Notations, Sur une droite A', prenons n points, et

d'un point O pris hors de cette droite, menons n rayons

à ces points. Ces rayons pris deux à deux donnent

nfn — i) , , . , j • 1 ^ (n — 0 • — ^ ' angles^ désignons le produit des — ^ -' sinus

de ces angles par A^ .

2. Théorème: Soû donné dans un même plan ce sjslème de n droites A', A'', . . . , A^"^ trax^ersé par un second système de n droites B', B'', . . . , B^**^ \ chacune de ces an droites contient .n points d'intersection^ menons d^un point O des rayons aux n* points d* intersection ;

les n points d'intersection situés siw fa droite A! donnent Ap^ sur la droite A'', le produit Ap-, posons

a'' a" A*^ a'"^ — a- • dfe 5orf e ^we a e^r /e produit de — sinus ; désignons par (3 le produit analogue pour ^\si-T est un quotient constant, le lieu du point O est une ligne d*ordre 11 et passant par les n* points d'intersection.

Démonstration, Soient r^ Tj, deux rayons interceptant le segment 5, et h la hauteur du triangle ayant pour côtés r,, Tj, 5; on a

hs smr,, ra= :

remplaçant chaque sinus par iine telle valeur, on retombe sur le théorème des distances (p. 368).

Obseri^ation. Faisant

on a la propriété vulgaire des coniques relative au rapport projectifde M. Poncelet^ bi-multiple de M. Steiner; anharmonique de M. Chasles.

3. Soit un système de /i plans A', A^, . . . , A^") et un second système de n plans B', B", . . . , B^"^ ; ils se coupent suivant n* droites par lesquelles passent une infinité de surfaces d'ordre n (page 368)^ ôtons les plans A', B', il reste deux systèmes, chacun de /i — i droites, et par les [n — i)* droites d'intersection passent une iûfinîté de surfaces d'ordre n — i. Une surface d'ordre n coupe une surface de l'ordre n — i suivant une ligne d ordre n[n — i) : or ces surfaces ont en commun («— i)* droites^ donc elles ont encore en commun une ligne

( 443 ) d'ordre 7i — i . Or, je dis que cette ligne est plane et que son plan passe par l'intersection des plans A', B'. En effet, soit O un point de cette ligne; le produit des n distances de ce point aux n plans A', A'', . . . , A<"^ divisé par le produit des distances du même point aux n plans B^ . . . , B^"> est un quotient constant quel que soit le point O pris sur la courbe ; de même, le produit des n — i distances du point O anx n — i plans A'', . . . , A^**^ divisé par le produit des distances aux n ■— i plans B", B"', . . . , B<'*^ ; donc la distance du point O au plan A', divisée parla distance au pla poic et B'. c. Q. F. D.

Jan B', donne un quotient constant : ainsi le lieu du >oint O est dans un plan passant par F intersection de A

i. Si A et B représentent des droites situées dans le même plan, on obtient une propriété analogue pour les courbes planes.

5. Si les A et les B représentent, des surfaces, les droites d'intersection sont remplacées par des courbes d'intersections, qui présentent encore des propriétés analogues à celles qui sont énoncées cî-dessus pour les droites.

TflBORÈMES DIVERS ET PROBLEMES SUR LES COURBES PLANES^

De m. J. STEINER (*).

t. Notation, Soient une courbe plane C" de degré n et F un point fixe dans le plan de la courbe -, si un faisceau de droites passe par le point fixe F, chaque rayon du fais-

{*) Bulle lin mensuel de l Académie de fio /m, juillet i8r)8, p. f\i()-f\t\^.

ceau coupe la courbe en n points. Pour un rayon quelconque, soit p le produit des distances des n points d'intersection au point F.

