinairement la pression inté-rieure, laquelle est la même en tous sens autour de chaque point d'un fluide quelconque en équilibre.

Supposons que le plan mené par M soit horizontal , et que le cylindre vertical C s'élève jusque la surface Kbre du liquide, qui sera aussi plane et horizontale. Soit P le poids de C , et tic» la pression extérieure qui a lieu à son extrémité. Pour l'équilibre dé

C , il faudra qu'on ait

p« = P -I- Oui ;

et si le liiqnide est homc^ne , et que l'on désigne par f sa densité, par g la gravité , par z là hauteur de C , en sorte qu'on lait P = fgtm , il en résultera

;> = rgz + n j

ce qui montre que p variera avec la profondeur z de M et la grandeur de n. Or, dans un liquide homogène, la force provenant des actions moléculaires que p représente ne peut varier qu'à raison de la condensation du liquide et de la quantité de chaleur de ses molécules; quoique ces deux élémens soient très peu différens dans toute la hauteur du liquide et pour des valeurs très inégales de fi , si la température est supposée constante (^), il faudra donc néanmoins avoir égard à leurs variations dans le calcul de p. (i 2). Pour mieux connaître la nature de cette quantité p, /^oit ^ le

^) La tempét^ture d*an corps eft l'effet èe h quantité de chaleur qu'il eqniMkr nique ou qu'il anlèfe k un autre eorps, appdé thermomètre, jusqu'à ce que ceiûV ci ait oeMC de se dilater ou de ae contracter. Pour un même tkermoniHre et pour deux parties différentes d'un corps hooaogënei cette quantité de cnaleur dépendra de la chaleur prqipi*e de chacune des molécules et dn nombre de celles qui seront omtenues sous un Tolume donné. A ten^pérature égale, la choleor. propre des molécules Tariera donc aTccce nombre ou aTec le degré de condensation d'un corps homogène 9 et ne sera pas exactemement la même, par eiemple, dans toute la hauteur d'un liquide soumis k H pesanteur.

volume d'une portion du liquide comprenant le point M , et dont les dimensions soient insensibles, mais qui renferme néanmoins un nombre immense de molécules. En représentant ce nombre par n, et faisant

€ sera ce que j'ai appelé, dans différens Mémoires, llntèryalle moyen des molécules autour du point M. Le produit pm exprimant la somme des actions de toutes les molécules de A sur toutes celles de C, décomposées suivant la longueur de ce cylindre , il est évident que, toutes choses d'ailleurs égales, la valeurde p variera avec e. Si i était infiniment petit, la somme dont il s'agît s'obtiendrait par des intégrations, et la valeur de p serait donnée par une intégrale quadruple, facilement réductible à une intégrale simple. Mais i ayant une valeur finie et déterminée, cette intégrale ne représentera qu'une partie de la valeur de p, et il y faudra ajouter une autre partie dépendante de la grandeur de c , pour avoir la valeur complète de p. Désignons par n^ et à l'intégrale et la correction qu'on y doit faire , en sorte qu'on ait exactement

/» sa IV + A,

Quoique € soit extrêmement petit et tout-à-(àit insensible , même i regard du rayon d'activité des molécules, cependant je dis qu'on ne pouiTa pas négliger A par rapport à 4F , et que le premier terme de la valeur de p ne suffirait pas pour satis&ire aux conditions du numéro précédent.

En effet , soit r la distance d'un point m^ de A à un point m de C. Désignons par dv et di/ les élémens de volume qui répondent k ces deux points , et par frd^d^^ l'action mutuelle des quantités de matière et de chaleur contenues dans ces deux élémens ; en sorte que fr soit la mesure de l'action moléculaire è la distance r et rapportée aux unités de volume. Nous regarderons cette force comme positive ou comme négative, selon qu'elle sera répulsive ou atti^ctive. En désignant par s et / les perpendiculairas abaissées de m et m! sur le plan qui termine A, la force frdudA^ appliquée au point m de C, perpendiculaire à ce plan et dirigée du dedans au dehoi^

de A, ou tendante à augmenter s, aura pour expression

i±Ifrdvds/.

