AT
et si Ton fait, pour abréger,
nk (a' — »')Z<fe „,
réqoation (4) deviendra
*• — afl'sm'f + K4-K'=o (5)
La quantité 2^ étant très petite par rapport à t', je développe sous les signes f suivant les puissances de ^ ; ce qui donne
Z = ^ [aa» Va — (»' — z^T ] + etc. ,
K = — 5^^* J d. (aa' — «»)' — f^^ î^ V^^Zr^ï ^^ ^ çj^ ^
K'= 1 ^^^-*-'^^^^'"^^i^5!f'-'•)'Jrfz-^etc.
En intégrant par partie , de manière que l'intégrale s'évanouisse avec z, on a
y prf.(2a»— s»)' = p [(aa' — z')* — a«» >/â]
— --^ r [('aa» — z*)* — ao» \/â ] — + etc.
aSa NOUVELLE THÉORIE
J'opère de même sur les antres mt^;rale8 oontemi^ dans & et S.'; je fais ensuite zssk et t'=:rf puis je néglige les termes diviséi par r* : il en résulte
K sr ^ [aaVâ — (aa* — *•)•]
D'après la valeur de Ç, on a
I ÇzVaa* — z*€k=z — ~ V2a* — *• — -^ -f--^ k^
"^ 6 Jo (flj/$+ t/a^i^— «•)l/2fl* — !•'
Après avoir substitué cette expression dans celle de K, si l'on ajoute les valeurs de K et K^ on tt*ou^e que' les termes divisés par r* se détruisent y et Ton a simplement
K + K' = :^ {2a^ Vl — (aa* — *•)*].
L'équation (5) devient donc
A:' — aa' sin' ^ -t* 3- U^' V a -— (aa' — A:*}*j = o , et Ton peut la reraplacjer par celle-ci :
Al' = aa* sm* v 3^~(' — ^^ ^) ( * ^ — > — ) » (6)
à cause que Ton néglige les termes divisés par r^.
(ii5). Pour chaque valeur de l'angle v, cette équation fera cooualtre la valeur de k qu'il s'agissait d'obtenir. Le rayon r étant très grand par rapport à a, le maximum de A:, relativtfment à l'angle 1,
répondra à »la plus grande valeur dç sf^ laquelle a lieu quand 1 = - tt;
DE L'ÂCnON CAPILLAIRE. a5â
par conséquent, <m obtiendra ce maximwn en fiisant (^ ss i v^ dans
Féqnation précédente.
La pins grande yalenr de  aura aussi lieu quand / ss -'tT; c'est
donc à • l'instant où son extrémité supérieure atteint Textrémité inférieure B de Tarète vive qui termine le disque , que le liquide conmience à se détacher. Si l'on appelle p la valeur correspondante de A| et m le poids d*uu cmtimètre cube du liquide , on aura, d'après l'équation (i),
p s=3 wmh^ + ^mcfr sin a^ j (7)
formule qui suppose les lignes a, r, k, exprimées en centimètres, et dans laquelle on mettra pour k sa valeur maximaj déterminée comme on vient de le dire.
Si le disque a été préalablement mouillé dans tonte son étendue par le liquide, en sorte qu'on ait m^ss^, le second terme de cette formule s'épanouira, et le poids pf qui est celui du liquide soulevé au-dessus de son niveau naturel , sera le poids d'un cylindre du même liquide qui aurait pour base celle du di^e, et pour hauteur l'élévation du disque au-dessus de ce niveau ; ce qui tient à ce que le volume du liquide soulevé qui est situé en^ehors de ce cylindre, compense exactement le rétrécissement du liquide situé au-dessous du disque. Dans ce même cas, l'équation (6) donne
A: = «Vi-f,, (8)
en négligeant toujours les termes divisés par H, et la formule (7) devient.
p = vm(ar^\/2-- -j^y (9)
(116). Appliquons maintenant ces différentes formules aux expé^ riences de M. Gay-Lussac qui sont citées dans la Mécanique célesteé Elles ont toutes été faites avec un disque dont le rayon 'était
et à une température d'à peu près 8^,5. L'auteur a vérifié que la
Wy NOUVELLE THÉORIE
matière du disque n'a aucune influence, quand il a été préalablemeni mouillé par le liquide.