Théorème I. Les rayons se partagent en général en groupes de ^n droites où dans chaque groupe les produits p sont égaux. Entre ces 2 n droites, il y en an oit le produit p présente un minimum relatif. Ce minimum devaient autant de fois un maximum que la courbe a de couples d^àsymptotes imaginaires,

2. THÉORÈME II. Si on prend sur chaque rayon un point q tel, que sa distance au point fixe F étant élevée à la puissance n soit égale au produit p^ le lieu de ce point est une courbe Q*" de degré 2 n , qui a n doubles asymptotes qui passent par le point F; ce faisceau d^ asymptotes rencontre la courbe C" en an (n — i) points^ dans chacun de ces rayons asymptotes, le point ({ coïncide av^ec un des 2n (n — 1) points d'intersection. Ainsi il passe par le point F, 2 n (n — 1) rayons tels^giie pour chacun un certain segment est moyenne géométrique entre les n — i autres segments. Le point q^ déliant être porté de part et d'autre du point F, 1/ s^ ensuit que F est le centre de la courbe Q*" et un point singidier multiple.

3. Théorème III. Dafis les n droites oii le produit f est un minimum relatif, la distance du point q au point F est aussi un minimum^ de sorte que ces droites sont, au point q, normales à la courbe Q'".

4. Applications aux coniques. En faisant « = 2, les ^n droites du théorème I se réduisent dans i^ellipse à deux réelles, qui sont parallèles à deux diamètres égaux; les deux autres sont imaginaires *, comme il y a un couplt-' d'asymptotes imaginaires, il y a une droite qui est un maximum; c'est la parallèle à Taxe focal. Dans l'hyper-

bole, il y a quatre transversales parallèles aux quatre diamètres égaux; deux de ces diamètres appartiennent à l'hyperbole conjuguée.

5. Théorème. IV. Par un point fixe F, situé dans le plan d'une conique^ on mène trois transi^ersales quelconques^ sur les trois cordes comme diamètres , on dé^ crit des cercles. Le point radical de ces cercles est fixe.

Si le point F est à l'infini, le théorème devient évident.

6. Théorème V. Une droite de longueur constante^ qui se meut entre deux courbes planes d'ordre p et q, enveloppe une courbe de classe ^ ipc^et a à V infini une tangente de confact ^ pq.

7. Théorème VL Une droite de longueur constante^ qui se meut dans une courbe de degré C", de degré n, env^eloppe une courbe de la classe a n (n — i); il y an (n — t), • cordes de direction donnée; Venueloppo touche les n asymptotes de la courbe C" à Vinfini dans un contact de quatre points ; les milieux des cordes parallèles sont sur une ligne de degré n — * ( * ) •

8. Soit la courbe C* \ et l'enveloppe de la corde constante est de vingt-quatrième classe ; cette enveloppe et la courbe C* ont i2.a4= 288 tangentes en commun^ parmi lesquelles sont les quatre asymptotes, qui comptent chacune pour quatre tangentes ; de sorte qu'il reste 288 — 16 = 272 tangentes communes. Soient S une de ces 272 tangentes, a. le point de contact avec la courbe C*, et (3, 7 les points d'intersection de cette tangente avec la courbe C*. Si /3 et y sont du même côté de a , alors j3 y est égale à la corde constante; si à est entre /3 et y, c'est a ^ ou a y, qui

(*) Il serait commode d'adopter les expressions contact biponctuely tri' ponctuel, (juadhponctuci, etc.; de même pour ]e point multiple, Tm.

«st égale à la courbe constante^ dans ce dernier cas, les deux courbes se touchent en a , et S compte pour deuxtangentes communes.

9. Soit la courbe C^ -, l'enveloppe est de la douzième classe et a avec la courbe C*, en commun 6.12=72 tangentes , parmi lesquelles les trois asymptotes de la courbe C^ comptent pour 3 . 4= 1 2 tangentes, de sorte qu'il reste 72 — 1 2 = 60 tangentes non asymptotes. Soient S une de ces 60 tangentes, a le point de contact, et |3 le point d'intersection. Les deux courbes se touchent en a, et a/3 est égale à la corde de longueur constante; de sorte que chaque tangente compte pour deux; il n'y a donc que 3o tangentes communes distinctes et Ton obtient les théorèmes suivants :

40. TnÉORiÈME VII. Dans toute courbe de troisième degré, il y a 3o tangentes pour chacune desquelles la distance du point de contact au point d^ intersection est de même longueur.

Lorsque cette distance est nulle, on a les 3o points d'inflexion dont trois seulement sont visibles.

