P. 57). H résout le problème suivant par Talgèbre
Per satfsfare allicuriosi, et vaghi dette dii^ersitàt che intendono essa regola délia cosa.
Soit
prenons
« = 4, * = 73g; ainsi la valeur approchée est
Quel nombre faut-il joindre à 8 pour que Ton ait
Résolvant cette équation , il trouve
ainsi N^est un carré parfait dont la racine est 4 ^- Et autres problèmes du même genre pour d'autres nombres.
(75) 7. (P. 6a. ) N ^ a" -H 6 ; il prouve que
aa-l- I est une approximation par excès.
8. (P. 70.). Il réduit ^18 en fraction continue de cette manière. La première valeur par excès est 4 5 >
donc la seconde valeur par défaut (n^ 8) sera 4 -f
considérant comme une fraction simple, la troi-
^îème valeur par excès sera
et ainsi de suite \ ainsi c'est une fraction continue dont les numérateurs ne sont pas Tunité. Mais dans ce cas on peut l'écrire
(76) Ce procédé peut se généraliser. On a
JC' -f- flJ? = by
d'où
XZ=Z = ' 7
U pousse le calcul jusqu'à la cinquième fraction, cl trouve
rô / 5oTi3ooo833 V *8 = 4 —TE â'
Cataldi sait apprécier Timportance de son invention, qui donne alternativement des valeurs par excès et par défaut. Il la nomme mirabile proprietà (p. 70).
La première approximation étant 4 00 ' il donne pour valeur plu^approcbée
II pousse les approximations si loin, qu'il obtient des nombres formés de cinquante chiffres.
A la page 94 commencent des applications géométriques aux triangles rectangles , aux gnomons , qui montrent géométriquement les approximations données cidessus par rarilhmétique.
(P. io4') Règles pratiques pour ranger les fantassins
(77) ea carrés. Au bas de la page 117, on lil la phrase finale Laus Dec semper^ cependant l'ouvrage coniînue. A la page 118, on donne une mélhode pour extraire la racine carrée des nombres mixtes sans réduire les entiers en fractions.
(P. 1 20. ) Règles pour ranger les hommes en carré sur un terrain de superficie donnée (quadra di terrano) ayant égard aux distances i^églementaires entre les compagnies et les hommes.
(P. i3o jusqu'à la fin.) Extraction de la racine cubique d'un nombre entier et ses applications.
Les calculs et les discours d'une longueur rebutante ont nui à la réputation de cet ouvrage qui renferme deux découvertes importantes : les approximations sériaires et les approximations i^zv fractions continues. C'est M. Libri qui le premier a fait ressortir le mérite de Gataldi dans son Histoire des sciences mathématiques en Italie (t, IV, p. 92 ; 1841) ; ouvrage où l'auteur se montre savant géomètre, érudit consommé, littérateur éminent, écrivain éloquent^ zélé patriote, digne alors du noble pays qui Ta vu naître. Les nombreux écrits de Gataldi sont très-rares, même en Italie. La Bibliothèque impériale possède trois" volumes. M. Ravenel, conservateur des imprimés, a bien voulu mettre à ma disposition un des volumes inscrits V . 7 2 ; il renferme deux traités, celui que nous avons essayé d'analyser et encore celui-ci : Trattato del quadratura del cerckio, etc,^ 55 pages et 5 planches ; i(ii2. Ce sont une foule d'approximations par excès et par défaut; les dénominateurs des fractions étant des carrés , il s'en sert pour réfuter une quadrature du cercle proposée par Pellcgrino Borrello, profcsscur.de mathématiques h Rcggio (duché de Modcnc).
Journal fur die reiiie ukd aivgewandte mathehatik. In zwanglosen beften -, als fortzetziing des von. A. L. Crelle gegrundeten journals, herausgegeben unter mitwirkung des Herren Steiner, SchcUbacli, Kummer, Kronecker, Weierslrass \ von C. W. Borchardt mît thatîger Befijrderung hoher kônîglîcher Preussîcher Behôrden. Funf und funfzigster Band. Erstes heft, Berlin, i858, Druck und verlag von Georg Reîmer. — Journal des mathématiques pures et appliquées ^ continuation par cahiers libres du journal fondé par A. L. Crelle, publié parC. W Borchardt avec la collaboration' de MM. Steiner^ Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass, et par les encouragements efficaces de la haute administration royale de Prusse , LV® volume, i"^" cahier. Berlin, iSSS, imprimerie et librairie de Georg. Reimer.