Dans le cas de Teau , on a
et l'on peut prendre un gramme pour m, k cause que la température s*écarte peu de celle du maximum de densité. La formule (9) donne alors
ôt , suivant l'observation , ce poids est 59^,4^*
M. Gay-Lussac a déterminé le poids p pour trois alcohols différens dont les densités étaient
celle de Teau étant prise pour unité. Dans un tube capillaire ciont le rayon cl était
les hauteurs h auxquelles ces mêmes liquides se sont élevés au-dessus du niveau extérieur ont été
\u moyen de la formule du n"" 56, on en conclut
a =0*^"", 34655, a:S2 0^^,24S2J, a=:OC'n,25703,
pour les valeurs correspondantes de la constante a> Cela étant , on a ara , d après la formule (9) ,
çt l'observation a donné
De rhuile de térébenthine , dont la densité était 0,86946 de celle ,1" Teau. s'est élevée dans le tube du rayon a à une hauteur h aude:>sa« de son niveau, égale à o^'*',9g5i6. Il en résulte, d'après la formule du n** 56,
DE yACTEQN CAPILLAIRE. j35
hn TerCa de la fonatde (^), oa Mura
et, suivant i^observatioa, ce poids est 34^1 o4«
Dans ces cinq expériences , la valeur de p obsenrée s'accorde, cemma oh voit, d'une manière très satisfaisante aivec ea valeur cal* c^iléo; cependant^ on peut remarquer que celle-ci surpasse toujours' un peu l'autre ; €e qui semblerait indiquer que les difierens liquides se sont détachés du disque ou peu avant que le poids que j'ai appelé A ak atteint son maximum pi et, en effet, on conçoit que l'équilibre ie chaque liquide étant très peu stable -pch^ de ce maximum^ des causes accidentelles^ par exemple, de légères agitations, peuvent faci- ' 3meut en amener la rupture; ^
Quoique les hauteurs maxima du disque n'aient pas été mesurées , il est J3on d'en donner les valeurs déduites de la formule (8), Dan^ I ordie des cinq eicpériences , c^s valeurs sont
Relativement au meccure non oxidé, en contact avec uu disque de ^erre ou d'une autre matière, pourvu que ce disque soit recouvert d'une couche d'humidité aussi miuce qu'on voudra, oii^a (n* 108)
a =5 o^", 25547, <' = -Ci=:ï3*45'* Au moyen de ces valeurs et de celle de r, Téquation (6) donne
*=ao<^", 15775, *
pour rélévation du disque k l'instant où le liquide commence à
s'en détacher. Pour calctder le poids cottespondant p , exprimé en
grammes, on prendra
So..
à la tempëratare de S*,5| et, en Tertii de la formale (7), on aura
Avec le même dk^e, d'im n^im éfd à S^^giSS, M. Gay- Lussac n*a pas troaTë co^istammeiit la même Taleur de p. En faisant croître très lentement le poids emplo/ë.i soulever le disque, le poids total, h 4'iostaQt de la séparation du liquide, s'est élevé depuis i58 grammes jusqu'à 996 grammes* lies valeurs de /n moindres que le maximum donné par le calcul, peuvent s'nplîquer par instabilité de Téquilibre dû* mercure. Quait è.ceHes qui sont pins grandes, on peut les attribuer à la même cause ipii donne lieu à des élévations ou des dépressions très différentes dapr iin tube ea-pillaire, excepté lorsquMl a été préalablennwt moilii3l^ pAt le liquide, ou bien, lorsqu'il n'exerce aucune. attraction sur , la matière du liquide (n* 6^). D* est. possible, en effet, qu'l^ raison des irré*gularités de Tarète vive qui teràiiiie le base du disque,, l'angle 1, au lieu d'être droit, comme nous TavoQS Quppoié^ k rcztrémité inférieure de cette arête, soit dbtus dans une partie de son contour ; ce qui augmenterait le maximmnàe la quantité A déterminée par la formule (i).
D'après la remarque de M. Dnlong (n^. 7$), l'angle ai augmente et peut même devenir obtus, quand le mercure renferme une petite proportion d'oxide. Lé maximum de d augmenterait en même temps; et il suffirait que, pour cette cause, l'angle ai fût de 60^ pour que ce maximxtn atteignit le plus grand- poids observé par M. Gay-Lussac*
(117). Si Ton remplace le disque par un cylindre vertical d'un très petit diamètre, l'équation (i) fera encore connaître le poids û qui répond k une bauteur k de la base du cylindre au-dessus du niveau du liquide; mais l'expression dé A en fonction de l'angle if ne sera plus U nlême que précédemment, et sa détermination sera plus diflicile.
