CT'(* + «) = ^H

d'où Ton tire

et si nous fiûsans

^s dernières équations (a) deviendront

3^6 flOCYELLE TBÊOftIE

Rebtiyemeat aux pouls de S. et de S' pour ksqods le plan tangent est très peu indinë, on les réduira k des équations linéaires; puis ou j %atàidemj ainsi qu'aux conditions particulières à / =^0, en prenant

expressions qui se rédoiront à

tV

-sn '

xzzz — - . 1/ -»e

comme dans le n"* 106» pour des valeurs de t très grandes par rapport à a. et a'.

On peut aussi écrire les équations {f) sous la forme :

iH-

en supposant que œs intégrales s^éranouissent arec la variable t ^ et observant qu'on a

a», «»'• dx dr

^uand ^;^o. Pr^s du sonnnet on du poiut le plus bas de la goutte, ces intégrales peuvent être négligées, à cause que l'on a

dx t djr /

di^~'x^ dt Z^

e» que la variable t est très petite dan& ces parties de la surface. Pour les valeurs de 't auxquelles répondent les formules (h)^ les quantités comprises sous les signes / auront t * pour diviseur ; pour 'e'to raison y nous pourrons aussi négliger ces intégrales. Enfin ^ près ju bord de la goutte ^ nous les négligerons également, à cause de U grandeur de i, quoique, dans cette partie de la surface, les quantités comprises sous les signes / ne soient divisées que par la première puissance de cette variable. En supprimant donc les seconds membres des équations (i), et négligeant aussi les termes divisés par A* et fi* dans leurs premiers membres , on aura sim* plement

On en déduit

et si Ion fait attention aux signes des quantités a*j — a:» et a'» — ^j*, qui doivent être les mêmes que ceux des radicaux \/ \ J^ z^

et y i + -^f ®' *^* signes de j:, /, -jj- , ^, il sera aisé de s'assurer qu'on devra regarder comme positifs les radicaux v/jaa*i«— x^ et v/W* — jr*. D'ailleurs, en négligeant, pour abréger, les termes — et — des quantités que x et jr représentent, on aura , en même temps, tssir, «, a=— A, xss:/, et de même tsssl, z'zszk^

a48 NOUVELLE TOtoRIE

^ as — - « ; en mt^;ruit, <m aura doac

Les équations (g), (A), (/), jointes à Téquation {d), renfer* meront la soiation complète du problème , après qu'on aura déterraîné les Tateuvs' des consUintès ol, k, h^ f, r^ t^ pL, X, qu'elles renferment.

Or, z^sss k donne à très peu près j ss — ^ 4; et pomme on a

^ = «^ ss 00 ^ pour éette valeur de z\ où aura «.sa «% d'après

la seconde équation (Jù). On aura donc, en même temps, tiszr^ 7! zsz — hjjrss'—k^-^h'—a', et, eh vertu delà seconde équation (/),

p..ur la valeur de r, en faisant, pour àbrégei*,

aa'* — (A: + A 4. u^' = «'•»»%

et regardant >i comme une quantité positive* Four < se r, les équations (A:) et les valeurs de dt qu^on en a déduites donnent

dix* A» "

dt '

^ rfl» ~

D'après les équatieiis 4'oii la formule (<f ) a été tirëe » on aura , en même temps,

/ ,ds* g* d» __ * t/îu»* — *'

et, au moyen de ces différentes yaleurs, les formules (h) fourni-

DE L'ACmON CAPILLAIRE. ^g

root denx ëqqationsr <f^ je me dispenseMi d'éefire, et qui serviront à dëtenniner deux des trûis «xmstantes h, k,/, {«■ exemjJe, h èi k.

