DU PRODUIT DE PLUSIEURS NOHDRES CONSÉCUTIFS

Par m. Emile MATHIEU.

Théorème. Le produit de plusieurs nombres consécutifs

ne peut être une puissance parfaite^ si le nombre des facteurs est > /i — 4 5 autrement dit si ^ est^ n — 5 .

Pour le démontrer, nous nous appuierons sur un théorème énoncé par M. Bertrand et démontré par M, Tchébichef.

Si n est un nombre entier > 7, il y a au moins un

nombre premier compris entre n — 2 et —

D'après cela, il existera un nombre premier compris

entre n-h p-h i et — • Donc dans le produit (a) ,

il existera un facteur 0 qui sera premier, si n — i est <^ ^ » OU SI n est </?-+• 5 ou encore si p est

> w — 5. Or le produit (a) ne peut contenir le carré de 0, attendu que 20 est > « -h ^ ; on a en effet

Le produit (a) contient le nombre premier 6, il n'est pas divisible par son carré : il ne peut donc être une puissance parfaite.

Dans cette démonstration , on suppose 7* -f- /? -+• i > 7 ou /* -4-p -t- 1<^ 7 5 mais il est facile de vérifier le tbéorème lorsque « -f- p est inférieur à 7 ; la proposition est donc démontrée.

Cela posé , il m'a été facile de vérifier que le produit de plusieurs nombres consécutifs

ne peut être une puissance parfaite, toutes les fois que le nombre n n'est pas supérieur à 100.

Celte vérification se fait très-rapidement , si l'on remarque que p étant <^n — 4 ? îl est impossible que le produit (a) soit une puissance parfaite : i*^ si l'un des facteurs de ce produit est un nombre premier, ce qui a déjà été établi par MM. Liouville et Gerono lorsque le premier facteur est 1 -, 2° si l'un des facteurs est divisible par un nombre premier R ]> ^ sans être divisible par R' (*).