On en déduira la valeur de tmcà par des intégrations étendues à tous les ëlémens dv de C et dv^ de A ; mais va la petitesse supposée de û»^ rintégration relative à tous les points d'une section de C perpendiculaire à sa longueur, «e réduira k remplacer dv par oùds dans la dififérentielle. De plus, celle qui répond à tous les points de A situés à une même distance u de Taxe de C , consistera à remplacer dsi^ par amidud/i et par la nature de la fionction fr^ on pourra ensuite étendre depuis zéro jusqu'à l'infini , les intégrales relatives à u^ Sf /; en supprimant le facteur €$, on aura donc

^00 rvOB ^tO g A^ ^

«=?a^/ / y —2- — fr.ududsds'f

et en même temps

Pour l'objet qtie nous nous proposons maintenant, nous pourrions conserver la valeur de « sous cette forme ; niais, dans len^ 2, nous avons réduit une semblable intégrale triple à une intégrale simple , de manière qu'on a

Or , si Ton comprime le liquide , et que son volume soit diminué dans un rapport de i — - J^ à Tunité , le nombre des molécules contenues dans l'unité de volume augmentera dans le rapport inverse. A distance égale , l'attraction de molécule à molécule ne changera pas ; et s'il en était de même k l'égard de la répulsion calorifique , la quantité fr augmenterait dans le rapport de l'unité an carré de i — ^« Mais llntensité de la répulsion diminuant k raison de la perte de chaleur plus ou moins sensible qui accompagne la condensation du liquide , la valeur de fr croîtra dans un rapport encore moindre que celui de l'unité à (i -^ eT)*; par conséquent, la nouvelle valeur de ^ sera moindre que la précédente, divisée par (i — J^y* De là, il résulte que si la quantité p se réduisait à son premier terme «t?* , il

5o NOUVELLE THÉORIE

serait impossible qu'elle Tariât dans le rapport de k pression extérieure près de la surface du Hquide , ef qu'elle augmentât danS' son Intérieur proportionnellement à la distance du point M à cette surface ; car, pour de très grands accroîssemens de pression , / est une fraction extrêmement petite dans les liquides t qu'on appelle , pour cette raison , fluides incompressibàss»

Ainsi , pour remplir les conditions du numéro précédent , la somme que p repr&ênte ne peut pas être réduite à une intégrale , et il faut avoir égard aux deux termes « et À de sa valeur complète. Malgré la petitesse de e , le. second terme peut effectivement devenir comparable et même supérieur au premier, lorsque les deux forces attractive et répulsive, dont J^ provient, sont l'une et Faiitre extrêmement grandes par rapport à leur différence. On peut vxnr sur ce point les développemens et les exemples que j*at donnés dans mon Mémoire sur les équations générales de l'équilibl^e et du mouvement des corps iK)lides élastiques et des fluides (^)«

(i5). La quantité p est la pression sur un plan ; celle qui a lieu sur une surface courbe, suivant une direction perpendiculaire à son plan Langent , se composera de deux parties , l'une qu| sera la même que p, et l'autre qui dépendra de la courbure de la surface. L'une et l'autre seront des sommes relatives aux distances des molécules ; et si l'on représente la première par ZR, R étant une fonction de la distance r,

la seconde sera de la formé r ZHï , en désignant par h une ligne dépendante des rajons de courbure^ et ce diviseur linéaire étant compensé, pour rkomogénétté des quantités, par le facteur r oootenm sous le signe Z. Or, la variable r ne recevant que des valeurs îiisens»hles, afin que R ne s'évanouisse pas^ et la constante h ajant au contraire une grandeur donnée, le second temae serait, en géné^ i-al , insensible par rapport au premier ; et oelui-ci n'étant pas ex* trèmement grand, les phénomeues capillaires qui dépendent du terme relatif à la courbure seraient aussi insensibles. Mais cette nouvelle difficullé n'a plus lieu, si, oonime on l'a dit tout à l'heure, l'action moléculaire provient de deux forces contraires, dont cba-

mm»

(*) Journal de FÉcole Poljrtechnifue, 20' cahier, qui paraîtra incessamment.