MaintenaiU, si l'on appli<iue la première des équations {l)k des points dé S., pour lesqnels z, diffb« très peu de — A ~~/^» et la variable x est très petite; et la seomide à des points de la partie supërieure de S', pour lesqnels z' diffère très pen de A , et jr est très petit; et si l'on compare anx formates (h) les expressions de X et jr qui se déduiront alors de ces deux équations (/), on en oonclora les valeurs de X et ft, savoir :

4 \/»r.|/5(«,v/«— V^ao*,-/')

en faisant, pour abréger,

r-|-<i,\/â — v/aa».— /«sr,, / 4- (Va —i) «'=/'. L'équation (e) deviendra

en y substituant les valeurs de A, fc^ G, H'. EUe servira à dé-; terminer f; et il ne restera plus que / d'inconnu. Or, si Ton a mesuré directement le diamètre de la goutte dans sa plus grande largeur, on en prendra la moitié pour la valeur de /; si ce diamètre n'est pas connu , mais que le poids de la goutte soit donné , et qu'on le représente par <i9', on aura

il sera facile d'effectuer les intégrations indiquées, après avoir substitué les valeurs de dz' et rfz,, tirées des équations (g), (A), (/), relaya

aSo NOUVELLE THÉORIE

tives aux différentes parties de S' et S, : cette expression de ^or servira ensuite à trouver la valeur de /.

Pour résoudre les équations d'où dépendent les valeurs nnmériques de A^ Ar, y*, l^ il faudrait que celles des constantes a^ a\ n^, 6û, tê\ fussent données. Les valeurs de a, a', œ^ sont effectivement connues ; quant à celles de a. et ôà', on pourrait les déterminer au moyen des équations qpi doivent servir à trouver les valeurs de A et Â; , si ces distances avaient été mesurées directement pour une goutte d'une largeur connue.

(laa). Dans toutes les questions dont nous nous sommes occupés dans ce chapitre ^ l'ordonnée verticale d'un point quelconque de la surface qu'il s'agissait de déterminer, ne dépendait que d'une seule variable, savoir, la 4istance à Taxe de figure, dans le cas d'une surface de révolution, ou la distance à un plan vertical, dans le cas d'un liquide cont^u entre deux plans parallèles à celui-là. D'après cette circonstance, l'équation de la surface, qui est généralement aux différences partielles, se réduisait à une simple équation différentielle; et; par différens procédés, il a été possible de la i^ésoudre par approximation , ou même rigoureusement , dans le dernier de ces deux cas, au moyen des fonctions elliptiques. La solution devient beaucoup plus difficile, lorsque l'ordonnée verticale dépend de deux variables ; mais il y a des questions pour lesquelles la considération d'une surface de révolution fournit d'abord une approximation qu'on peut ensuite pousser aussi loin qu'il est nécessaire ; et , de cette manière , les solutions précédentes et celles du chapitre IV prennent une extension que nous avons déjà , indiquée dans le n* 68, et dont nous allons donner un nouvel exemple.

U s'agira de l'équilibre d'une goutte de liquide d'un volume peu étendu, contenue entre deux plans qui comprennent entre eux un très petit angle, et qui se coupent suivant une droite horizontale. Pour Oxer les idées, je supposerai que la surface latérale du li^ qnide soit concave en «dehors. Sa courbure étant plus grande du côté de l'intersection des deux plans que du côté oppose , la goutte tendra à se rapprocher de cette droite; par conséquent , pour qu'elle demeure en équilibre, il faudra que cette tendance soit balancée par son poids; ce qui exigera quelle soit au-dessous de cette iu-

DE L'ACTION CAPILLAIRE. s5i

tersection. Par cette droite, je mène un plan compris entre les deux plans donnés, et dont je déterminerai plus bas la direction. Il y aura un autre plan perpendiculaire à cette intersection, qui divisera la goutte en deux parties parfaitement égales. J'appellerai C le milieu du diamètre de la goutte suivant lequel ce plan vertical coupe le plan intermédiaire; et je prendrai ce point pour origine des coordonnées, et pour axes, la perpendiculaire à Tintersection des deux plans donnés, menée dans le plan intermédiaire, la parallèle à cette même intersection et la perpendiculaire au plan intermédiaire. Soient u, (^, ^ , les trois coordonnées d'un point quelconque de la surface latérale de la goutte, respectivement parallèles à ces trois axes, et z l'ordonnée verticale du même point, comptée en sens contraire de la pesanteur et à partir du plan horizontal passant par le point C. Si l'on appelle l'angle aigu que fait le plan intermédiaire, c'est-à-dire le plan des u et p, avec ce plan horizontal, et si Ton suppose les.Ç et les u positives dirigées vers le haut , comme les z positives , on aura

2 =: ^ cos fi -|- M sin fi.

