QUESTION D EXAMEN (ÉCOLE POLYTECHNIQUE

Des relations qui existent entre les coefficients des termes de V équation générale :

ax^ -H «' j» H- a" z' -H 2 hyz -h 2 6' a:« •+- 2 6" xjr -+- 2 ex -h 2 (// -4-2c"34- ^ = 0,

quand cette équation représente un cylindre parabolique. Tous les plans diamétraux du cylindre parabolique sont

(*) M. Liouville a donné le théorème {général, 1867, p. 277. Tu.

( 237) parallèles entre eux; le cylindre parabolique est la seule surface du second degré qui ait cette propriété : on obtiendra donc les relations cherchées en exprimant que l'équation générale des plans diamétraux

\ -f- (^' /w -f- ^/2 -f- «'') a -h cm + c'/j + c" = o

représente des plans parallèles, quelles que soient les valeurs attribuées aux coefficients angulaires m^ n^ des cordes conjuguées.

Pour que cette condition soit remplie il faut que les rapports des coefficients des variables Xyjy z, dans Téquation (i), soient indépendants des quantités m et n. Ces rapports ont pour expressions

am -h b' n -{- b' am + b" n -\- b'

b'm + bn + a"''

il faut donc qu'on ait

a b' b" b' b"~ h' a'~ b' d'où

bb" „ bb' 6'.' " = b"'

Telles sontles relations cherchées. On voit qu'elles sont au nombre de trois ; on peut en conclure que le nombre des conditions nécessaires pour la détermination d'un cylindre parabolique est six.

Remarque. Les relations (2) donnent :

aa'a''=:bb'b%

byb''=:ab'z=a'b''=:a''b''\ et par suite

ab' + a' b'' + a"^"' - ««ï' a" •^2bb'b" = o,

( a38 ) égalité qui doit, en effet, avoir lieu, puisque la surface n'a pas de centre.

Des relations (a) donnent aussi :

et ces dernières égalités montrent que les trois sections de la surface par les plans coordonnés sont du genre des paraboles, ce qui est encore une vérification.