Calcul intégral
6. Mécanique. Principia pro motu sanguinis per arterias determinando, en 4^ paragraphes 5 les paragraphes I à i4 manquent.
7. Astronomie. Astronomia practica contient a 19 paragraphes et 7 chapitres sur l'attraction des sphères, et sur les forces perturbatrices. — Nouvelles Tables astronomiques pour calculer le lieu du soleil, Berlin 1744$ avec beaucoup de corrections grammaticales de la main de Formey . Euler, obligé d'écrire en français, langue qu'il connaissait encore peu, rédigeait ses Mémoires en latin et puis en faisait des versions, ce qui lui prenait beaucoup de temps •, dans la suite , il parvint à écrire de prime abord en français.
8. Artillerie. Meditatio in expérimenta explosione tormentorum nuper instituta (autogr. 6 pages).
9. Phjsica. Un traité de physique en allemand, )pcrit vers 1730 et pour lequel Euler a reçu 100 thalers de gratification; la sixième feuille manque 5 contient les principes généraux. — Théorie générale de la dioptrique (en français); diâere beaucoup du Mémoire inséré en 1765 dans les Mémoires de V Académie de Paris ^el M.Fuss dît que la publication serait encore très-intéressante. — Recherches sur la découverte des courants de la mer (en français). Il serait intéressant de comparer ce Mémoire avec la Géographie de la mer, par Maury, ouvrage traduit par mon fils, professeur d'hydrographie à Dunkerque. — Commencement d'une réponse à une question proposée par l'Académie de Paris en 1751 et non envoyée. Fuss dit qu'elle aurait été couronnée.
Mélanges. Dans cette précieuse réunion de documents, M. Fuss a montré autant de dévouement que de sagacité. Tous ces papiers étaient entassés sans ordre. Car en' 1772 la maison d'Euler fut détruite par un incendie et tous ses manuscrits furent transportés pèle-méle dans un autre domicile. Il y en eut aussi de perdus en entier ou en partie. — Ce préambule est suivi de l'Eloge d'Euler, par Nicolas Fuss^ père du secrétaire actuel, et lu à l'Académie du 23 octobre 1783 (xxix-xlix). — Ensuite : Index systématique et raisonné des Mémoires arithmétiques de Leonhard Euler contenus dans les deux volumes de cette collection, par MM. V. Bouniakowsky et P.Tchebychew (*) (lh-lxxxvii).
1^^ section. Divisibilité des nombres; décomposition des nombres en facteurs ; nombres premiers ; théorie des résidus.
{*) P est la lettre initiale de Pafnoufty , saint russe , patron de la Tille de Borrows, gouvernement de Kalouga. M. Tchefoychew est né près de Borrow« .
%^ section. Décomposition des nombres en sommes de différentes formes en carrés, en nombres triangulaires, etc.
3^ section. Analyse de Diophante; résolution d'équations indéterminées. Problèmes^ les sujets sont classés d'après le nombre d'équations simultanées qu'il faut résoudre sur certaines conditions et non d'après le nombre des inconnues , distinction très- rationnelle.
11. Mémoires qui se rapportent plus ou moins directement à la théorie des nombres.
Cet index, conçu dans un esprit philosophique, oJBFre une lecture très-instructive et facilite singulièrement les recherches. L'index donne les titres de quatre-vingt-huit Mémoires publiés antérieurement et de cinq inédits. A coté des énoncés latins , les auteurs ont mis des traductions françaises avec d'utiles développements^ les Mémoires sont de 1732-1772.
Tomus posterior j in-4 de 65 1 pages.
Les Mémoires de i77i à 1782 et les Opéra arithmetica inédites.
Tractatus de numerorum doclrina capita xvi quœ supersunt, de 5oi à SjS, commence par les Notices les plus élémentaires , et chapitre XV, de divisoribus numéro* rum/omice a?* -h 2 j^*.
ARITHM0L06IE.
KiiMM£R. Sur la loi générale de réciprocité des restes de puissance.
C'est une extension du théorème de Legendre et de Gauss sur la loi de réciprocité pour les formes quadratiques, section 5® des Disquisitiones ^ et s'applique aux
(65) puissances X ; ce nombre X étant premier absolu, mais ne se rencontrant pas comme facteur dans Fun des numérateurs des pretniers - (î — i) Nombres bèrnoullléns.