Cela posé, si l'on désigne par a* la constante relative à la matière du liquide , l'équation de sa surface latérale sera

l + I, + e = ^,(Çcosfl-|-«8iiifl); (I)

Q étant une constante arbitraire , et A et A' représentant les deux rayons de courbure principaux. La quantité - + -r , exprimée au moyen des coordonnées u, p, ^, aura pour valeur

A ^ A' ' L\ ^ *'/ du* ^ dudv dttdv ^ V, ' ^ du*) rfv» J '

en faisant, pour abréger.

et considérant V comme positif ou comme négatif, selon que la normale extérieure au liquide fera un angle aigu ou obtus avec la droite tirée suivant la direction des Ç positives.

25a NOUVELLE THÉORIE

Les cosinus des angles que fisiit cette nonnale arec les axes des u , if, Ç, seroBt

Si Ton désigne par et, a\ ^\ ceujt des angles que font les mêmes axes, avec la perpendicalaire abaissée sur le plan supérieur et dirigée vers le faaût^ et par â» l'angle compris entr^ cette droite et la normale , on aura donc

et en appelant i inclinaison du plan supérieur sur le plan des u et p, on aura, en même temps,

a''=:cosi, «:=i78iniy m!isss,o.

Pour tous les points du contour supérieur de la sùr&ce latérale ,

c'est-à-dire pour tous les points de rîntersettion de cette surface

et du plan supérieur, o» sera un angle constant et donné; et si

nous représentons par c la distance du poml C à l'intersection des

deux {Jans donnés, nous aurons, par rapport à ce contour, les deux

équations ;

Çs=(c — a)tangi, )

cosû» = V(cosi<-i»^sin îY i ^ ^

dont la première est Téquaidon du plan supérieur. Soit t Tinclinaison du plan inférieur sur cdlai des « et #. Rekttrement au contour inférieur de la sur&ce latérale ^ nous aurons de; ndème

ÇsB — (c-^«)tançf', 1

at'crr-V^cosî'+fsînr);^

(/ étant l'angle compris entre la normale extérieure au liquide et la perpendiculaire au plaia infiérieur ,; dirigée en - dehors de Tangle des deux plans. Les angles donnés » et ûi' seront obtus, parce qu'on a supposé la surface latérale «oncave eanlelttÀt on aura »* = » , si les deux plans sont de la même nttttire^ t^ a/ ss=: <» = ^ , s'ils ont été préalablement mouillés par le liquide.

{isi5), Maintenanti pour résoudre, par approximation , les équa*tions (i)| (a) y (5), je sapposerai que les dîmensioiis de la goutte de liquide soient très petites par rapport à la constante a. Il en sera de même k Fégard des variables u et p; et Ton pourra exprimer la valeur de Ç par une série convergente^ ordonnée suivant leurs puissances et leurs produits, c'est-à-dire par une série de cette forme :

r = ^ + i (P^ + P^^) + 5 (?«' + ç'Kv-f.^'V) + etc.,

dans laqueUe 2^, />, ff, q, etc., seront des fonctions de la distance d'un point quelcmique à l'axe des Ç , que je représenterai par t , de sorte qu'on ait

En substituant cette série dans l'équation (i), et égalant ensuite les termes de ses deux membres , semblables par rapport k u et if', on obtiendra une suite d'équations qui serviront à déterminer les inconnues ^f Pf p\ ^f etc. Mais nous bornerons rapproximktion. auy termes divisés par a* inclusivement ; et, de plus, nous ferons />'=s o, A cause que la variable v n'entre pas dans le second membre de Téqua tiO'X (i)# Nous aurons donc simplement