Nous supposerais le rayon r du cyKndre tris petit par rapport à la constante a ; et, pour de semblables valeurs de / , nous ei»ploierons la seconde équation (3), dont nous n^ligerons le se* cond membre , dans une première approximation. On en déduira
DE L'ACTION CAPOiLAlRE.
alors
en fiuaant i^mam^, et tifaservHiit qu'on a pzssk quand <c=rr. On pourra 9 n l'on veut, poussa plus loin rapproximation ; mais nous noQS arréterans k cette yaleur de z; et Faquation (lo) sera celle de la sur&oe du liquide près du cylindre.
A la distante où lé plan tangent est très peu incliné ^ On réduira réquatioa (3) k la forme linéaire, sayoif :
Pour y satis&ire par une valeur de a qui devienne insensible pour de grandes valeurs dé /, on prendra
LklVîTF ^
e étant la base des logarithmes népériens , et m une constante ar* bitraire. On aura, en effet,
a?*= 5\/a * FTP "^ïFj, * 77!pî
en intégrant par partie, ou a
au mojen de quoi les iFaleon dé z, ^, ^, rendent identique l'é'-
quation (ti). Sfaprès la mamire dont nous a^vona é^k satis&it a cette même équation (n* 107), on peut' remarquer que son intégrale complète est
aS6 NODVBLtiE THÉORIE
« et € désignant kt$ deax constantes arhîtnii^es. Eb faisant
Vi.+ B -^ — a, p;===. — -,
et observant cpie les limites 8 = et 8=:qo, répondent à a: = 1 et x = QO , l'intégrale particulière dont nous voulons faire usage deviendra plus simplement
Les équations (10) et (i^) représenteront la ccnrbe OA du liquide dans toute son étendue ; elles devront coïncider pour des valeurs de t très petites par rapport à a, comme Je suppose Téquation (10)9 et ce* pendant très grandes par rapport à r, afin que la tangente à la courba OA soit très peu inclinée , ainsi que l'exige l'équation (la). Cest d'après cette condition que nous allons déterminer les deux constantes A: et a contenues dans ces formules.
(118).. Si nous faisons
1 équation (12) pourra s'écrire ainsi :
-Zdx
La fraction - étant très petite dans toute Tétendué de cette inte*
^rale, on poiuTa développer ^ en série convergente^ la seconde exponentielle coutetiue sous le signe /; on aura^ de cette manière^
Par des intégrations par partie^ on réduira toutes ces intégrales à la première; et si Ton fait
^ dx
DE L'ACTION CAPILLAIRE. iSi .
il en résultera
z = «V f I 4" "* H" 2 '^ "^ etc. j En difierentiant (^ par rapport à il ^ on a
du J i u '
d'où 1 on tire
. étant une quantité indépendante de ji. Plusieurs géomètres se a ïi occupés dé nntegraje p (^) et de la détermination de la constante c, dont la valeur a été calculée à un grand degré d'approximation. En se bornant à cinq décimales^ on a
D'après cela , si Ton substitue la valeur de p dans celle de z / et que Ton néglige les termes multipliés par u , nous aurons
z = a l^log ~? — c) ,
pour ce que devient la formule (la), relativement à des valeurs» de i très petites par rapport à a.
D^un autre côté, ces mêmes valeurs de t étant très grandes, relativement à r, on a, d'après la formule (10),
2 = A: -+- r cos ^ log ; — —-, — r---
En égalaiit ces deux valeurs de :s, on aura donc
a = — rcosfl), A — rcos^ log -(i + sin ^)r = a(loga V^a — c).
'*) Traité des Différences et des Séries de M. Lacroix, page 552. Voyez aussi ^ sur ce sujet 9 un très bon Mémoire de M. Soldner, imprimé i Munich en 1809, sous le titre 3e Théorie et Tables d'une nouvette fonction transcendante.
a4o IIOGVELLE THÉORIE
*=-'•«»♦(«*« (TfîsVr-^ <'^
Esfrimt îsssoottfsstf» dans oettefiiriBiiIe, elle eifriBMnrâé- TstioD OTi le d/|ireniiou Swêl liqoide le long d^en ^findbedoBt le diemètre cil très petit; et Foii Toit qae ceUe quantité, oontniieoient à œ qui e lien dans Fiiitenenr d'an tube fapjBaite, Aoûoiien de plos ea plu arec le diamètre* Lonqne le cjrliiidre aura été préalablement manille par le liyride, on anra^ss^et
*=,(!., îîp-c)
Si l'on snbilitne la formule (i3) à 4a place de k dans l'ëqualion (i), <m aura
A=-»fgrcos^[r"(log ^-^^^ - c) + «']•
A cause que r est suppose très petit par rapport à éi » le maximum de cette quantité répondra à ^ = ir ou 1=:^— -û», lorsque Tangle «
sera obtus, et à 1 = -^, quand il sera aigu. Ainsi > dans le premier
cas, le liquide se détachera du cylindre lorsque son extrémité O sera parvenue au point de larète DB, pour lequel 1 angle i est supplément de Tangle donué cù; et, dans le second cas, il ne se détachera que quand le point aura atteint rextrémité inférieure B de cette arête.