DE L'ACTION CAPOXAIRE. 3i

cune est extrêmement grande, eu égurd à leur différence; circonstance qui peut rendre k quantité t Zfil comparable et même supérieure à ZR. Toutefois , la somme 2R étant iiréductîUe , d'après cette circonstance màfoe , k une intégrale , il B*ân iiut pas conclure que la même chose aura également lieu pour la somme SrR. On se convaincra sans peine du contraire par des oMmpks auxquels on appliquera la formule d'Enter , relative è ce genre de réductions , et qui montreront que si la premièi'e somme est irréductible par la nature de k fonction R , et malgré la petitesse des différences de r, la seconde ne le sera pas en général*

Pour rendre les calculs plus commodes et plus conformeis aux usages ordinaires , nous pourrons donc déterminer par dea intégrales définies les parties des pressions qui répondent amc courbures des surfaces , et généralement les sommes relatives à des fonctions qui contiendront un facteur de grandeur insensible^ de plus que h fonc-tiou soumise à la sommation dans le calcul de la pnessien ntomale à une surfice plane; ce qui ne dispensera pas d'ayçir ^rd à la variation rafiide de la densité, quand il s'agira de la couche superficielle du liquide 9 ainsi qu'on en a fait voir plus haut k néceauté. Vu l'extrême petitesse de Fintervalle qu'on a désigné par i, et qu'on regarde comme insensible k Fé^rd même du rayon d'aotivité des molécules, la décomposition du volume en élémens infinimept petite et le changement des sommes en intégrales , d'après k formule citée d'Euler, ne pourront donner lieu k aucune erreur sensible. Quant k la somme d'où dépend la pression sur un pkn , et qui £Ht exoey^ion à k règle générale^ c'est^-dine qui n'est pas réductible à une intégcak^ il nous suffira d avoir expliqué comment elle peut varier, suÎTant un rapport quelconque, pour des variations très petites dans les intervalles moléculaires^ provenant du degré de condensation du liquide. Nous n'aurons pas besoin d'en calculer à pnoH k valeur; elle dé*pendra de la pression extérieure, de k pesanteur et des autres forcée» données qui agissent sur le liquide ; et son expressioa an fonction des coordonnées d'un point qoekonque , se déduira j comme de coutume, des équations de l'Hydrostatique.

(i4). Jusqu'ici nous ne nous sommes point occupés de l'action du

3a NOUVELLE

tube sur le Kquide dnik kfinel il est plonge En cajcalant la partie de cette force qui est employée à soutenir le liquidç an-dessus de son niveau , Lajdace n'a point égard \ Tétat de ooifipréséibn de la couche sur laquelle elle s'eieroe« Now allons d'abord ?a)ipèler l'équation entre le poids du liquide sonWréet les actions du tube et du liquide extérieur p qu'il obtient en regardant sa densité comme constante; puis nous montrerons la nécessité de tenir oompte> de la yariation rapide qu'elle éprouve près des parois ,àa tobùp aussi bien qu'à la surfitf^e libre du liquide.

