BD

Donc

BAK = x— j.

n ne reste plus qu'à mener la bissectrice AX de Fangle BAK, ce sera la droite demandée.

Remarque /. Si le triangle est isocèle, b = Cy on a x = y.Lsi bissectrice de Tangle du sommet répond évidemment à la question.

Remarque //. Si Ton demandait que les triangles, au lieu d^ètre équivalents, fussent dans un rapport donné

— > on arriverait a n

angfo: — J-) c' — b^ m

tangA 024-^'*^'

ce qui se construirait d'une manière analogue.

(voir t. XVI, p. 447) ;

Par m. Marius LAQUIÈRE, Élève du lycée Saint^Louis (classe de M« Faurie).

La question revient à prouver que le rapport anharmonique de quatre cordes partant de F extrémité d'un même diamètre est égal à celui des quatre cordes supplémentaires, puisqu'à tout système de diamètres conjugués correspond un système de cordes supplémentaires parallèles.

Ce théorème est un cas particulier du théorème suivant:

Soient quatre points ^ > Ci , Ca , c» d'une conique , et un cinquième point quelconque m. Le rapport anharmonîque des quatre droites me , mc^ , mc^ , mc^ , est indépendant de la position du point m sur la circonférence de la conique.

Ce théorème est évident pour le cercle, je vais l'en dé^ duire pour une conique quelconque.

Je place la conique sur un cône dont le sommet soit S ; soit O un cercle tracé sur ce cône. Les génératrices Se, Sc| , Scf , S(?8 , Sm, . . • , déterminent sur le cercle cinq points c. Cl» Csy Cgy M.

Quel que soit le point r/i, le rapport anharmonique des quatre plans me S, mCiSy . . ., est égal à celui des quatre droites me, mCx , . . . , ainsi qu'à celui des quatre droites MC, MCj , .... Le rapport des quatre cordes concourantes de 1^ conique est donc égal à celui des quatre cordes concourantes du cercle, et comme ce dernier est indépendant de la position du point M, le précédent est aussi indépendant de la position du point m sur la circonférence de la conique.