Pour fedliter la substitution de cette valeur Ae Ç , j'écris Tëqua- «lon (i) sous la forme :

T5~ + -2~ + «=j.(Cco«ô+««i.fl). (4) D'après Texpression de Ç , on a

«IÇ d^ u . I /dp ^ t^ \

df^ jjt ^ ^ t dp uv

Si l'on désigne par Y' ce que V devient quand on y met z' au lieu

a54 NOUVELLE THÉORIE

de Ç, on anra

et ensuite

V = V'-ivf($ + f)». (S)

Je substitue ces valeurs et celle de Ç dans Féquation (4); et en continuant de négliger les termes divises par aS je trouve^ après quelques réductions I

dt ^ i dt^^^L di Kdi^t) r

équation qui se décompose en deux autres, satoir :

La première de ces deux équations est celle qui répond à la surfieice de révolution. Elle se résoudra par l'analyse du n® loa ; et quand s' aura été déterminé en fonction de /, la seconde équation (6) fera connaître la valeur de p.

(ia4)« Je supposerai que la largeur de la goutte soit très grande relativement a son épaisseur; et cela étant, je ferai , comme dans le numéro cité,

h étant la valeur particulière de t pour laquelle on a t' = o , et ^ une autre constante très petite par rapport à h. La variable t^ sera aussi

très petite; l'expression deV aura V^t^ —7* pour premier terme, et I ou pourra la représenter par

en désignant par ^ une fonction de i très petite à Tégard de ce pr^ mier terme , qui s'évanouira pour i^ s= o. Cette quantité ^ reiifermera, en outre ^ dans son expression, les constantes arbitraires h

et ^, et la quantité — g au lieu de la constante a* du n^ 102. On

en déterminerait facilement la valeur approchée , si Ton avait be-* soin de la connaître.

L'inconnue p étant divisée par a* dans la valeur de C 9 il suffira de substituer le premier terme de z^ dans la seconde équation (6) , d'où cette inconnue dépend; et d'après le n^ lo^i on y fera, en même temps,

Cette équation ne pourra s'int^rer que par approximation ; la quan-^ tité p qui s'en déduira sera très petite par rapport à ^*; en négli-*

géant le terme ^ du premier membre, à cause de son diviseur t*y et la multipliant ensuite par t^dt^ elle devient

^ [^(^^ 4. f) V'»/*] = 3/* sin fe/f ;

ce qui donne, par une première intégratio;i ,

(^ + J)V*^*=:|^»sinfl + ),;

» désignant la constante arbitraire. Pour que la valeur de p qu'on en tirera ne devienne pas infinie quand ^' = o , il faut que le second terme de cette équation s'évanouisse avec t\ et qu'on ait, par

conséquent , n = — • x A' ; on aura donc

d.ip ^ a (^— tfjflinfl a&>V sin fl dt -3 (V- - (^^TIT^i^

en négligeant le carré de /^ J'intègre de nouveau, et en désignant par yî la constante arbitraire, il vient

Mais le point C étant snpposé le milieu du diamètre de la goutte situé sur Taxe des tt, il s'ensuit qu'on doit avoir yfzz^o.lbi effet ^ le contour de la section de la goutte par le plan des i^ et p a pour équation

d'après les expressions de z' eip, on en déduil , k très peu près ,

et, à cause de <^s= i^ -f* ^9 ^^ deux valeurs de u qui répondent à f' s=5 o seront aussi , à très peu près,

pour qu'elles soient égales et de signes contraires, il faudra donc qu'on ait /s=o. Cela étant , nous aurons

pour la valeur approchée de /? , et

pour ceUe de ^, à laquelle nous nous arrêterons.

