SUR LE NOMBRE DE POINTS QUI DÉTERMINENT UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ
En exprimant que les deux axes a , b d'une ellipse de. viennent égaux entre eux , on a une circonférence qui se détermine par trois points. De sorte que Tégalité
équivaut à deux conditions déterminantes. Il en est autrement dans l'hyperbole, l'égalité des axes n'équivaut plus qu'à une seule condition. C'est ce qu'on a proposé d'expliquer.
Cela tient à ce que, dans le cas de l'ellipse, le premier
(78) Tnembre de Téquation
a — b sno
est la somme de deux carrés précédés du même signe, et, en conséquence, Téquation se partage et donne lieu à deux relations entre les coefficients /de l'équation générale du second degré. Il n'en est plus de même pour lliyperbole.
En effet, la réduction de l-équation générale du second degré
A^^» 4- Bar/ -+-€«:» 4- D/ -h E « 4- F = o,
par la transformation des coordonnées , montre que les axes de Tellipse représentée par cette équation sont entre eux comme les fonctions
(A 4- C) -i- v^(A--.C)»-hBS
(A + C) - v^(A — C)»4-BS
et que le rapport de deux axes dé T hyperbole est égal au rapport de ces deux fonctions changé de signe.
Il s'ensuit que Tégalilé des deux axes de l'ellipse est exprimée par l'équation
•qui donne les deux conditions
tandis que l'égalité des axes de l'hyperbole exige seulement qu'on ait
SECONN StLlinOW DB U QUESTION 19S
(▼olr t. XI, p. IM) ;
Pae m. L. DEWULP.
On donne trois cercles Cd Ci, C^; on trace trois nouveaux cercles, P| ayant même sécante commune que Ci et Cs, et coupant Ci orthogonalement; de même P« etPa. Démontrer que ces trois nouveaux cercles ont même corde (réelle ou idéale) commune ou même axe radical.
Traçons le cercle orthotomique O aux trois cercles donnés, ce cercle est aussi orthotomique aux trois nouveaux cercles. Leurs axes radicaux passent donc par son centre.
Le centre de P| se trouve à l'intersection de la droite C|Ct avec la corde y^y^ conmiune à Ci et à O.
On trouve de même les centres de Pi et de P,. Il faut démontrer que ces trois points sont en ligne droite.
Projetons la figure de manière que la droite PfPs passe k Finfini.
7,79 deviendra parallèle à C1C9 et CiO sera perpendi* culaire à CiCf
7i79 deviendra parallèle à CiCt et C|0 sera perpendiculaire à CiCs.
O deviendra rintersection de deux hauteurs du nouveau triangle; donc la projection de C9O sera aussi perpendiculaire à CiC« et Pg passera aussi à Tinfini. Donc, etc.
Remarques,
I®. Cl, Cl, C„ 7i, 71, 7t forment deux triangles polaires réciproques. Les droites qui joignent les sommets opposés se coupent en un même point, pôle de la ligne PjPs par rapport au cercle orlhotomîque O.
r^^. Les points Ci, Ci, Cs, 719 719 ys sont sur une même conique, ce qui donne ce théorème : Les sommets de deux triangles polaires réciproques sont sur une même conique.
3^. Les côtés des deux triangles forment un hexagone circonscriptible à une conique.
On peut arriver à une solution aussi simple par Tana* Ijse. Les trois axes radicaux de PiPiPs passent en O.
Soit ç = o l'équation homogène du cercle orthotomique O; soient Xo/o^o» -sCi j^iZi, Xtj^z^ les coordonnées des trois sonunets du triangle CiCiCt, et posons
Les équations des lignes CjCi, CjCt, CfCs, 7171,
rt
JT,
/i7t, 7*7t serout
et
r/ep dff
r/x. df/ dz,
dn do dta
dx, dyy -^ dz,
dff d9 dç
dXi dfz dzt
dl dà dû,
dxt djr^ dzt
dl </A dA
dxi d)\ dZi
dA dl dA
^x, rfj, dz-t
Appelons x' y' z\ x"y"z'\ x"'y"* z"' les coordonnées des points P,, P,, Pt, el faisons
jT f z"
La condition pour que les trois points Pi, Pt, Ps soient en ligne droite
dP"^' dx' jp^ '^ dx'" dy" ^
ou
équation qui se vérifie, mais par des calculs un peu longs.
Affn. de Mathémai., t. XVII. (Mars i858 .)
(Tolri. XVI/p. 8M)i
Pa» m. l. dewulf.
Soient
r équation de la surface,
(a) xcosa-f- / cosp -|-«cos7 — ^=ro
Téquation du plan P,
Tëquation du plan tangent à la surface en un point x'y' z'. Si ce point est dans le plan (a) , l'équation de ce plan (2) pourra se mettre sous la forme
(4) {x — x') cosa + [y — ^')cosp + (« — «') C0S7 = o.
La projection de Fintersection des plans (3) et (4) sur le plan des xy aura pour équation
{*--')(^cosy~^cos«j ( + [jr-y') (;^cos7 - ^ cospj =0.
Cette équation représente la projection de la tangente à la courbe I au point x'y z'^ ou aussi la tangente à la projection de la courbe I sur le plan xy en un point x'y'. La tangente à la courbe I' au point x'y' est
( 83 ) Sî les ëquaitons (5) et (6)^sont identiques, la projection de I est tangente à l' aux points où I coupe le plan de I\
et celte identité a lieu si -77 = o pour les coordonnées de
ces points.
Dans le cas particulier des surfaces du second degré, si P^ est un plan principal, les plans tangents à la surface en un point quelconque de rinterseciion de la surface et de P' sont perpendiculaires au plan P', et par suite d¥
