VI. Examiner si Féqualion
peut admettre d'autre solution que jc = m.
On met facilement cette équation sous la for me
log X log m X m
On répondra donc à la question en étudiant la fonc-
lo£f X
tien —2— , et cherchant si cette fonction peut prendre
deux fois la même valeur pour des valeurs différentes m et X de la variable.
( '9) La dérivée de^y = 1^ est j'= '"«^"''^g* (♦).
Nous supposerons, par exemple, que les logarithmes soient les logarithmes vulgaires \ alors y' sera positif, lorsque x variera de o à &, il sera nul pour x = e, et il sera négatif lorsque x variera de e à oo .
Ainsi y décroit lorsque x varie de o à e , il est maximum pour a: = e , et il décroît lorsque x varie de e à oo , et nous aurons
log e xz=iey jr = — 2 maximum , e
jr =00 , j=: o.
Ainsi —^ prend deux fois la même valeur, lorsque x varie de e à oo , et l'équation
admettra deux solutions, lorsque m sera plus grand que i ; si m est <^ I , il n'y aura que la solution x = m.
La snite prochainement.
SILIiTION ME LA OOBSTMN 377
(t«irt. XVI. p W7);
Par m. Richard P. OXAMENDI.
Soient AAi, BBi, CCi^ les trois perpendiculaires abais-
d'où réquation paradoxale
i"=o. Tm.
jao) ses des sommets d'un triangle ABC respectivement sur les côtés opposés ] considérons le triangle Ai Bi Ci 5 soient Aj le point où BiCj coupe AAj^ B^ le point où Ai Ci coupe BBi ; C, le point où Ai Bj coupe CCi 5 considérons le triangle A^BtCi^ soient As Tinlersection de B, Cj avec AAi ; Bs l'intersection de As Cj avec BB,, et Cj riniersection de A, B, avec CCi, et ainsi de suite.
étant les équations des côtés BC, AC, AB du triangle, Téquation de A„ B„ sera
a ces A 4- p ces B — /ii„ 7 cos 0 = 0, ou
d'où
l'équation de AqoBqo est donc
a cos A H- p cos B — 27 cos G =: o ;
de même pour les côtés B„C„ , A„ C„.
i^, La droite A Ai bîssecte Tangle B„ AnCn? de même les droites BBi,CCi.
2®. Toutes les droites A„B„ passent par le même point; de même les droites A„ C„, B„C„ , et ces trois points sont xme mj&me droite (*).
(E. Hàrrisok, Bach. Arts, Triaity collège Cambridge.)
L'équation de AAi est
(ij . p cosB — 7CosC = o,
(*) Voir la figure t. XVI, p. 4o8.
puisque le rapport des perpendiculaires abaissées d'un point de AAi sur AB et AG est égal à celui des sinus des angles BAAt et BiAC; or ces angles sont complémen-r taires de B et G. On peut remplacer le rapport de sinus par les rapports des cosinus des angles B et G.
On peut écrire de suite les équations des deux autres hauteurs ,
{ 2 ) BB, , « cos A — 7 cos G = o ,
(3) C€| , p cos B — a cos A = o.
Leur somme est nulle ^ ce qui donne un théorème connii.
Formons à présent l'équation de Ai Bi ; cette droite passe par les points Ai intersection de (A. Ai, BG) et Bi intersection de ( AG, BBi), son équation sera de la forme
(4) ra-+-fp-f-r7=o.
Soient a^ i^^ y\ a"^"y" les perpendiculaires abaissées des points Ai , Bi sur les droites a = o, 7 = 0, |3 = o, on aura les deux équations entre ces coordonnée^ ,
ra"-f-^p"-+-r7"=o.
Si l'on cherche les yaleurs des rapports -> -> et qu'cm
substitue ces valeurs dans Téquation (4), on arrive à cette équation
(5) «(pY-P'7') + P(«'7"-«"7')+7(«^,r-«'Y) = o,. . Gette équation peut se mettre sous la forme d'un déter-
minant .
Cherchons maintenant les valeurs de a', jS', y', «", j3", y'\ pour les substituer dans cette équation et obtenir Tëquation de Ai , Bf. On a
, . ( 6'cosB — 7'cosC = o,
Pour le point A, ' *^ '
^ , . ^ ( .7" cos C — a" cos A = o • Pour le point B, { ' .