Supposons que U sur£ice intérieure du tube sœt eylindrique et vertiode, et que son extrémité inférieufe ait une forme quelconque. La figure 5 représente une section verticale du tube et du liquide; la droite DE et les courbes EF et AOfi sont la génératrice de la surface cylindrique et les sections de la surface inférieure du tube et de la surface libre du liquide. Dans ce plan vertical^ et k une distance insensible de DE, soit OCK l'axe d'un filet fluide vertical d'une épaisseur infiniment petite et constante , et WCVf celui d'un semblable filet , dont la partie D'C appartient au tube , et la partie C^^ au liquide , en sorte que C est le point oà cette droite rencontre la surface inférieure du tube. A une distance sensible au-dessous de cette surface, menons un plan borisontal 6H qui coupe les deux filets en K et K^, et le prolongement de DE au point L« Par les points et C'y menons deux plans parallèles k GH. Soient (V et C leurs points de rencontre avec le second et avec le premier filet. Supposons que (yjy et O'C' aient des longueurs sensibles, .ou , autrement dit, supposons que les extrémités du tube soient sensiblement audessus ou aurdessous de la surfiaoe AOB du liquide oûoMmu dans son intérieur- Dans l'hypothèse d'une densité constante et' de l'homogénéité du •liquide , et la matière du tube étant aussi homogène , les actions verticales de O'C sur OC et de CTL' sur CK seront nulles ; car il n'y aurait aucune raison pour qu'eUes fussent dirigées plul6t de bas en haut que de haut eu bas* Les longueurs de>D'0' et CK étant sensibles, il est aussi évident que l'action de^D'O' sur jQK est la même que celle de P'C sur CK. Ainsi l'acdon verticale du filet entier D'K' sur le filet OK se composera de celle de C^^ sur CO et de deux fois celle de

D'C sur CK; et la même chose aura lien pour tons les autres filets verticaux dans l^quels où pourra décomposer le tube et le liquide.

Cela pose, appelons A le liquide contenu dans un cylindre ver'tical qui a sa base sur le plan 6H et dont la génératrice est la droite DL tangente k la paroi du tube , et B le liquide situé autour de ce cylindre et au->dessous de GH. U suit de ce qui précède que les actions verticales du tube et de B sur A seront indépendantes de la surface inférieure du tube^ dont la section verticale est représentée par ECT, en sorte qu'on pourra remplacer cette sur&ce par un plan horizontal. Si Ton désigne .alors par R Faction de B sur la partie de A située au-dessus de ce plan, et par R' Faction du tube sur la partie de A située au-dessous de oe même plan, et si Fou suppose que la première force s'exerce dans le sens de la pesanteur , et la seconde dans le sens contraire, Faction totale du tube et de B pour soulever A aura pour valeur aK — R, d'après ce qu'on vient de démontrer. Désignons , en outre, par a Faire de la base de A, et par et la distance du plan 6H de cette base , au niveau du liquide en dehors du tube ; le poids du liquide compris entre ces deux plans horizontaux sera ^al à fgfui; la pression exercée en sens contraire sm' a, ou Faction du liquide situé au-dessous de 6H sur A , sera équivalente à Ila-f- gf^^f en représentant toujours par II la pression atmosphérique rapportée k l'unité de surface^ De plus , cette dernière pression s'exercera aussi normalement et de dehors en dedans, en tous les points de la surface supérieure de A ; et la somine de ses composantes verticales sera, comme on sait, égale k ïla, quelle que soit cette surface. Soit enfin gfaa 4* A le poids de A ; A étant une quantité inconnue, positive ou négative, qui exprimera le poids du liquide^ soulevé ou abaissé par Faction capillaire : en ayant égard k toutes ces forces verticales , et supprimant celles qui sont égales et contraires, il fiiudra qu'on ait

aR'-R = A, (7)

pour l'équilibre de A.

(i5). U restera maintenant k former les expressions de R et K\ Or, soit ds un élément infiniment petit du contour de a ; par 4es deux extré-

mités de €& y meoom des plans perpendiculaires à sa direction qui se couperont smTant une yerlicale passant par le centre de courbure de ce contour ; partageons le segment de A compris entre ces deux plans, en filets infiniment minces par des plans verticaux parallties k ils ; et soit u la distance de Fun de ces filets au plan yertical passant par ds. On pourra exprimer sa base par (i — ku)dsduy en supposant ce filet compris dans la ^here dactiyitë de B, ne^igeuit les puiasances de u supérieures à la première , et désignant par k un coeffident constant qui dépendra de la courbure du contour de a, au point qui répond i ^. La base d*un filet extérieur, appart^ant à B , qui répondra à un autre élément lir' de ce. contour, aéra en même temps ( î + 1^^)ds'ihi ; vl étant la distai^ce insensible de ce second filet i la surface de A , et i^ ce que devient k au point correspondant à ds^. De là, on conclura sans difficulté