^ H. Théorème \IIL Dans une courbe C^^ on ne peut mener que 60 transversales coupant la courbe en trois points a, j3, y, tellement que aj3, ay soient de longueurs données.

42. Théorème. IX. Courbe C*; Vens^eloppe de la corde constante est de la quatrième classe^ par un point fixe on ne peut mener que quatre cordes égales; les quatre milieux de ces cordes sont sur un même cercle^ dont le centre est indépendant de la longueur de la corde, et si C représente deux droites, Ven^^eloppe est une courbe parallèle à une hypocycloïde.

La suite prochainement^

(voir page 368) ;

Par m. CHALLIOT,

Élèye du lycée de Versailles.

Joignons par une droite les centres des cercles inscrit et circonscrit à un triangle 5 cette droite rencontre le cercle inscrit en deux points ; soient s et s^ les puissances de ces points relativement au cercle circonscrit, r le rayon du cercle inscrit , R le rayon du cercle circonscrit, on a la relation

(Gruneut.)

(On admet comme connu le théorème que : La distance des cercles inscrit et circonscrit à un triangle est moyenne proportionnelle entre le rayon du cercle circonscrit et l'excès de ce rayon sur le diamètre du cercle inscrit. ) En sorte que sur la figure, on a

[Voir t. IX, p. 216.)

Cela posé , on a par définition

s =EFXEF', 5'=:E'FxE'F'

Multipliant membre a membre , il vient

ss' = (EF X E'F) X (EF' X E'F').

Si des points F, F' on mène les tangentes FG , F' G' au cercle inscrit, il vient

et puisque

j/ = FGxF'G'.

FG±=(R — rf)'.— r'.

il vient enfin

ss' = [( R — V^R' — 2Rr)"^ — r'] [( R 4- n/R'— 2Rr)' - r« ].

Si Ton développe et que Ton effectue la multiplication indiquée, il vient, après la réduction des termes semblables ,

ss' = r=*(4R4-^).

J}/ote, MM. Saintard (de Magny), E. Descourbes, Léon Brault (institution Barbet) ont aussi résolu ce problème, et le dernier a résolu aussi le problème 4SI.

NOTE 8ar les éfiatioBS de coaditiei qsi défiBisseot u système de poiits;

Par m. BOURGET,

Professeur à la Faculté des Sciences de Clermont.

i. Dans les Traités de Mécanique, on définit un système de points par l'ensemble des équations

qui lient entre elles leurs coordonnées x^ y^ z\ x\y\ z\ etc.

Certaines propriétés générales du mouvement exigent la condition spéciale de la liberté du système. Quels caractères doivent présenter les équations (i) pour que le système soit libre? C'est une question qui n'est pas résolue dans les ouvrages classiques, et sur laquelle je veux dire quelques mots dans cette Note^

2. rappellerai système libre un système tel , qu'en le supposant à Un instant quelconque invariable de figure par la solidification , on puisse lui donner un déplacement quelconque»

Or, un déplacement quelconque peut être produit patune translation utiie à une rotation. D'autre part, une translation peut être considérée comme le déplacement résultant de trois mouvements parallèles aux axes, et la rotation autour d'un axe peut être regardée comme venant de la composition de trois rotations autour des mê-^ mes lignes.

Donc nous pouvons dire qu'un système est libre y sî, en le supposant solidifié à un instant quelconque, on peut lui

Ann. de Mathémat.. t. XVll. (Décembre •858.'» 29

( 43o ) donner trois translalioiis arbitraires parallèlement aux axes, et trois rotations arbitraires autour des inêmes droites.

3. D* après ce qui précède, chacune des équations (A) doit être satisfaite identiquement à une époque quelconque , lorsqu^à la place de

on met

j? -I- flf , X* -ir Oy j:" -f- « y . . . ,

a étant une translation commune à tous les points parallèlement à (yx si le système est libre. Donc, dans celte liypolhèse, on doit avoir l'identité

rfL rfL flSu ^r/L

et aussi les deux suivantes ;

^~"di'^~^ '^lî^' "^ 2à'd^'

4. Ddnnons à présent une rotation a autour de 0 j:; j et z varient seuls , et si nous nommons r la projection cl«? OA sur le plan j^Oz, y l'angle de cette ligne avec Oj'r nous avons

jr=rcosç, z=rrsinf.