Divisons la suite naturelle des nombres carrés par le nombre premier p\ les puissances de p donnent pour reste zéro^ mais les autres carrés donnent pour reste, non tous les nombres de la suite i, 2 , 3, . « . , je? -^i^ mais certains de ces nombres qu'on nomme résidus quadrati" çues^ et les autres nombres de cette suite sont nommés résidus non quadratiques ou simplement non résidus; soit , par exemple ^ je? = 5 ; dans la suite i , 2 , 3 , 4 > l^s nombres i et 4 ^i^t résidus, et 2 et 3 non résidus, car ^9 4) 9» 169 divisés par 5 ne laissent pour restes que i et 4* Gauss a démontré le théorème suivant qu-il nomme fondamental {Disquisit. ,§131, section IV.)
Soit p un nombre premier de la forme 4 n -f- i . Si, parmi les résidus quadratiques de p se trouve un nombre premier q , le nombre p sera aussi un résidu quadratique ^ q ; et 51 q est un non résidu de p, p est aussi un non résidu de q.
Si p est un nombre premier de la forme 4 n -+- 3 et -h q un nombre premier résidu quadratique de p , alors — p sera résidu quadratique dec^^et si 4- q est un non résidu^ — p sera un non résidu de q.
C'est ce tbéorème fondamental qui constitue la loi de réciprocité des résidus et non résidus quadratiques y c'est cette loi que M. Kummer a étendue à des puissances quelconques y assujetties à la condition ci-dessus énoncée; sa démonstration est fondée sur la théorie des nombres complexes effectifs et idéaux ('*'), démonstration analogue
(*) Des éclaircissements sur les nombres idéaux qui ne sont pas les imaginaires ordinaires sont très-désirables , même indispensables.
Bulletin mathématique , t. IV. (Septembre i858.) 9
(66) à la seconde démonstration que Gauss a donnée de son théorème fondamental (Disq. , scct. V, ^ 262). Ce Mémoire extrêmement concis échappe à toute analyse. {Bulletin de TAcad. de Berlin.)
V. BouNiAKOWSKT. Sur un problème de position relatif à la théorie des nombres, (Bulletin physique et mathématique de l'Académie de Saint-Pétersbourg, t. XVI, .857.)
1. Soit la suite naturelle des nombres impairs de I à 2 N -h I écrits dans ces ordres successifs ; pour fixer les idées , prenons N = 4 •
Ordre primitif. ... 12 34^^7^9
Le rang n° i se trouve déduit du premier d'après cette loi : on écrit le premier terme (i) sous le terme du milieu (5) ; le second terme (2) à gauche du i-, le troisième sera à droite , le quatrième à gauche, et ainsi de suite.
On déduit le rang n? 2 du rang du n^ i, d'après la même loi ; le premier (8) sous le ternie du milieu (i) ; le second terme 6 à droite; le troisième terme 4 à gauche*, parvenu au quatrième rang, on retrouve l'ordre primitif.
Si dans Tordre primitif on s'arrête à 8, il suffit de supprimer la colonne des 9 ; on voit même qu'en général , soit que l'ordre primitif se termine par 2Noupar 2Nh-i, il faut toujours former le même nombre de rangs pour revenir à l'ordre primitif
(67) 2. Soit donc la suite
où if est un nombre quelconque de cette suite ^ représentons par i*i le quantième de la place qu'occupe ce nombre u dans un rang quelconque , et par i^f le quantième dans le rang immédiatement suivant ; les places sont comptées de gauche à droite. On a cette relation
et Fauteur parvient à ce théorème final :
Le nombre minimum de transformations qui ramène à son état primitif un agrégat composé de aN -4- i ou aN éléments, est déterminé par t exposant minimum /x satisfaisant à la congruence
Exemple , on a
4* — 1 = 17 ou fA = 4; 4*~- ï = ^^5 = 17. i5,
N=:6; 4N-Hi = 2i;
on a
2* — 1 = 21; fx=r6.
On trouve dans cet ingénieux travail encore d'autres considérations très -intéressantes; par exemple, il y a le cas où Ton rencontre des colonnes formées par le même nombre qui se répète; soîl N=8; 2N-}-i=i7, le nombre 6 est le même dans la sixième colonne, comme le nombre 17 dans la dernière colonne; on donne des règles pour trouver ces sortes de nombres.
(*) Le point leibnitzien indique un multiple ; Tautenr se sert de la notation usuelle.