^^'t^flM^^'^ (i — *w) (i + Vii)diMduAidsd£ , en frisant

désignant par fr la même fonction que précédemment (n* 2), pifr X la projeclioa de Tare éompris entre dsti d/ sur le prolongement de ^ , et par x et x' des perpendiculaires, abaissées d'un point de A et d*un point de B sur le plan GH , de' manière que r soit la dislance d'un pmnt è Fautre. Au degré d approximation ou Ton s'est arrêté dans tout ce qui précède , on devra réduire à l'unité les facteuia 1 — ibi et I + Vwi. On pourra aussi, sans erreur sensible , prendre dsf^s^dx. On pourra ensuite étendre depuis aéro jusqu'à l'infini , les int^ralea r^ti¥es à 11, v'» s , s', et l'int^prale relative à X y depuis x =: — - 00 jusqu'à x =s -f~ ao 9 ou seulement depuis X s= o jusqu'à x=: jd , en douUant le résultat. En fiûsant

^'iJJJT^^-^dxdsldudtildx^^

et prenant les dnq intégrités depuis aéro jusqu'à llnfini, va aura donc

Yi:=zfqds.

DE L'ACnO» CAPILLAQŒ. 35

Cette dernière intégrale devra s'étendre à tous les points du contour

de ai et comme q ne variera pas d'uBi poinftà un autre, il s'ensuit

que n Ton appelle c k longueur entière de ce contour, W aura

simplement

R es cq^

Si l'on désigne par f V l'attraction mutuelle de la matière du tube et de celle du liquide , relative à la distance r et rapportée aux unités de masse, ou par f/^'r, cette attraction rappoi'tée aux unités de volume, / et / étant les densités des deux matières , et si l'on représente par ^ ce que q devient , quand on y met pp'f V au lieu de p*fr, on trouvera de même

au moyen de quoi l'équation (7) deviendra

A=(aî'-î)c. (8)

(i6). Lintégrale quintuple que q représente se réduit facilement à une intégrale simple. En j mettant d'abord ix, z^x, ux, Ux, xdz y xdz\ xdu , xdUy au lieu de z, zf, u, u!, et de leurs premières différentielles , les limites zéro et l'infini ne seront pas dlumgées ; et si l'on observe ensuite qu'on aura

il en résultera

9 = aXf*/ r*frdr, en faisant, pour abréger.

JJJJ [i + (« + »'r + (« +

L'intégration relative à l'une tte ces quatre variables, à zf par exemple, s'effectue mmédiatement ; et à cause des limitas i^sbo et / = oo , on a

^ t rrr dxd uM

Je fus

ce qui donne

et comme cette intégrale relative k^ est ëgale à ^ 9r, <)n en condat

~i6joJo [i +(« + »')*]*'

ou^ ce qui est la même chose^ OU bien ^ enfin f

En comparant cette yalenr de 9 à la formule (2), on Toit que gs=iH. La même réduction s'appliquera à l'expression de q' ; et de cette manière , l'équation (8) coïncidera avec celle qui est d^gnée par {p) dans la Mécanique céleste (*).