Donc la rotation on fera varier j- et z de quantités èZ', S y données par les équations (*)

^j = — 2, a, Sz=:y.oL.

n Car

( 45i ) Donc, si le système est libre, l'équation L = o sera identiquement satisfaite , quand à la place de

nous mettrons

ainsi donc nous devrons avoir l'identité

et de même les suivantes :

2/ dh dV\

5. En résumé, la liberté du système , telle que nous Pavons définie , est caractérisée par les six équations suivantes^ qui doivent être des identités :

( 45:» ) pour réquatioii

et par six identités semblables pour chacune des autres équations

G. A l'aide des relations précédentes, on voit découler naturellement les principes généraux des équations fondamentales de la dynamique

d'x ^ dh flU •

di^ dz ^ dz

d^^' ^, . d\. dVL

m — -— = X'-h A --7 -h a -— ■ -4- . . . , dt^ dx' ^ dx'

que Ton déduit du principe de d'Alembert combiné avtx' celui des vitesses virtuelles , ou que l'on démontre directement ainsi que M. Poinsot Ta fait dans une note placée à la fin de son admirable Statique.

1°. Ajoutons membre à membre les équations relative» aux coordonnées de même nom, il vient

mais en nommant

*i> Xn

i 453 ) ] es coordonnées du centre de gravité, M la sonime des masses, et en admettant que le système soi l libre , ces équations conduisent à

C'est de là que Ton déduit le principe du mouvement du rentre de gravité.

On voit qu'il a lieu pour un système libre ^ mais on voit qu'il est encore vrai pour un système qui ne serait qu'imparfaitement libre, c'est-à-dire qui ne satisferait cju'aux équations dé translation

2dJj dLi dlà

2.^, Multiplions lès équations (C) respectivement par 2djCj 2dfy zdZy 2fitr',...,.

ajoutons , il viendra

= ^{Xdx'hYdy-^Zdz)'-'k^dr--'...y

car

dh ^ dL ^ dh ^

d^ ^ dM^ dM ^ dt dx ^X

(454) D'où Ton voit que si L, M, etc., ne contiennent pas le temps explicitement, on obtient

^d^mi>^=^(XiÙ€'hYdz'hZdz),

d'où

L'^mç^^^'^mPl=='2j{Xdx^Ydr + Zdz).

C'est Tëquation des forces vires. On voit qu^elle a lieu pour tout système libre ou non libre , pourvu que les équations de conditions (A) ne contiennent pas le temps explicitement.

3^. Des équation» fondamentales (C) nou» tirons encore par une combinaison ccmnue r

et si le système est libre ;

(455) De là on tire le théorème des moments, et, dans un cas particulier, le principe des aires.

Ces équations, comme on voit, ont lieu dans le cas même où le système incomplètement libre pourrait tourner autour de Forigine après sa solidification.

En comparant les démonstrations précédentes à celles des Traités usuels de Mécanique, elles nous semblent préférables, d'abord parce qu'après avoir établi les équations du mouYement, il est naturel d'y chercher toutes ses propriétés générales, ensuite parce qu'on aperçoit très-bien par notre voie les conditions précises que le système doit remplir.

7. Nous pouvons nous demander à présent quelle composition supposent pour les équations

relativement aux coordonnées, les conditions (B) différentielles de liberté du système.

Pour résoudre ce problème, il suffit d'intégrer les équations (B) aux dérivées partielles-, mais on parvient au même but plus facilement peut-être en suivant la marche que nous allons indiquer.

