I -f- ces (6 — a ) ^ I -f- ^ ces ô

les équations de la parabole et de l'ellipse rapportées à leur'foyer commun. On aura entre les indéterminées;?^ a , et les constantes cy et e, la relation trouvée dans le problème précédent

, V 2 cT ( I — e cos a )

D'ailleurs réqualion de la parabole développée donne

(2) f> + p.cos6.cos a + p sin6 sina=/7.

Soit c la distance du centre de l'ellipse au foyer; et prenons pour coordonnées elliptiques du point (p, 0,) les demi-axes iransverses X, |x, de l'ellipse et de l'hyperbole, bomofocalcs à Tellipse donnée, qui se coupent en ce

(6i) point. Les formules de transformation seront

pcosô = — -hc, p sin 9 = - v' (V — c> ) (c»— ;*»)? d'où

L'équation (2) deviendra donc d^où

|^^>^>^l(liL)(XH.fx)H.(X + ^)'.cos'«

. 2 > ^ / , - ^i21f \ ^ 2 (X 4- p) (c cos a — /?)

-4-/?' -f- c' — 2/7CCOS a = o.

Telle est l'équation demandée. Elle détermine pour une valeur donnée de Tangle et, quatre paraboles symétriques par rapport aux deux axes ^ car chaque couple de valeurs de X et de fx détermine quatre points symétriques par rapport aux deux axes. Ces quatre paraboles satisfont aux conditions données^ leurs axes principaux font avec l'axe

des X positifs les angles «, a-f--?aH-7r, aH •

3^. Soient

J^ sji — sin*ô.sin*y J^ ^ i — ces' 9 . sin' ^ '

il faut prouver que

log(4 sin 9 laog9) >o.

Démonstration, ©'étant positif, l'inégalité proposée

(6a) revient à la suivante :

TT ® \COSÔ/ fC

Or, en désignant par Q la série

on a la relation (Verhulst, Traité des fonctions elliptiques, page laS)

L'égalité qu il s'agit de démontrer devient donc

Q — - eMog (sin» 0) > o.

Or

-1 — L- — -i- (ces* ôf-h ... I

— log(i — cos^Ô) = cos»9-|-^— ^ -h- ^ * ■

(cos'ô)"

On a donc

---0Mog(sin»0)=:5' (cos'e)"

[1 1 1* I I' 3» ni

(63) et, par conséquent,

Or, quel que soit le nombre entier n, la différence

est toujours positive ; la série qui forme le second membre de rinégalité précédente est donc positive, et Ton a

Q e'log(sin»ô)>o.

(Toir page 9) ;

Par m. LEGRANDAIS,

Élèye du lycée Louis-le-Grand ( classe de M. Vieille).

Par le sommet A d'un triangle plan ABC mener une

( 64 ) droite telle, que les perpendiculaires BB', CC abaissées respectivement des sommets B et C sur cette droite forment deux triangles rectangles ABB', ACC équivalents.

Soit le triangle ABC dont la médiane est AM. Je décris du point M comme centre, avec un rayon égal à AM, un arc de cercle qui coupe BC en D. Je dis que la droite AD satisfait à la question.

En effet, ce qu'il faut démontrer, c'est que