Le premier volume a paru en 18265 ainsi, en trentedeux ans, on a publié 54 volumes; quelle activité dans la plus haute région de rinlellîgence. Puisse le digne représentant de cette région, le journal du savant et lucide géomètre Liouville, obtenir aussi en France les encouragements efficaces de la haute administration.
COIîTEffU DU PREMIER CAHIER.
Jac(»i« C. g. J. Sur la substitution (aa:*+2fta:-i-c)y* -*- 2 (a'x* -f. 2i'jr:-l-c')y-t-aV+26"j: + c''=o, et sur la réduction de Fintégrale abélienne de pre^ mière classe à la formule normale (Mémoire posthume communiqué par Af. jP. Richelot).
Cette même expression peut s'écrire sous cette forme
(79) d où Ton déduit
( tf/»H- 2 «>-«- a') x-bby'-h^ b^-h b"= ^ , X = (aV^- 2 6'ar + c')«+(éKC«-H 2 Aar +c) («'V-f- 2 b''x -4-c") ,
La différentiation donne
[(fl/'-h 2a>-f. û") a: ^- 6>^M- 26'/-!- b'']dx 4-[(/ix'-|-2^x-f-c)j-f-«V-h2ft'x-hc']é(r= o, d'où
équation aux fonctions elliptiques.
Ainsi , si j: et ^X sont simultanément réels^ il en sera de même dey et ^Y ; et vice versâ^ si x et ^X sont simultanément rationnels^ il en sera de même pour / et ^Y. Faisons a'=i'=c'=o; alors on voit que si Ton peut rendre carrée Vune des deux expressions
on peut aussi rendre carrée Vautre expression. Cela correspond à la réduction de l'intégrale
dx
à la forme
( 8o) que Legendre obtient par la substitution
ax^ -{- 2 bar -\- c '
et que Ton déduit aussi de ci- dessus en posant
Euler n a considéré que le cas où X et Y sont des fonctions homologues, c'est-à dire où l'on a
a'=b', a"=zc; b"=c';
c'est Lagrange qui a donné la^forme générale ci-dessus dans les Mémoires de l'Académie de Turin, 1785. M. Jacobi étend ici la même méthode de substitution à l'intégrale abelienne
(/x-^jr)dx
de même que pour les fonctions elliptiques, Euler parvient par des voies différentes à des formes semblables , savoir, d'abord en faisant disparaître dans Y les puissances impaires , ou bien aussi le -premier et le dernier terme , et déduit de là le théorème sur l'addition des fonctions elliptiques , Jacobi parvient ici de la même manière à une addition de fonctions abéliennes ainsi exprimée
T = <x't* (t' — c)^4- p'f» (^'— c) (at'^ b') -f- r («/>— b^);
changeant t en t\ on obtient T'.
Il faut aussi consulter pour la parfaite intelligence de ce Mémoire, extrait des papiers de l'illustre ^analyste, le
Mémoire de M. Richelot , dans le tome XVt , page 1^24 ^ 1837 ' ^^ transformatione integraVium ahelianorum primi ordinis commentatio , travail que Jacobî avait donné à exécuter à son célèbre élève.
A. Cayley. Sur quelques formules pour la transfomna^ tion des intégrales elliptiques (en français).
TcHEBYCHEF (Bull. de l'Académie de Saint-Pétersbourg, n® 370, t. Xll). Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions (en français).
Solution de ce problème.
Étant donnée une fonction quelconque avet des paramètres f'i ) Pi ^ • • • ^ Pn9 îl s'agit par un choix convenable des valeur^ p^^ p^,. . .^ p^^ de réduire au minimum la limite des écarts de la fonction de o entre xt=z — h et a: = A.
ToRTOLiHi (Annali di Mat. j n** a^ mars et avril i858)fc Nouvelles recherches relatives à la subititution linéaire pour la réduction des fonctions elliptiques de première espèce (voir 36 et 38 du Journal de Crelle^ Plana et Richelot),
Le but de ce Mémoire est de ramener
dx
à la forme
dx
salis décomposer l'équation du quatrième degré en deilX facteurs réels du second.
Bulletin mathématique, t. IV. (NoTembre iB58. ) 1 1
(82) BnioscHi (François) (Annalî, mai, juin). Sur les équations du multiplicateur pour la transformation îles fonctions elliptiques.
