Les deux premières des équations (5) donnent

^ («„ -4- >) («aa 4- X) = («„ 4- XC„)%

* («„ 4- À) («33 4- >) = («13 4- Xc,3)'.

Si l'on développe la troisième par rapport aux éléments delà troisième colonne, puis qu'on ait égard à la première des équations (5), et aux relations (6), il viendra

(«a2 -h >) (^/33 4- X) = {«23 4- Xt'aa)',

( 46o ) Nous obtenons ainsi les trois relations définitives

' («aa -h >) (û'aa "^ >) = {^n "4- >c,3)%

qu'on pourra remplacer par les trois suivantes :

1(033 -+- ^) («12 4- î^aia) = (<»3i -H >C3,) («3, -h >C3,), (au -h >) («28 -+- Xcaa) = (ûf„ -f- ^c„) (ai3 .+- >c,3), («« •+- X) (fl3, -h XC3,) = (ûf„ -h \c^) («„ -h XCj,).

L'élimination de X entre ces trois relations conduira aux deux équations de condition nécessaires et suffisantes pour que la surface représentée par l'équation (i) soit de révolution.

Ces équations d'ailleurs se présentent sous une forme assez compliquée, et il est préférable de conserver les relations primitives (7) ou (8).

En introduisant) dans les relations (8) , Thypothèse

Ci2 =S C23 = C31 ^ 0,

on retrouve les équations connues dans le cas des axes rectangulaires.

27. Développons maintenant les deux dernières équations (5). La quatrième donne

a^t +Xr4, 0424- "^^a a,, -4-X On -f-Xc,2 «41 4- Xc4, /Ï42 4-XC42

«ii4'X Ûii4-X<^ia

«21 4- Xc^i //ri 4- X

(fl,4 4-Xc,4)

— («24 4-Xr.,)

4-(/?44 4-Xr44) Si Ton remarque que le dernier déterminant est nul,f*t

(46. ) qu'on ait égard aux relations (7) ou (8), il vient après réduction

(9) (^«« "»- ^) («" -*- ^^«) = (^12 -^ ^^n) (''•« -*- ^^lO-

On trouvera de même, en développant la dernière des

équations (5),

(10) (au -f- >) («34 H- >r«) = («,3 -4- ^c.a) («u -H ><^m). Ces deux dernières relations peuvent s'écrire

Or la sphère (2) a pour coordonnées de son centre ( — mi, — /7it, — '''s); on obtiendra donc le lieu des rentres, ou les équations de Vaxe de révolution^ en remplaçant, dans les équations (11), mi, m^y m, respectivement par ^1 ^9 ^ ; les Cj*, 0,4, Cj* étant définis

Xi Xi X4

par les relations (3). On trouve ainsi

(>(jr,-4-Cn .ga-f-gis X^—axk Xi\ (Ca, JT, -t- JTa-hCM JTa) — g^ JT^ «Il -h> "" «i2-+->C,j

^ràl-^t-hg32-g2-f'.r3) — «3i^,^ ^13 -4-^<^l3

la ({uantité X est déterminée par les équations (7) ou (8).

La suite prochainement.

SOLUTION Vt LA OUISHON Ai%

(Toirp. seo);

Par m. h. DE GHARDONNET.

Je mène un plan perpendiculaire à la droite donnée.

Par son point d'intersection avec cette droite^ je mène, dans ce plan, une droite qui en rencontre les traces à égale distance de part et d'autre du point d'intersection. Ces nouvelles intersections appartiennent évidemment aux traces du plan cherché, traces qui coupent la ligne de terre au même point que les projections de la droite donnée.

Construction grap hique .

Je mène le plan (P'cîP) perpendiculaire à la droite donnée (aa') et je cherche Tintersection [mm') de cette droite avec le plan (PP') par les moyens connus. Je fais

( 463 ) tourner ensuite le plan (PP') autour àft la trace P'. Le point (mm') se rabattra sur le point vertical en /«j , sur la projection a' (perpendiculaire à P') , et à une distance moWi de la charnière P' donnée par l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés m^, m\ et la distance mp du point (mm') au plan vertical. Le point h de la trace P , qui se projette verticalement en a , tombera de même en f\ , sur la projection a' à une dislance de P' donnée par l'hypoténuse d un triangle rectangle ayant pour côtés ah et am^. Ces deux triangles auxiliaires seront construits sur la figure même en i7«oj3/r/ et Wiya. Menons dri , rabattement de la trace P. Par le point mj, on tracera Wi , /ii parallèles à P'; puis on prendra. sur la ligne (îr,, à partir de son intersection n^ avec ni^ri^^ n^dà = »i. On mènera ensuite la droite Ci m, qu'on prolongera jusqu'à la rencontre B avec P'; enfin on portera <îCi en (ÎC sur la ligne P et on joindra Ca. On aura ainsi la trace horizontale Q du plan cherché : la trace verticale Q' s'obtiendra en joignant «B.

Note. MIVL Dollé (Charles) , ex-élève du collège de Compiègne, Moncomble (A.), élève du lycée de Douai, ont adressé la même solution.

M. Dislère (Paul), élève du lycée dé Douai (classe de M. David) , fait usage des plans de rabattement, uniquement pour montrer un emploi de ce procédé.

SMIITION DE LA QGESTrON 45S

(voir p. 4$4);

Pak m. a. cornet,

Élève du lycée Saint-Louis (elasse de M. Briot),

lim

( 1 V. . H ) = L.2 quand «dev. infini,

(464) J'efTectue successivement les divisions de i par n ;i -+- 2, 7i-f- 3,..., an et j'obtiens

n n* n^ /?♦ /iP-*"'

I I /i /i' /i* , nP

Je dis maintenant que la somme des termes d'une colonne verticale quelconque des seconds nombres a pour limite une fraction dont le numérateur est l'unité et le dénominateur l'exposant de n au dénominateur commun a tous les termes de cette colonne verticale ; ainsi la somme

de la Ip-hiY^""' colonne verticale a pour limite -

quand n augmente indéfiniment.

En effet , ces termes ont pour numérateurs les n premiers nombres entiers élevés à la puissance p ; leur dénomin^teur commun est n^'^^ \ leur somme est ^ d'après une formule connue )

Les quantités S^.j , Sp^j, etc., sont les sommes des n premiers nombres élevés à la puissance p — i^p — a , etc.; elles sont du degré p^p — i , etc., en n ; donc en divisant

( 465 ) haut et bas par w''+% il vient

/ iX/"^' A A'

Quand n tend vers l'infini , on a lim y= •

D'après cela, quand n tend vers l'infini, la somme de ( 1 ! h.. H I ? Qui est égale à la somme

de toutes les colonnes verticales, tend vers

qui est le développement de L. 2. c. q. f. d.

Note, C'est une conséquence de la question 453, en

effet lorsque n est infini , les deux limites deviennent

égales 5 et alors