Si le cylindre est mouillé par le liquide, cest*à«-dii*e si Ton a /y =s «v, la valeur ûc i qui répond au majuimum de A sera zéro; le liquide se détachera du cylintîre dès que le point atteindra Textrémlté supérieure D de larète DB; et si Ion appelle q ce maximum, ou le poids nécessaire pour séparer le cylindre du liquide , on aura
Trmr Q/* (log ^^^ — c) H- a»^, (14
i désignant par m le poids d^an centimètre cube apposant les lignes r et a exprimées en centimètre
(' 19)* 'oQr que ns difffemtei formules MÎeaf «ttAnaramit appro-
chées» il fandn ^ lé^fiqppM:! | ^^ ^^^ fricdon .peu éoiimltfrable.
Voici deux expériences qpie . M. Gaj-Lussac a fiiites sur r«dkésioii de leeu à la base d'ua <0^%ulre Tertical^ dont Ja preaûère sati»; fait beaucoup mieux que la seconde à cette oouditSou.
Le diamètre du ^lindro étant o'^^âS^ et la température i6% il a trouTé pour le poids qui souleyait le <^Undie k Finstaut de la séparation du liquide^ différentes taleurs concises depuis oi^,o66 jusqu'à 09,072; en sorte qu'on peut prendre ce dernier nombre pour le maximum donné par Feiqîérience. Or^ en fidsant
r s o«», 1 54 , a sa o», 58854 ,
dans la fornmle (14)9 die domie
fsos,07499,
pour ce maximum; ce qui ne (fiffere que de oS|Oo5,
Sans la seconde expérience, laite à la mime température, le cy^ iindre ayait un diamètre de o<^'",578. M. Gay-Lussac a jugé que le poids nécessaire pour le détacher de l'eau était compris entre o8,â5o et os,a55. En mettant dans la formule (14) la yaleur précédente de a, et 0^^289 au lieu de r, on trouve
fsaoSyi^S;
résultat qui dll&re de robsetrattotf d'eliiriron un sixième de l'incon*
nue; ce qu'on jpeut attribuer à ce que le rapport -, au lieu d'être
très peât, s^élèye à environ -j.
(lao). Ocoupeina<*nous maintenaikt dW problème relatif à deux liquides en partie étiperposés^ dont la solution n'avait pas encore été donnée^ et qui présmte une application particulière des prin-* cipes de cette tbéorie.
Supposons qu*on ait versé sur un liquide, sur du mercure, par exemple, une large goutte d'un autre liquide; et proposons - nous de déterminer la figure de cette goutte et la surfiiice du mercure.
Si
^2 iNOUVELLE THÉORIE
J'appellerai I pour abréger, S la partie de cette surface qui nest pa& en contact avec la goutte , S' la partie de la surface de la goutte non en contact avec le ipercure, S, la portion de surface commune au mercure et à la goutte. Ces trois surfaces auront un même axe Vertical; près de la goutte , S tournera sa convexité par en haut, et deviendra plane à une distance peu considérable; S, sera concave par en haut. Dans toute son étendue, la goutte sera convexe; elle tournera sa convexité par en bas depuis son contact avec le mercui^ jusqu'à sa plus grande section horizontale, et par en haut, depuis cette section jusqu'à sou sommet.
Si l'on désigne par t 4a distance d'un point quelconque de l'une de ces surfaces à leur axe commun ; que l'on compte les coordon* nées verticales en sens contraire de la pesanteur et à partir du niveau du mercure, qui est la partie plane de S ; et que l'on désigne par z , z, , z', les ordonnées resj)ectives d'un point quelconque de S, S,, S\ leurs équations seront (n"^' ^ et 3o)
H et H' étant les constantes relatives au mercure et à la matière de la goutte I G une troisième constante qui dépendra de la matièi*e des deux liquides, p et p' leurs densités, c une constante arbitraire, et g la gravité. Les radicaux contenus dans les seconds membres des deux premières équations seront positifs; celui que renferme le second membre de la dernièi^e sera positif dans la partie supérieure de la goutte, et négatif dans la partie inférieure; en sorte que si 1 on représente par r le raj'on de contour du S, , et par / celui de la plus grande section horizontale de la goutte, ou son demi-dia-
mètre, re radical w ï-h-j— J>era positif depuis tsszo jusqu'à / = /,
et négatif depuis ^ = / jusqu'à t=zr.