BIBLiOGRAPHIB.
Teattato pel modo bkevissimo di trovare la radice QUADRA DELLi NDMERi , €( Regolc d'approssîmarsi di continuo al vero nelle radici de* numeri non quadrati , con le cause et inventioni loro, et anco il modo di pigliame la radice cuba , applicando il tutto aile opéra* tioni militari, et altre di Pietro Antonio Cataldi, lectore délie scienze matematiche nello studio di Bo* logna -, air illustrissimo signore et padrone colendissimo Fra Ludovico Mariscotti, conte et cavalliero Hiero* solimitano gentilhuomo di caméra del serenissimo sig. duca di Savoia, et stipendiato délia sacre Maesta del Re Catolico. In Bologna, apresso Bartolomeo Cochi. MDCXin. Con licenza de' auperiori. In-folio de i4o pages; titre , dédicace et poëme 2 pages.
A la dernière page (14^)9 Tauteur s'adresse au lecteur et sollicite son indulgence pour le peu d'ordre et même de clarté qui règne dans l'ouvrage auquel, tourmenté par des douleurs physiques et morales, il n'a pu travailler qu'à bâtons rompus et par fragments. Les dernières lignes annoncent que le manuscrit a été livré à l'imprimerie le lundi 11 août 1597 à ^^ beures un quart (9 heures un quart du matin) (*).
La vignette du titre porte le blason des Mariscot avec la devise Loyalemant sans douter^ le portrait en taille-
(*) Cataldi, né à Bologne, mort le 11 février 1638, Professeur de mathématiques et d'astronomie à Tuniversité de Bologne depuis ]584 jusqu'à 1614. A publié plus de trente ouvrages.
(69) douce du chevalier de Malte, alors âgé de trente-cinq ans, précède la dédicace (*).
Dans les douze premières pages ^ on lit une méthode abrégée, très-péniblement exposée, de l'extraction de la racine carrée et d'autres racines ; on trouve chiffre par chiffre, mais des opérations mentales facilitent les soustractions, les divisions et les élévations aux carrés. L'auteur sépare les tranches, allant de droite à gauche, en mettant un point sous le premier chiffre , un autre point sous le troisième, le cinquième, etc.
La page 12a pour titre :
Discorso intorno al modo dipigliarey à troi^are la radiée quadra prossima delli numeri non quadrati, for^ mando il rotto y che sia pià del doi^ere, et délia approS" simasione continua.
Procédés et raisonnements très- justes, mais portant toujours sur des exemples numériques. Us sont obscurs et pénibles à suivre : transcrits algébriquement , tout se ramène à ce qui suit :
Soit N un nombre entier non carré ; posons
où a' est le plus grand carré contenu dans N ; on a les identités
\ laj 4^
{*) Le célèbre général du Génie Marescot, mort en i83i, prétendait descendre de cette famille des Mariscotti qui a produit plusieurs hommes distingués dès le xiii' siècle.
OÙ
On voit que les quantités ai , at , as , etc., vont en diminuant et sont toujours supérieures à VN. En effet
a,= aî — 6, -4-7r-4 = <ii 4- ^ -♦- 7— 1 4«î 4«!
et les expressions — » — > — vont aussi en diminuant.
'^ 2a 2ai 2as
Ainsi on approche de plus en plus de la racine , toujours par excès ( piii del do^ere).
L'auteur donne pour exemples
et trouve successivement
Ce procédé algébriquement écrit devient une série.
2. A la page 18, on trouve ce procédé pour trouver des valeurs de plus en plus grandes, mais toujours in-
(7' ) férieures {minore del dovere) à la vraie valeur :
b, [(a, 4- fl -h i)' — 2a, (« H- fl, -M) -4- «; — ^. — «; ]
Or
(a H- !)*>«; 4-^. et fla>û., aJ<N,
et ainsi de suite.
Exemple :
11 fait la juste remarque que, pourvu que Ton choisisse pour Ui une valeur quelconque, mais telle que son carré soit inférieur à N , le même procédé donne pour a, une valeur plus approchée et toujours par défaut; par exemple prenons
a, = Os
qui remplit la condition exigée-, on trouvera Soit
(7>) prenons
on trouve
= 4—, «3 = 4ôSI> «4 = 4^
in-
.9' "— -^Sea' "'-• *3449
Chacun de ces calculs numériques occupe deux pages •folio.
