M ALLET-BACHELIER , IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DO BURKAB DES LOWOITODE'S , DK l'ÉCOIE POI.TrTECHNIQlrE , Kl«.
Qnai des Aiigusiins, n" 55.
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NOUVELLES AlALES
DE
(TOlrt. XVI»p 811);
Par mm. Marius LAQUIÈRE et Georges FëNÉON,
Élèves da lycée Saiat-Louis.
Je transporte les axes parallèlement à eux-mêmes à Textrémîté A de Tordonnée y^^. Les équations des deux courbes seront
j=Ma?-f-Nx'.
L*aîre comprise entre Taxe des or, une ordonnée quelconque, et la courbe, sera :.pour la parabole cubique
et pour la parabole du deuxième ordre
Or, les deux courbes passant par les trois points A , C , E^ Ton a
r. - ro = ^ (^ -f- z»^ -H/?^') = ^(M 4- N^)
(6) el
^,— 7, = 2^(/it-+-2«d4:4/>^*)=a^(M-H2N^),
d'où
L'expression (a) devient alors
(3) ;rt(^-.^;,j.^. — r^^j'
*Faisant jc = 2 d , les expressions (i) et (3) des deux aires deviennent égales à
^p{^'\'\ni^pi\
Ainsi les aires des deux triangles curvilignes terminés aux paraboles du deuxième et troisième ordre et à Taxe des jc et à l'ordonnée y, sont équivalentes.
Il en résulte évidemment que les surfaces curvilignes BGÂ,CDEC, sont équivalentes.
Or l'on sait que la surface d'un trapèze parabolique compris entre deux ordonnées yo ^l/t ^ pour expression
fx étant l'ordonnée également distante dey© et j^,.
Elle donne donc exactement aussi Taire comprise entre les mêmes limites pour la parabole cubique.
Il en résulte, en outre, que la formule de Thomas Simpson est rigoureusement applicable à la parabole cubique dont elle décompose l'aire en trapèzes qu'elle évalue exac-^ tement.
N6TE SUR L EXTRACTION DE LA RACINE CDNtllE^
Par m. forestier,
Licencié es Sciences mathématiqaes, Professeur à Sainte^Barbe.
Lorque l'on veut obtenir la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans un nombre donné , quelques traités d^arithmétique font faire le cube de la racine pour vérifier le dernier chiffre de cette racine ; ce procédé est très-long quand 09 veut obtenir un grand nombre de chiffres à la racine.
5oo 34.96 4414625
aii&.4
D'autres traités forment les diverses parties du cube qui se trouvent dans le reste) ce moyen , quoique plus expéditif«que le précédent, est encore assez pénible parce qu'il faut former trois fois le carré de la racine obtenue pour la détermination du chiffre suivant..
C^est cette partie des calculs que nous nous proposons de simplifier^ et même de faire disparaître complètement sans rien changer aux autres calculs.
Soit proposé d'extraire la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 162467496379409....
( Voir les calculs ci-contre . ) " Après avoir obtenu le second chiffre de la racine 4 par une division , on peut vérifier ce chiffre de la manière suivante.
On forme trois fois la racine ce qui donne i5 , on écrit
4 à la suite ce qui donne i54 et on multiplie par 4 le produit 616 =? 3aft -H i* (en représentant par a le chiffre
5 déjà obtenu et par b le chiffre à vérifier) ,
On écrit ce produit au-dessous de 7500 et on fait la somme , ce qui donne
8ii6 = 3fï'4-3a^4-6*-
En multipliant ce nombre par 4» on obtient 324^4 qui contient 3 «*&-+• iab^ + i','c'est-à-dire les diverses* parties du cube contenues dans le reste.
On voit dans notre exemple que 4 est le chiffre de la racine.
Pour obtenir le troisième chiffre de la racine, il faut former 3.54*. Ce produit s'obtient en écrivant 4Î ou 16 au-dessous des nombres 616 et 81 16, ce qui donne le ta^ bleau suivant :
616= Sab + b'
8116= 3fl»-i-3û^-t-^'
Or trois fois le carré de 54 donne
On voit par là que cette partie des calculs se trouve ramenée à une addition de trois nombres déjà formés.
En jetant les yeux sur le tableau^ on voit comment on peut disposer les calculs.
On peut même les abréger en se dispensant d'écrire deux fois les nombres que l'on a à soustraire et effectuer les soustractions en même temps que Ton fait les produits.
SECONDE SOLirriON DE LA OVESTION 596
(TOir t. XVI, p. 418) î
Par m. p. CHALLIOT,
Élève du lycée de Versailles (classe de M. Vannson).
Par le sommet d'un triangle plan ABC, mener une droite telle, que les perpendiculaires BB', CC abaissées
respectivement des sommets B et C sur cette droite, for-
{ »o) ment deux triangles rectangles A6B', ACC'ëquivalents, Soit AX la droite demandée. Posons
CAX = x, BAX=;r> nous avons
Cherchons leur différence.
On demande que
Ac^c(y=AB^BB^
Remplaçant ces lignes par leurs valeurs ^' cosjc sin jr = c* cos^ sin/ , sin 2 X c^
d'où
smaj
sin 207 —
sin2j
sm2a7 —
sm2j^
et,d
après
un
théorème
connu
tang(a:
-Ai-
tang A c» -H ^»
Pour construire, écrivons cette égalité sous la forme
teDg(a? — ^)__ c^
tani^A A'
Tirez CD de façon que l'angle ACD= ABC, les tria^ngles semblables ACD, ACB donnent
AD = -rïr = -— AB c
Prenez AD' = AD , au point B faites un angle droit sur AB, joignez D' L , par le point D menez DK parallèle à
joignez AK; on tangBAK^
aura BK
i« ) BD
tangA