Outw ces trois équations, il y en aura deux autres qui n'auront lieu
que pour le contour de S.. Pour les former, soit BACD (fig* 22) une section de la surface de la goutte ^ par un plan passant par son axe CB; et supposons que la partie DCA appartienne à S^^ et la partie DBA à Sj. Soient aussi DG et AF les sections de la surface du mercure par le même plan vertical. Prenons sur DBA deux points et O', et sur DG et AC des points M et M', tels que et M soient situés à des distances insensibles de D, et (y et M' à des distances insensibles de A. Dans les portions de courbe ODM et O'AM', l'inclinaison de la tangente variera très rapidement, et elles se seront pas comprises dans les équations (a). Nous supposerons que 0, M, 0^ M^ soient les extrémités de ces courbes particulièi^es, ou, autrement dit, nous supposerons que les distances insensibles OD, MD, O'A, M'A, surpassent, cepen* danty les rayons d'activité moléculaire du mercure et de la goutte. Cela posé , par les points et 0' je mène les tangentes OT et O'T' à la courbe DBA; par les points M et M', j'abaisse sur ces droites les perpendiculaires MK et M^K^, et j'élève les normales MN et M'N' aux courbes GD et CA. En appelant cà et e/ les angles aigus KMN et K'M 'N', ces angles seront donnés et dépendront de la matière de la goutte et de celle du liquide inférieur, qu'on suppose être le mercuie. Ces angles seront ceux qui se conclueraient de la dépression de l'un des liquides , dans un tube qui serait formé de la matière de l'autre liquide. Ainsi, l'angle e» sera de 4^^3o^ dans le cas d'une goutte d'eau, et un peu moindre, d'après ce qu'on a vu dans le n9 y^, sll s'agissait d'une goutte d'alcohol ; en même temps , ^' sera l'angle qui aurait lieu à l'extrémité de la surface de l'eau ou de l'alcohoi , contenu dans un tube de mercure solidifié* Or, si l'on appelle i et i' les inclinaisons sur un plan horizontal, des nonnales MN et M'N', et I, celle de la normale MK ou M'K', on aura
et, de plus,
dt
aU nOUVELLE THÉORIE
<m aun , par coodéqvent ,
équations dans lesquelles on pourra fiûre tssu r, sans erreur sensible.
Soit encore h l'abaissement du contour de S^ au-dessous du niveau du mercure ; h -4-/ rabaissement du point le plus bas de la goutte , ou / la fl^he de sa pcMrtion de surface S. ; A Mération de sa plus grande section, au-dessus du même nireau; k^m rëlévation de son sommet, et, enfin ^ c son épaisseur totale, c'est-ànlire
A: + et H- A 4-/5= «.
Nous aurons les équations partieulières :
<»o, z.z:^-.h-^f, 3-' = o, 2f^k + a, ^«Pj^ ^^^
40y ZSSOf stSS O.
La questioa oonnsteFa maintenant à résoudre jOM é^natioas («), {b)f (e), par approximation , en rappoeant les rajont i et r liis gnuids par rapport à l'épaiasenr de lî goutte.
(iatt), àptèt avofir firit
nous pourrons remplaoer la première équation (a) par ctlle^ r
en snppownt que Tistégrale s'éyanoûîsse quand ttasco . Dans tonte
DE L'ACTION CAPILLAIRE. a45
rétendae de b snHàee S à U^dle cette équation appartient, la variable « est tris grande. On peut donc négliger cette intégrale; on aura alors
ai SSL , .1.,, -^ 'a
en cowidéraiit le radical comme une qnantitë positive ; et Ton en condnra
à cause de < = r qnand s =ss -«- J^ Noos nous arrêterons à cette valeur de f, qui est le premier terme d*ane série ordonnée suivant les puissances descendantes de r, dont on obtiendrait facilement les termes suivans , si cela pouvait être utile. Cette équation (d) sera celle de la surfoce du mercure, en -dehors de son contact avec la goutte, et à une distance de oe contact, {dus grande que le rajron d'activité moléculaire.
Les deux autres éqvatmss (^i) se résoudront par l'analyse des n*« io6 et 107. ka sMsmet de la goutte, les deux rajrons de courbure sont égamc; fl eft est de même à son .point le plus bas. En désignant par f4 l^ir grandeur commune au premier point, et par X, au second point, on aura, d'après ces équations,