Pour que la position et la figure de la goutte soient entièrement connues 1 il restera encore à déterminer les deux constantes h et y, la direction du plan à partir duquel cette ordonnée Ç est comptée, c'est-à-dire l'un des deux angles i et H dont la somme, seulement, est connue et égale à l'angle des deux plans donnés, et, enfin, la distance c du milieu C de la goutte à l'intersection de ces deux plans. Cette distance est surtout importante i connaître , parce que sa valeur peut être mesurée directement , et qu'il en pourra résulter une nouvelle vérification de la théorie. Sa détermination ne dépendant pas , comme on va le voir , du second terme de Ç , c'est pour

DE L'ACTION CAPILIJimt\ 2S7

cela que nous Tayoïis représenté par f , et que nous nons soimnes dispensés d*en calcaler la yaleur.

(f^S). Après «qu'on y aura substitué la valeur de Ç^ Tune des équations (â), la première, par exemple « sera l'équation du oon-tour supérieur du liquide ; elle déterminera t en fonction de « ; et , ensuite , la seconde devra être identique par rapport à u. Cette première iquadoa devient

V^f'-^ ^• + » + Ç=(^ — «) tangi. (8)

L'angle i étant très petit, par hypothèse, il suffira de mettre le premier terme de la formule (5) k la place de V, et celui de la formule (7) au lieu de Ç, dans la partie de la seconde équation (3) qui renferme le facteur sin 1; de cette manière, ou aura d'abord

cosa» sbY COSI — — ■ ; ■/ — r-, ou, ce qui est la même chose,

en n^ligeant , à cause de la petitesse de^ , un terme qui aurait

I dis

7 ^ pour (acteur. En vertu de l'équation (8) , on aura

au moyen de quoi l'équation précédente se changera en Gelle<i :

^^^^ ^ I caini pco%i /hA-y %cy$ini\umi COSÙ0 -f- ' — —I . . ^ — * ^ — 1 — — = o •

en ayant ^ard aux valeurs de p et de -^ , et mettant A et c au

lieu de ^ et c -— u dans les termes divisés par cf. D'ailleurs , à cause que y et i sont très petits par rapport à A, on peut réduire à l'unité le premier terme de la quantité comprise entre les parenthèses; galant ensuite séparément à zéro le terme ind^^pendant de u et le coefficient de u dans cette dernière équation, nous

. e sio I ]

COS C0 + = o , f , s

a* — TLcy sin 6 = o, j

ea nëgligeaut la (raction très petite -•

Les équatious qu^on obtiendra de la même manière , en partant d<»s équations (3), se déduiront des précédentes, en y chan- ••eanf •» rt / en m' et r'. La seconde équation ne changera pas, et la première deviendra

csin r

oofi «» H = o ;

et , à cause que la somme des angles i et / est donnée , ces ëqnations suffiront pour déterminer ces angles et les deux constante> i et >. Enfin, si Ton désigne par ^é^ le volume de la goutte, on aura , a trAs peu près ,

A* (c* sin î + c sin i') = f* ,

pour déterminer la constante h.

Si les deux plans qui comprennent la goutte de liquide sont de la même nature, on aura û»'=» et i' = i; langle i sera la moitié de fangle donné que font ces deux plans; et l'indinaison 6 du plan intermédiaire sur un plan horizontal , sera déterminée par Téquation

ac*siD I ^ ^

f\n^ loii obtient en éliminant y entre les équations (9)* Eu coni^wtiniil cette formule a celle du n^ 68 » désignant par 9' riticliiiaison de Taxe du eAne que celle-ci détermine, et la réduisant à son premier terme , on en conclura

sin 6= - sîn fi\

toutes choses d*ailleurs égales^ cest-â-dire en supposxtnt qu'il s'ngU^i^' d'un même liquide et de parois de la même nature^ que ranglr rorr«

pris entre chaque plan donne et le plan intennëdiaire soit égal à celui que fait chaque arête du cône arec son axe, et que la distance du milieu de la goutte au sommet du cône ^ soit la même que sa distance à l'intersectioD des deux plans donnés.