A un instant quelconque, la forme du système est déterminée, si nous nous donnons les trois côtés du triangle AA'A''^ puis les distances à ces trois sommets de chacun des autres points. Si actuellement nous nous donnons la position du triangle AA' A", le système sera déterminé de forme et de position. Or, pour placer le triangle A A A'', il suffit de connaître les trois coordonnées JC, y^ z du point A , deux coordonnées jc', y' d# A', une coordonnée x" de A"y puisqu'on vertu des distances connues, il existe trois équations entre les coordonnées des points A , A' et A''. Donc en posant

AA' = /;, AA" = 7., A'A" = r, kk!" =.$,... ^

(456) on aura entre les coordonnées x, y y z, x\ etc., elles distances p^ q, r, s , etc., 3/i — 6 relations, d'où Ton tirera 3n — '6 coordonnées en fonction des six

Substituant dans les équations

chacune deviendra dans son premier membre fonction de ces six coordonnées et des distances pj q^ r, etc., de sorte qu'on aura en particulier

o = L = F(x,j,«,.r',/)af",>, 9, r,. ..).

Actuellement supposons le systènie libre , donnons-lai les mouvements arbitraires déjà indiqués, et observons qu'après la solidification p^ q^ r, etc., ne changent pas-, nous obtiendrons les identités

dL dx

dL dx>^

dL dz

0= z—— dx

dL „ dL

dL dy

-■ër

^ dx"

De la quatrième nous lirons *

rfL

= 0. Ti

( 457 ) et comme on peut toujours choisir un système d'axes tel , que z — z' ne soit pas constamment nul, on voit que

dTu

Des deux dernières, on tire alors

dlu

dL di

dL dx"

yz^r^^y

i.y^-zy')

par suite

dL dL

Donc enfin,

Un système défini par les équations

sera libre, si ces équations ont lieu seulement entre les fonctions des coordonnées qui déterminent la forme du système , sans déterminer sa position dans Tespace.

APPLICATION m LA NOUVELLE ANALYSE AUX SURFACES DU SECOND ORDRE

(voir p. M8};

Par m. PAINVIN,

Docteur es Sciences.

25. Comme application des théorèmes qui précèdent, je vais donner les caractères auxquels on reconnaît qu'une

( 458 ) surface du «econd ordre est de révolution, en cooservam aux axes une direction quelconque.

Soit

(0 9 = 1 -t-2rt,3.r, jTg 4- 2a,^x,x^ -f- 2 «„ jr^ .rj | = o,

I équation d'une surface du second ordre, et

|^î+ -a??-*- xl-h C44 jrj-i- 26-„a:. .r, + 2c,3 x, X3 \ -+- 2C,4 .r, X4 4- 2Ca3 Xj X3 4- 2^,4 x, X4 ( = 0, •" ^ ^3» ^3 ^i I

l'équation d'une sphère.

Nous avons posé

/ c„ = cj, =rcos (x„x,); r,3 = c3- = cos (x,,x3); ^23 =r C32 = cos ^Xa, Xg) ;

(3) / ^i« =<^4i = '''• H-z^'a^^iî -H /«3«*.3; ' 0,4 = C4, = W, f j, «f- Wj -f- /W3 c,3 ; Tg, = C43 = /w, C3, 4- /Mj C3J -h /W3 ; C4; = /«; -h ^/î.' H- /wj -h 2c,, rnt itîi h 2 c,3 «, .7/3

dan» ces formules, r désigne le rayon de la sphère, et ( — m,, — /Wj, — W5) les coordonnées de son centre.

L'équation la plus générale des surfaces du second ordre, passant par Tintersection de la sphère et de la surface proposée, sera

(4) (pH-).F±=:0.

Or la condition nécessaire et suffisante poin* que la surface représentée par l'équalion (i) soit de révolulion.

(459) est que la surface (4) s^ réduise à deux plans parallèles ; car alors les intersections de la surface du second degré par la sphère variable (2) se composeront d'une série de cercles parallèles ; et le lieu des centres de ces sphères sera Taxe de révolution.

En appliquant à Téquation (4) les conditions énoncées au n? 24 pour que Téquation du second degré représente deux plans parallèles, on obtietfl les cinq relations suivantes :

«3l4-XC3l <Ï33-H> «Il + ^ flu H- ^^11 «13 -*- ^<?I3

«Il 4-^ «12 4-^Cu Ou 4-Xc,4 ûj, -4-XC2, flaa 4- À aM4-XCa4

«4, 4- X^41 «45 4- X^«a «44 4- XC44

«11 4- > «13 4-^^13 flM4->C|«

£l4, -H ^^4, «43 4- Xr43 «44 4" ^ 0<