(1 7). Pour faire voir maintenant l'inexactitude du coefiicient de c dans cette équation^ et la nécessité d'avoir égard à la variation de densité il l: liquide près de la paroi du tube , menons un plan horizontal 6H ( iig. 6)^ à une distance sensible au-dessous de la surface AOB du liquide et au-dessus de l'extrémité EF du tube, qui coupe en L la génératrice D£ de sa paroi cylindrique. Supposons le point situé à une distance insensible de cette paroi, plus grande cependant que le rayon d'activité K\es points du tube suf ceux du liquide. Par le point 0, menons une verticale OKC qui rencontre au point K le plan GH , et que nous prendrons pour là génératrice d'une surface cylindrique parallèle à la paroi du tube, ou dont tous les points seront à une même distance KL de cette paroi. Cette surfoice cylindrique et le plan GH

(•) Suppli'mt'ni à la Théorie de tAcuon capillaire, pap<* 17

partageront le liquide contenu dans le tube en quatre parties. Nous appellerons C et G les parties comprises entre cette surface et la paroi^ la première au*dessus et la seconde au-dessous du plan GH^ c'està-dire les parties qui répondent à OKLA et à CKLE, et nous désignerons par D et D' les deux autres parties qui répondent respectivement à BOKH ei CKH, Soient Q, Q% P^ les actions verticales et dirigées dans le sens de la pesanteur , exercées par D, D', C'^ sur C. Comme on peut négliger, par i^pport à ces forces^ le poids de C et la pression atmosphérique qui a lieu à son extrémité supérieure, à cause que l'épaisseur KL de cette couche liquide est insensible » et que dailleurs l'action verticale du tube sur chacun des points de C est évidenmient nulle , il s'ensuit qu'on aura pour son équilibre l'équation

Je déterminerai la force Q par la considération de l'équilibre de D, Soit b la base de D ; supposons son plan à une distance C au-dessous du niveau extérieur : la pression qui a lieu sur cette base en senis contraire de la pesanteur , et qui provient des actions réunies de C et D' , sera équivalente à ne + gfbS j la pression qui s'exercera sur la surface supérieure de D , décomposée dans le sens de la pesanteur, sera égale à 116; le poids de D aura pour valeur gfbS-^à ; et l'on pourra regarder cette inconnue A comme étant la même que dans le n* 14» puisque la différence serait le poids d'une couche liquide d'une épaisseur insensible. La réaction -étant égale et contraire à l'action, il faudra représenter par — Q Faction verticale et dirigée dans le sens de la pesanteur, exercée par C sur D. En considérant ces différentes forces verticales,, supprimant celles qui se détruisent, et observant que, par hypothèse, Faction du tube ne s'étend pas jusqu'à D, nous aurons

pour Téquilibre de cette partie du liquide.

La force Q' ne différera pais sensiblement dç la force R du n' 14 ; car elles seraient entre elles dans le rapport du contour c de la base a k celui de la base b , que l'oii peut piteqdre l'un pour l'autre. Ainsi

58 NOUVELLE TBËOiUE

Ton aura

Quant à la force P^ son expression différera de ceU^ de R en intégrale quintuple^ par le signe de li', et par les limites relatives à Il et tt' ^ c'est-JMlire qoe fon aura

les intégrales relatives kx^z^ /, étant tonjoor» zéro et l'infini ; mais celles qui répondent k utile ne s'étenda&t qœ^depuis aéro jnsqn'à l^ en désignant par / la longueur de KL.

Soit 9>r une fonction qui devienne insensible pour toute valeur sensible de r; fusons

nous aurons

f^ étant ce que dévient r k la iiniite z's o. En intégrant par partie ^ qn aura

r, étant la valeur de / relative à u = /. A cause du beleur /, on peut supprimer le terme compris en-dehors du signe /*; on aura donc

et par conséquent ,

Soit encore Si Ton substitue ces variables ^ et p à x et z, il faudra pi^ndre

DE L'ACTION CAPILLAIRE. Sg

dxdz zsLjrdfd^i les limiter qui répondent à jr=3o et i^iasso^ jr^=^^ et x = oo , seront j^^so et P = o, ^=soo et i^=:-ir; en effectuant Fintëgration relative à p . il en résultera donc

Or, cette intégrale triple est la mèoMl que celle qui eatre dans l'expression de y du n® 8 ; par l'analyse du n® 9 ^ on en conclura donc

en négligeant toujours le terme qui aurait le ûictenr /, et ayant égard à la valeur de q du n* i6*

Ces valeurs de Q, Q', P^ réduisent Téquation (9) k

à ss cq.