Dans les applications quW pourra faire de la formule (10) , on ne devra pas oublier qu'elle suppose très petit l'angle des deux plans donnés , l'épaisseur de la goutte aussi très petite par rapport à sa lar* geurj; et cette largeur elle-même très petite, soit par rapport à la distance du milieu de la goutte à l'intersection des deux plans donnés, soit à l'égard de la constante a relative a la matière du liquide^

(126). Lorsque les deux plans donnés auront été préalablement mouilla par le liquide dans toute leur étendue , on aura oi =r ^ , ^iy par conséquent,

sin 6 SB --i-r- .• (11)

Dans ce cas , l'angle a été mesuré avec soin par Haulvsbée , poui* différentes valeurs de c (^). Mais, malheureusement, il parait que les dimensions de la goutte de liquide ne satisfaisaient pas aux condî* tions que cette formule suppose ; car , pour chaque valeur de c , elle donne un angle d plus que double de celui qui a été mesuré.

En effet , ^bxï% l'appareil d'Hauksbée , on avait

• . I a sm i = 5 — •

Le liquide était l'huile d'orange. Or, M. Gay-Lussac a trouvé qu'à

la température de i5*,5, ce liquide s'élève à io'"'",4 au-dessus de sou

niveau dans un tube dont le diamètre est i'°"',296, et qui a été

* mouillé préalablement par ce même liquide. On en conclut (n° 56)

a* = (6,8740) millimètres carrés.

Je prendrai pour unité le pouce anglais, dont la longueur est 25"",59i8 i il en résultera

[*) Sapplémént au livre Z de la Mécanique céleste, page 55.

36o NOUVELLE THÉORIE

et, par conséquent,

sm 8 rs ■ , ^ ;

la distance c étant aussi exprimée en pouces anglais. Or^ $i Ton fait successivement c= i8, = 10, c^ss 2, qui sont la plus ^nde, la moyenne et la plus petite des dis^uçes pour leaqueâes Hauksbée a mesuré Tangle 0, cette formule donne

et , suivant l'observation ^ 09 a seulement

Mais HauLsbée n'a pas fait eomialtre la largeur de la goutte liquide ; et la constaQte a yétant que d'un dixi^ne de ponce , il y a lieu de croire que le rayon de la goutte n*était pas & la fois très petit par rapport ji il et très grand par rapport à sa demi*épaisseur qui sur^ passait la moitié de a dans le cas de c «s: i8« Il fiiut remarquer que le physicien anglais dit qu'à mesAre que la goutte s'aj^prockait de lintersection des deux (dans, elle devenait de plus ea plu3 oUongue ; circonstance qui n'aurait pas lieu si la largeur de k goutte satisfaisait à la double condition que notre analyse suppose; car alors, en vertu de l'équation (7), la goutte seifmit toujours k très peu près circulaire. La discordance des valeurs de 9 observées et calculées, ne prouve donc rien contre la théorie ; et je fie doute pas que si l'on répétait l'expérience d'If aul^sbée sur des gouttes de liquide d'un rayon aussi petit qu'il serait possible par rapport k a, et d'une épaisseur encore plus petite , Fangle qu'on observerait ne s'accordât avec celui qui serait donné par la formule (n). Dans cette expérience, il serait pré* férable d'employer l'eau , qui est le fluide pour lequel la constante a est la plus grande.

La formule de la Mécanique céleste que l'auteur a comparée aux observations dllauksbée, est la même que la formule (i i). Cependant, les diffe^rences qu'il a trouvées entre lé calcul et Texpérience s'élèvent

