S' OL
Si l'on substitue les rapports ~ et- -;> dans Téquation (5)^ on aura
mais
• cosC .. .cosC
on a, en substituant^
(, „cosC\ ^/ , «cosC\ / , ,:cosCcosC\
divisant par y' y^' cos C y nous aurons a ^ cos C
cos B cos A cos B cos A
7 = oj
chassant les dénominateurs nous avons , pour Téquatioa de A, B,^
a cos A -+- p. cos B — 7 cos C = o.
Les formules étant symétriques , nous pouvons écrire sans calcul les équations des droites Bi Ci et Ai Ci \ ces équations sont :
a cos A -r 7 cos C — p cos B = o ^ (A, C« ) p cos B + 7COSC — acos A = o. (B, C)
Si nous voulons trouver Téquation At> Bt,nous sub-
stituerons la valeur de a, P, y, qui correspond aux points Al et 62 dans Téquation (5 ); or Ton a
^ , . , 1 B'cosB — 7'cosC = o, (AA.) Pour le point A, p ' » \ u
( p'rosB-hv'cosC — a'cosA = o. (B.C,)
1 „ ( v'cosC — a'cosA = o, (BB,)
Pour le point B, \ ' > \ »/
I a"cosA-4-7"cosC — p^cosBrso, (A.C.)
g/ ^f ^t qM
Tirant de là les valeurs des rapports ^> — ,» -;,» ^,
et substituant dans (5), on trouve pour Féquation de As Bs
a cos A-+- pcosB-— 37COsC=o. (A.B,)
de même les équations Bj Ct et A, C, ,
P cos B + 7 cos C — 3 a cos A = o , ( B, C|) a cos A -4- 7 cos C — 3 p cos B = o. (A, C,)
Cherchons la loi des coefficients.
Soit Wj = 3 , c'est le coefficient qu'on vient de trouver; cherchons l'équation de Aj 63, nous trouverons par le même procédé, en remplaçant 3 par m», Téquation suivante :
-h a cos A + p cos B 2— 7 cos C = o,
de même pour les autres lignes ; ainsi
wii 4- 2 /w, 4- 2
Or, l'opération se faisant toujours de la même manière, on siura
On aura la suite
Si on multiplie ces fractions par ^9 on aura les fractions
suivantes :
On peut remarquer que tous les numérateurs sont de la forme
ainsi ou pour
i5 10 — 1 2* — I et en général pour l'indice ap, on aura
et pour
#ii,«H-2 aV^^»— I ' ni,p 2'/'-*- H- 1
Si on fait p = 00 on aura
et
ainsi
•c CCS A -4- p cos B — y cos C = o, (^<»^to )
( »5 ) Cette ligne passe par le point des rencontres de trois hauteurs ^ car si on retranche son équation de celle de AAi, il vient
a cos A — 7 ces C = o , équation de BBi,
de même pour les droites AqoCqo , BsoCœ •
Les équations A„B„ et A„C„ sont les suivantes :
a cos A -f- p cos B — m^ 7 cos C = o, (A, B«) a cos A + 7 cos G — m» p cos B = o , (A„C,)
et la soustraction donne
Bcosp — 7COSC = 0, (AA,) pcos B + 7 cos C — m,, a cos A = 0, (B„«, C„-,).
On voit que le rapport anharmonique de ces quatre droites A„ B„ , A„ C„ , B„i C„.i , A Ai est égal à — i ; donc elles forment un faisceau harmonique^ ainsi le faisceau AiB, A|Ci, Al A, AiBi est harmonique, mais l'angle AAi B est droit, donc AAi est la bissectrice de l'angle CiAi.Bi; cette propriété n'a lieu que pour ce seul faisceau, comme l'a très-bien remarqué M. de Jonquières (t. XVI, p. 409)-