Or, pour que cette valeur de A s'accofdit avec celle qui est donnée par l'équation (8), il faudi^it qu'on eût 9'= 9; ce qui exigerait que la matière du tube f&t la même que celle du liquide. Dans ce cas, en effet , le liquide n'éprouverait aucune compression près du tube , et les calculs précédons , fondés sur Thypotlièse d'une densité constante, seraient applicables; mais, dans tout autre cas, il sera indispensable d'avoir égard a la variation rapide de densité du liquide dans l'étendue de là sphère d'activité du tube , puisqu'en en faisant abstraction, on est conduit à deux valeurs de A, qui ne sauraient être égales entre elles.

On peut reman[uer que si V-équatiou Assscq avait véellement lieu, le poids soulevé ou abaissé par l'action capillaire ne dépendrait aucunement de la matière du tube. En ayant égard à la répulsion Calorifique, aussi bien qu'à l'attraction des molécules du liquide , et supposant , en conséquence, que 1» fonction ^r peut changer de signe dans l'étendue de ses valeurs sensibles, l'intégrale que q représente pourrait étrcf |)osîttve ou négative. Le poids A serait de même signe que q ou que

4o NOUVELLE T]

H^ à cause de çc= -'0, c^èst-à-dire qu'il y aurait aération du liquide quand la quantité H serait positive, et abaissement quand elle serait négative. L'ordonnée h du centre dé la surface capillaire qui est déterminée par Féquation (6) devrait donc être de même signe que H; par conséquent , pour satisfaire à cette équation, il y faudrait prendre le terme ambigu avec son signe supérieur ; d'où il résulterait que la surface capillaire serait toujours concave par enhaut, soit que le liquide s'élev&t on qu'il s'abaîss&t; ce qui est contraire à l'observation. Mais toutes ces contradictions disparaissent lorsqu'on tient compte de la variation de densité du liquide dans l'épaisseur de G et C; ce qui rend la ferce P impliciiemenf dépendante de la matière du tube, et change aussi les yaleors des forces R et R'.

(i8). Au lieu de déterminer la force Q d'après la condition 4*équilibre de D, on peut en obtenir la valeur par des intégrations directes, en continuant de négliger la variation de densité du liquide près de sa surface supérieure. L'expression de Q en int^rale sextuple ne différera alors de cdUe de R du n^ i5 que par le signe de z' et par les limites relatives à z et z', de sorte qu'on aura

Q = f^ffffff(pr*S=l dzd^dudiidxds,

T^^x^^ifL^uy^i^z^zyy

en conservant toutes les notations du numéro- cité , et intégrant par rapport è s et 2', depuis le plan GH jusqu'à la surface du liquide , ou bien 1 avec une approximation suffisante , jusqu'à son plan tangent. K l'on suppose que le plan de la figure, qui est déjà vertical , soit en outre perpendiculaire à la paroi cylindrique do tube, il est évident que le plan tangent en sera perpendiculaire à ce plan j car il n'y aurait aucune raison pour qu'à sltidinàt plut&t d'un cftté que de l'autre. Cela étant , les valeurs de 2 et V, qui répondent aux seconde^ limites des intégrales, seront indépendantes de ^, et de la forme

en désignant par y l'ordonnée OK du point 0, et par 8 la tangente

de rindinaison du plan tangent en sur le plan horizontal passant par le même point. On prendra pour celte inclinaison l'angle K'ON compris entre le prolongement OK' de OK et la normale extérieure ON; angle que Ton regardera comme positif ou comme négatif, selon que ON tombera en-dehors ou en-dedans des deux parallèles KIL et DL. Il s'ensuit que si l'on désigne par cù l'angle NOM que fiEiit la normale ON avec la perpendiculaire OM abaissée du point sur la droite DE, et qui sera obtus ou aigu, selon que la courbe AOB tournera au point , sa concavité ou sa convexité par en haut, on aura