DE L'ACTION CAPILLAIRE. ^t

nue seule fois k 3^, et sont génëralemenf l)êaucoup moindres. Elles sont encore trop grandes pour être attribuées aux erreurs des oBservatious; mais, de plus, Laplace a &it usage, pour déteonmer là constante a% d^nne éléyatipn de lliuile d'orange, dans un tube capillaire, qui n'est pas moitié de celle que j'ai employée, diaprés l'expérience de M. Gay-Lussac; et c'est pour cette raison qull n'a pas obtenu, comme moi , des valeurs de 6 jim que doubles de celles quHauksbée a trouvées. Cette élévation de î'buile d'orange avait été mesurée, par Haiiy, sans avoir préalablement mouillé le tobe avec ce liquide, dans toute sa Jongùeur; et Ton sait. que, faute d'avoir pris cette précaution, les élévations de diSerens liquides qu'Hauy a mesurée, sont trop petites de plus de moitié. Haulsbée avait eu soin de frotter d'abord avec de l'huile d'orange les deux plans de verre qui formaient son appareil; il fiJJait donc, pour calculer les inclinaisons correspondantes à celles qu'il a mesurées, faire usage de l'ascension d'un liquide dans un tube mouillé par ce même liquide, comme celui dont M. Gay-Lussac s'est servi.

(lay). On admet, comme un résultat de l'expérience, que quand on incline un tube capillaire plongé dans un liquide , l'élévation , positive ou négative , de ce liquide au-dessus de son niveau extérieur, reste constamment la même; mais cela n'a lieu que par approxima-» tion, et seulement à l'égard de la partie principale de oetta élévation, qui est en raison inverse du diamètre du tube»

Bn effet, supposons que la sui*&oe intérieure du tube soit cdOe d'un cylindre à base circulaire ; appelons le complément de l'angle aigu que fiiit sou axe avec un plan horiaontal ; prenons pour origine des coordonnées le point ou cette drmte rencontre le plan dti «veau extérieur; par ce point, menons un plan perpendiculure k cette droite, et désignons par (, 9, u, les trois coordonnées d'un point quelconque de la surfiice ca[ttllaire , respectivement pasallèles à l'axe du cylindre, à l'intersection du plan perpendiculaire et du niveau extérieur, et à un troisiime axe perpendiculaire aux deux premiers. Si nous désignons par z l'ordonnée verticale du même point, comptée en seiis contraire de la pesanteur, à pai^ir du niveau du liquide, nous aurons

xss Ç oos 6 -H tt sin 0,

262 i\Ot \ ELLE THEORIE

en suppiKAut que les ^ et les a positives soient aussi dirige vers le? haut. L'équation de la surface capillaire sera Féquation (i) du n^ laa, daus laquelle on fera C ;=s o; et si Ton suppose le rajon du tube très petit par rapport à Ja constante a, relative a la matière du liquide, la valeur 4e ^ pourra s'exprinier par la série convei^ente du n* i aS ; d'oix Ton conclut» sms aucun calcul , qu'en négligeant les termes divisés par a* y cette quantité Ç sera la même que si la surface du liquide était une siir&ce de révolution qui eàt pour axe celui du cylindre , et qu'en même temps la constante a* fût remjJacée par

— T, Il résulte de là que si Ton £iit

ou aui*a la valeur approchée de Ç en fonction de ^, en mettant >^ a la place de a* dans les formules du n* 54, et n^ligeant les termes divisés par a^ ; ce qui donne

cicosb W ^^ 36^

où l'on représeote par a le rayon du tube, et par b le cosinus de l'angle que nouK avons désigné précédemment par a» , et où Ton rec^ardera les radicaux comme des quantité positives. En substituant cette valeur de ^ dans celle de z, on aura l'élévation de k sur&ce ca- I^Uaire auHdessus du niveau du liquide; et Ion voit qu'il ny aura <|Ue le premier terme de la valeur de z qui sera indépendant de Tangle é.

Dan<^ le cas le frfus oitliiiaire, où le tube est mouillé dans toute .«^longueur par le liquide, et ou Ton a ^ = ?r . cette valeur de z est

^«^-H 3 \ ût»— f cos6H-ii5rfn6.

Si Ton appelle h l'ordonnée du point le plus bas de la suHace du tide, et an'on fasse

DE L'ACTKÎN CAPILLAIRE. ^65

pour déterminer les valeurs correspondantes de u et v, on trouve

fl*

— «sinO, Aœs-j-^*^-