0 lOCRNÀL DE GRELLE.
Contenu du ^* cahier^ t» LV [voir p. 78).
S. Aronsohn (p. 97). Théorie des fonctions homogènes du troisième degré à trois variables.
Soient
JTi, .rj, a?3, Uxy Uiy ttj y
deux systèmes de xainahles primitii^es ^
X|, X2, X3, U|, Ui, U3,
deux nouveaux systèmes de variables correspondants , entre lesquels subsistent ces relations
iXi = a,X, +ajXi-ha3X3, j:, = p,X, H- p,X, 4-^3X3, .rj = 7, X, -4- 72 X2 ■+• 7s Xa^
IU, =:a, «, -H |i,a,-f-7, ?f,, XJ2 = «3 «2 -f- P2 «J -f-72"2> .
( I ) sera di te suhstitutio n primitive ; (a) sera èiie substitution transposée.
Désignons le déterminant commun aux deux substitutions par
désignons encore par
deux fondions qui passent Tune dans l'autre par la substitution primih'i^e.
Nous nommerons
I. Ifwariant, une combinaison A de» coefficients de^^ qui ont avec les coefficients correspondants de la fonction/^' la relation
où X est un entier positif.
n. Coi^arianty une fonction (f des coefficients de f et des variables x^y jtj, Xs qui, en employant la si^stitu- \\on primitwe (i), a, avec la fonction ç', formée analogiquement des coefficients et des trois variables Xi, Xg, Xj de la fonction ç', la relation
• cp' (X,, X2, X3) = r^ ç (x,, Xjy JTj).
in. Forme adjointe, une fonction F des coefficients de/* et des variables Mj^ ?ij, Us qui, par l'emploi de la f^nhsihvLÙoti transposée (2), a, avec la fonction P formée analogiquement avec les coefficients et les variables Ui, Uj, U» de la fonction /', la relation
r (U„ Ua, U3) ^ r^r (a., «,, ^3)
IV. Forme intermédiaire^ soit 0 une fonction des coefficients dey et des deux systèmes de variables x^y .r,, Xj, a,, z^s, 1/3^ et 0' une fonction formée analogiquement^ par remploi des deux substitutions, avec les coefficients àef et les variables Xj, Xj, X3, Ui, Uj, Uj.
Si Ton a la relation
e' (U„U3,U3; X.,X„ X3)=r^ e(^<„M2,«3; j:i,.^î,«s)^ alors 0 est une forme intermédiaire [^), . Les dénominations (I) et (II) ont été introduites par M. Sylvestre; la dénomination (III), par Gauss.
(*) (îes l'ormes seront expliquées en i85g.
La quatrième classe n'a pas encore été considérée jusqu'ici. Son importance ressortira dans la suite de ce travail; elle forme le passage de (H) à (III).
Ce Mémoire, de pS pages^ renferme vingt-sept beaux théorèmes sur ces quatre classes, de la plus haute valeur analytique et même géométrique pour les lignes planes du troisième ordre. Nous essayerons de les faire connaître successivement. Le célèbre- analyste s'occupe d'une théorie générale des fonctions homogènes,
Caxljsy. Note suf' la camp o su ion du nombre 4? P^' rapport aux "vingl^lroisièmes raciftes de /'unité (en
français).
Soit a une racine 23*" de l'unité; M. Kummer a démontré que 47 est le produit de onze facteurs complexes qui se déduisent du suivant a*^-f-a*'-*-a*-|-a**-|-a''+a" (Journal Liouville, XII, p. 2o8). On sait par la théorie générale qu'il existe un certain nombre 47'-^ qui peut se décomposer en yingt-deux facteurs complexes; quel est ce nombre? Il est naturel de rechercher si
(a«o ^ a«a^ «« ^ «is 4- «' H- «•«)3
n^est pas décomposable çn deux facteurs; car alors 47*'* serait un produit de vingt-deux facteurs complexes; M. Cayley prouve que cette décomposition est impossible.
VoRLANDER J.-J- Au$gleicliung der fehler polygonometrischer messungen, In-8**, 55 pages. — Compensation des erreurs dans les mesures polygonoméiriques.
