SUR LA THÉORIE DB DEUX CONIQUES
Par m. g. SALMON.
C'est à M. Caylcy que je dois beaucoup de ce qui suit. i . Soient les équations des deux coniques
(Pour les équations homogènes dont nous ferons usage, voir Noux^elles Annales^ t. XVI ^ p. 294.)
2. TroÛK>er les équations des cordes d ^intersection des deux coniques.
On sait que réquation
représente une conique qui passe par les quatre points d'intersection de Uj de Uj. Maintenant il s'agit de déterminer X tel, que celle équation soit décomposable en deux facteurs linéaires. Il est évident que la détermina-
lion doit dépendre d'une équation du troisième degré. Car par quatre points A, B, C^ D nous pouvons tirer trois systèmes de deux lignes droites AB, CD^ AC , BD ; AD, BC. La condition que Ut soit décomposable en de tels facteurs est
^=zabc'h ^de/-^ ad^ — be^ — r/» = o (*).
Nous trouverons la condition que Uj-j-UX, soit ainsi décomposable 5 en substituant pour a, a-j-i^', pour è, è-f-ife', etc., et la condition sera
où (comme c'est évident par le théorème de Taylor)
dà
'db
de
""dd
de
df
OU bien
& = a'{bc-^d^)-\-b' (ca ^e')^c'{ab — /» )
-H 2^' ( ff— ad) -H 2 e' (/d - be) -h 2/' (de - cf) , à'=za'b'c' -hid' e'f -^ a' d'^ ^ b' e'^ — c'f'\ d^' , dl^'
3. Les coefficients A, 0, 0', A' sont des ins^ariants (t. XVI, p. ^06) \ c'est-à-dire que le rapport mutuel de ces quantités ne change pas quand on transforme les équations Ui , Uj en prenant do nouveaux axes quelconques. Car si l'équation
représente deux lignes droites, elle ne cevssera pas de les représenter quand on transforme les équations comme
(*) Voir Couvai les Annales, t. l, p. (\^\. Tm.
{**) On trouve cette équation dans Tadmirable opuscule de M. Lamé sur les méthodes (1818); germe qui a été tpès-fécondé. Le principe de Harvey omne tùvum ex ovo se vérifie partout. Tm.
(85 ) on voudra, parce que nulle transformation de coordonnées ne change X. Il faut donc, quand on cherche les valeurs de X pour lesquelles Uj -4- i U, représente deux lignes droites, que l'on trouve toujours les mêmes valeurs de 1 quels que soient les axes^ d'où il suit que Téquation
a toujours les mêmes racines , quelles que soient les formes de Ui et U, , d'où nous avons déduit les fonctions A, 0, 0', A'.
4. Pour faire voir l'usage que Ton peut tirer de ce principe, nous chercherons la condition (due à M. Cayley et d'ailleurs très-difficile à trouver) pour qu'un triangle soit inscrit à la conique Ui et circonscrit à Uj (*)•
Si cela est possible et si nous appelons x^j,z les équations des côtés d'un tel triangle, il sera possible d'écrire Ui , Uj sous les formes
U, = 2(xy -hxz-^ zx)==o,
U, = /* j;' -H m^jr^ -^ n} z^ — 2 Imxy — iinnyz — inlzx = o.
{Voirx. XVI, p. 3o7et 3o8.)
Dans ce cas , nous avons
et, par conséquent.
Mais parce que 0, 0', A' sont des invariants , celle relation subsiste toujours quels que soient les axes (n" 3).
(*) Voir f^ouvdlcs XnnaUi, t. \VJ, p. \i\. Tu.
(86) Ainsi la condition cherchée est
z=^{a' b'c -^1 d'e'f — «' d'^ — ^' ff'» - r'/' 0 X f fl' ( Ac - rf' ) -h A' (ro — ^») ^ . . .1.
5. Trouver la condition pour que les coniques U, , U, se touchent.
Nous avons dit que par quatre points Â, B, C, D ou peut faire passer trois systèmes de deux droites AB, CD^ AC , BD \ AD , 6C . Mais si les points A , B coïncident , deux de ces systèmes aussi deviendront identiques , savoir : AC, BD; AD, BC. Dans ce cas donc, il faut que l'équation
A 4-^0 + V0'H- VA' = o
ait deux racines égales. La condition est
e'0" -h iSay 00' = 3 A^y^ -H 4a0'^ + 4 A'e\