L'auteur , inspecteur du cadastre dans le cercle de Minden, outre la méthode précise des moindres carrés, îndiquç deux autres méthodes plus couirtes; dans
( 85 ) Fune on change convenablement les angles seulement, et dans Tautre les angles et les côtés. Ouvrage très-es^ timé en Allemagne.
Ulfers. D. W. Praktische Anleitung und tafeln zur berechnung "von Dreiecken niederer ordnung und pofygonen^ etc. — Indication pratique et Tables pour le calcul des triangles d'ordre secondaire et les polygones. Coblentz, i854.
C'est une nouvelle édition des Tables de coordonnées, publiées par Fauteur en 1 83 3.
Ces Tables contiennent les produits' de sina, cosa, coséc a par les nombres lo, ao, 3o, . . . , 90, pour la di* vision centésimale; car dans le midi et l'ouest de l'Allemagne, on emploie des instiiimenrs géodésiques ainsi divisés. Ces Tables facilitent les calculs trigonométriques et dispensent de l'emploi des logarithmes.
BuLLBTiN DE l'acadéhie DE Saint-Pétehsbourg , l858.
Struve ( W). (XVI, nO 383, p. 367.)
L'illustre astronome fait le récit de son voyage à Paris , du bon accueil qu'il y a reçu , et parle avec enthousiasme du grand nombre déjeunes astronomes qu'il a rencontrés en Allemagne^ pépinière astronomique, espoir de la science.
GÉNÉALOGIE DES BERNOULLl.
1. BernouUi (Jacob), né dans les Pays-Bas en i583; quitte Anvers pour échapper aux persécutions du duc d'Albe; se retire à Francfort.
2. Jacob, petit*fils du précédent, né vers iSpS; s établit à Baie en 1622; y meurt en i634*
3. Nicolas, fils aîné du précédent, né en 1623 ; mort en 1708, négociant, membre du grand conseil de Bàle^ a laissé onze enfants.
4. Jacob I, cinquième enfant du précédent, né à Bàle en 1654 décembre ay^ y meurt en lyoS août 16; professeur de mathématiques à l'université de Bàle en 1687 (célèbre),
5. Jean I, dixième enfant de (3), né à Baie en 1667 juillet 27; mort'en 1748 janvier 1"; docteur en médecine, professeur de malbématiques à l'université de Groningue (1695-1705) (célèbre).
6. Kicolas I, fils du huitième enfant de (3), né en 1687^ mort en 1749 novembre 25^ docteur en droit, professeur de mathématiques à l'université de Padoue (1716-19), et ensuite professeur des Instituts, de la logique, à l'université de Bàle.
7. Nicolas II, fils de (5), né 1695 janvier 27 ^Bâle) 5 mort 1726 juillet 26, à Saint-Pétersbourg; docteur en droit, professeur de droit (Bàle) 1723-1725; de mathématiques à Saînt-Pc'tersbourg.
8. Daniel I, second fils de (5), né 1700 janvier 29 (Groningue); mort 1782 mars 17 (Bàle); docteur en médecine, professeur de mathématiques, 1725-33 (Saint-
- Pétersbourg); anatomie, botanique, philosophre spéculative à l'université de Bàle (célèbre).
9. Jean H, le plus jeune fils de (5), né 1710 mai 18 (Bàle), mort 1790 (Bàle); docteur en droit, professeur d'éloquence (Bàle), et en 1750', professeur de mathéma.tiques.
(■87) 10. Jean III, fils du précédent, né 1744 novembre 4 (Baie), mort 1807 juillet i3, à Kopnick, près Berlin 5 docteur en philosophie, licencié en droit, astronome (i 767) de r Académie de Berlin.
H. Daniel II, fils de (9), né 1751 janvier 3i (Baie), mort 1834 octobre 21 (Baie); docteur en médecine, professeur d'éloquence à l'université de Baie.
12. Jacob II, fils de (9), né 1769 octobre 17 (Baie), mort 1789 juillet 3 (Saint-Pétersbourg); noyé en se baignant dans la Néwa; professeur de mathématiques (Saint-Pétersbourg ) .
13. Christophe, fils de (H), né 1782 mai i5 (Bâle); professeur au Pédagogiumde Halle (1802), chef d'institution à Baie (1806-17); professeur d'histoire naturelle à l'université de Baie depuis 1817.
14. Jean-Gustave, fils du précédent, né en 181 1 (Baie), auteur d'un Vade^mecum du mécanicien .
Rangés par ordre de naissance.
